Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При составлении уравнения движения осциллирующего электрона для учета затухания нужно ввести какую-то тормозяи4ую силу. Запишем 114 тг = — )г — дг+ о/Е. (4.2) Напомним, что д/т = у и //т = аоо. Перегруппировав члены, найдем г + тг + аог = дЕ/т. (4.3) Будем исходить из того, что напряженность электрического поля изменяется по закону Е = Е, ехр ((а/). Следовательно, решение этого уравнения следует искать в виде г = г, ехр (/а/). Замечая, что г =(аг, г = — а'г, получим го ( — ао + (уа + ао) = ЧЕ«/т илн го=, Ео о/оо (ао а )+'та (4.4) Вместе с тем мы знаем, что Р = А/дг н е — 1 = 4пР/Е. Теперь уже нетрудно получить окончательный результат и установить наличие зависимости показателя преломления от частоты, т.
е. существование дисперсии. В самом деле, 4яЛ/ (оо/оо) ('оо а )+'та (4.5) Анализ этого соотношения позволит решить все поставленные выше задачи. Разумно начать его с более простого случая, когда можно пренебречь поглощением. ее в виде — йт, где д — некий коэффициент; частное от его деления на массу электрона обозначают у и называют коэффициентом затухания. В теории колебаний доказывается, что тормозящая сила пропорциональна скорости движения в том случае, когда затухание относительно мало и в незначительной степени искажает собственные колебания системы.
Простые оценки показывают, что в данной задаче такое приближение законно. Действительно, ранее (см. й 1.7) было проведено исследование соотношения потерь на излучение и энергии, запасенной в атоме, что позволило оценить «добротностьо атома, которая оказалась весьма большой (ж10'). Упоминавшиеся выше причины (столкновення, тепловое движение) могут в 10 — 100 раз уширить линию излучения, но и при этом в полной мере сохраняется основной результат — в течение одного периода атом теряет очень малую часть накопленной энергии, н, следовательно, введение такой тормозящей силы в уравнение движения остается вполне законным. Итак, дифференциальное уравнение движения осциллнрующего электрона имеет вид й 4.з. диспеРсия вддли от линии поглощниия Согласно выражению (4.5), диэлектрическая проницаемость е (а следовательно, и показатель преломления) — величина комплексная.
Если в (4.5) положить у = О, то диэлектрическая проницаемость будет вещественной./1Тереход от комплексного значения показателя преломления к вещественному означает пренебрежение поглощением электромагнитной волныь~рассмотрим это приближение более подробно: )пе=е=1+ що (4.6) пе=1+ — ~ ~1+ ( — ) ] . (4.71 Заменяя «з = 2пс/Л и езе = 2пс/Л„получаем простую формулу, которую легко сравнить с опытными данными: и' = 1 + А (1 + В/ЛЯ), (4.8) где А = 4п/з/з/Я/(азезр), В = 4песз/езя~ (4.9) ззя На рис. 4.3 представлена зависимость функции (ззе — 1) от частоты излучения. За исключением точки ьз = ез„где эта функция терпит разрыв, что не может соответствовать физическдй реальности, показатель преломления всюду возрастает с увеличением частоты, т.
е. имеет место нормальная дисперсия вещества (дп/дЛ( О). Можно выявить те условия, при которых приближение 7 = О имеет вполне определенный физический смысл. Как уже указывалось, все прозрачные тела не имеют полос поглощения в видимой области, а при переходе в ультрафиолетовую часть спектра подавляющее большинство таких тел начинает интенсивно поглощать электромагнитные волны (пока не учитываются инфракрасные полосы поглощения, наблюдаемые у некоторых з/ прозрачных тел; см. (4.18) и далее). Для всей видимой части спектра справедливо неравенство ез(азер (дисперсия изучается вдали от линий поглощения), и при зщз исследовании таких тел можно пользоваться лишь левой частью кривой рнс.
4.3. Иными словами, частота собст! венных колебаний осцнллирующего электрона соответствует ультрафнолетоРие. 4.3. Зависимость яз — ! от Вой области спектра. В полном согласии частоты при отсутствии прело- с опытом для всех прозрачных тел нащения блюдается нормальная дисперсия (ззф„,„) п„р, если езяр ( ез ( езе „„). Предположив, что аз~ ез„можно разложить выражение (4.6) в ряд по степеням (ез/езе) и ограничиться в этом разложении двумя членами; тогда и отношение В/А не зависит от частоты собственных колебаний электрона озз.
Соотношение (4.8) совпадает с выражением (4.1), в котором соответствующие константы должны были определяться из экспер иментальных данных. Следовательно, появляется возможность проверки электронной теории дисперсии, так как константы А и В можно оценить как из наблюдаемой на опыте зависимости л (Х), так и по формулам (4.9). При таком сравнении нужно определить из газокинетических данных концентрацию атомов Ж и правильно оценить число излучающих электронов в атоме.
Затем, задавшись известным значением удельного заряда электрона д/т, можно оценить частоту собственных колебаний го„ и сравнить ее с имеющимися в литературе данными о полосах поглощения исследуемого вещества в ульрафиолетовой области спектра.
Используя соотношение В/А = плгсз/(/!/дз), можно сравнить экспериментально найденное значение констант с рассчитанными. В этом случае не нужна детальная идентификация спектра поглощения (В/А не зависит от озз) и, как уже указывалось, необходимо лишь правильно оценить концентрацию атомов и число излучающих электронов. Сравнения подобною рода проводились неоднократно, и наблюдалось удовлетворительное совпадение (расхожденне 10 — 20«/з) данных эксперимента и расчета констант А и В по приведенным выше формулам. При проверке соотношения (4.8) следует учитывать, что предположение об отсутствии взаимодействия между излучающими электронами справедливо лишь при исследовании разреженных газов, а также ряда веществ, в которых концентрация излучающих центров достаточно мала.
При большой плотности вещества наше предположение неверно. В этом случае кроме внешнего поля Е нужно учесть еще электрическое поле, создаваемое в той точке, где находится электрон, всеми остальными электрическими зарядами. Такое рассмотрение (а именно учет «поля Лоренца»* ), как известно, приводит к своеобразной зависимости диэлектрической проницаемости от свойств среды (формула Клаузиуса — Мосоти). Учитывая, что з = л', и проводя совершенно аналогичные рассуждения, легко получить следующее соотношение, которое обычно называют формулой Лоренц — Лоренца: (4.10) аз+2 3 мзз — озз Оиа хорошо описывает зависимость показателя преломления от частоты при больших давлениях газов.
Из формулы (4.10) следует, лз — ! 1 что произведение — — не должно зависеть от плотности иссле лз+2 ' л! дуемого вещества 6, которая пропорциональна концентрации атомов й/. Часто вводят понятие удельной рефракции вещества лз — ! ! (4.11) из+2 6 ' См,: К в т т е л и Ч, Введевие в физику твердого тела. )з!., Физматгиз, !962. !17 Как показывает опыт, для многих веществ удельная рефракция не зависит от их плотности в широком интервале значений последней, что находится в согласии с (4.10); при уменьшении давления исследуемого газа его показатель преломления и стремится к единице и выражение (4.10) переходит в привычную формулу (4.6). Если в спектре исследуемого вещества имеется несколько коротковолновых полос поглощения, то нужно заменить правую часть выражения (4.6) соответствующей суммой, а именно: и«=1+ — ~' (4.12) 1 "'о1-"' Здесь Уу — число атомов, для которых электрон имеет собственную частоту го«у. Число таких собственных частот в классической теории дисперсии соответствует числу полос по8«тфв4иниы глощения в коротковолновой части спектра.
Если общее число атомов в единице объема по-прежнему равно Ж, то ~Му = У. 1 зги«5нм гв«4ень Таким образом, предполагается существование нескольких групп атомов, характеРяс. 4.4. К вовяяявовеяяв спектра поглощения яо Бору Рнзующихся различными квазиупругими силами. Выше уже упоминалось, что задача о движении электрона в поле световой волны может рассматриваться квантовомеханически. В результате этого получается почти такое же выражение, как и классическая формула (4.12), а именно: 4яо« ~я)т И~1 я ,. е г«ее — «Р (4.13) 118 однако смысл сходных обозначений будет в этом случае совсем иным. Здесь символ го~я означает уже не частоты свободных колебаний различных квазиупругих электронов, а круговые частоты, соответствующие разрешенным переходам в атоме для одного и того же оптического (валентного) электрона, которые можно определить по известным правилам, впервые сформулированным Вором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
