Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(3.2) Отсюда следует, что в данном случае векторы Р и В не коллинеарны. Существует ряд обстоятельств, позволяющих упростить эти соотношения в оптике кристаллов. Так, например, из выражения для электрической энергии единицы объема, которая, по определению, равна ЯГ» = ЕВ/(8п), можно при учете закона сохранения энергии получить симметричность составляющих тензора диэлектрической проницаемости (т.
е. еи, = евв). Нетрудно доказать, что для любого кристалла Для анизотропного диэлектрика становится неверной простая зависимость 0 = еВ (е — скалярная величина), которой пользуются при описании любой пзотропной среды. В этом случае связь между векторами Р и Е задают более сложным соотношением, в которое входит так называемый тензор диэлектрической проницаемости. Оно записывается следующим образом: можно ппйтп такнх три главных направления, для которых (если цыбрпть пх за оси координат ХУЯ) справедливы соотношенияз причем в общем случае е мь еи ~ а,. Рис. 3.12 иллюстрирует неколлинеарность векторов Е и 1з, имеющую место в данном случае.
В выбранных таким образом координатах Х)л2 выполняется соот- ношение е„хз + евуз + е,гз = сопз1. Рис. 3.12. Неколлинеариость векторов Е и 11 в анизотропной среде Рнс. 3.13. Эллипсоид Френеля для двухосного кристалла: О'О' и О"О" — оптические осн кристалла бой эллипсоид имеет два круговых сечения (рис. 3.13).
Направления, перпендикулярные таким круговым сечениям, называют Оптическими осями кристалла, который в общем случае дожен быть двуосным. Если справедливо равенство е, = еи Ф заа то эллипсоид Френеля вырождается в эллипсоид вращения, характеризующий одноосный кристалл, единственная оптическая ось которого совпадает с осью Х.
' В математике зту операцию называют диагонализацией матрицы в= О зи О Это есть уравнение некоего эллипсоида, который называют лллипсоидом Френеля. Используя равенство п = )I в, можно записать уравнение эллипсоида в виде п'„х'+ пз уз+ п,' г=сопз1. (3.4) Формула (3.4) показывает, что главные оси эллипсоида Френеля представляют собой обратные величины по отношению к трем главным показателям преломления пю пю и,. Из геометрии известно, что лю- В 11 1 ! были обсуждены основные оптические свойства таких кристаллов и простые способы определения этого преимущественного направления в кристалле.
Сформулируем следствия из уравнений Максвелла для непроводишси анизотропной среды, где связь между векторами 0 и Е задаки ~ помощью указанной выше диагональной матрицы (3.5) е= О есО Будем считать р = 1, т. е. В = Н, что соответствует опытным данным по распространению света в кристаллах. Тогда уравнения М;и.снелла примут вид го1 Е= — — —. го1 Н = — —. 1 дн 1 дП (3.6) с д8 с д/ 1!щем решение этих уравнений, записав выражение для напряженности электрического поля в виде Е=Е,ехр~!в(У вЂ” — '")~ = Е,ехр ~!в (/ — — ' п)~= =Есехр~!в ~/ — ' '"" '* п~~.
(3.7) с Здесь й, — единичный вектор нормали к волновому фронту (й, = = к//с, где й = 2п/Х). В изотропной среде этот вектор совпадал с направлением вектора потока энергии $ = — ' [ЕН). 4я Аналогичное выражение можно получить и для вектора Н. Напомним, что 0 = Р, ехр [/в (à — й,г/и)), где О, не совпадает по направлению с Е,. Считая, что плотность свободных зарядов внутри крисдЕх галла равна нулю, имеем йч Р = О, тогда как йч Е = — „"+ дЕс дЕк + †" + — * не обращается в нуль, поскольку Е не коллинеарен Р. При решении уравнений Максвелла (3.6) учтем, что для плоской волны дифференцирование по времени и координатам сводится к следующим операциям: д .
д . с — =!в, — = — !в — й~„. д/ дк То1 да (го1 Е)„= — ' — — ' = — !в — (й,с Е,— И„Ес). ду дк с Вмегге с тем (го1 Е)„= — — !в/1„. 1 с 97 4 аск ЫС 1 дц Аналогично для уравнения го1 Н = — — имеем: с дс (го1 Н)„= — ссо — (И,вНх — йпОв), (го1 Н)„= — тРх. и 1 с х с В векторной форме приведенные выше соотношения можно записать в виде а(Е)с,]= — Н, п(Н1с,)=0. (3.3) Отсюда следует, что вектор йы характеризующий направление нормали к волновому фронту, перпендикулярен векторам Н и 0. с Вместе с тем вектор 8 = — „(ЕН), определяющий направление рас- пространения потока энергии, перпендикулярен х В векторам Е и Н и не совпадает с направлением йь так как известно, что 0 и Е не коллннеариы.
Рис. 3.14 иллюстрирует эти следствия решения уравнений Максвелла. Следовательно, при распространении электромагнитной волны в кристалле и фазовая скорость и (направленная по й,) и группо- вая скорость 0 (совпадающая по направлению с Рис 914 Перпен- ВЕКтсрОМ 8) раЗЛИЧаЮтея ПО НаПраВЛЕНИЮ. ВМЕСТЕ и У-Р «ФРои У стемвектор Е, оставаясь перпендикулярным Н, волны в кристалле не совпалает с не перпендикулярен направлению распростраиенаправлением рае- ния фазы волны — вектору к,. В этом смысле пространениа анер. волна в кристалле не является строго поперечной, так как имеется отличная от нуля проекция вектора Е иа направление й, и соответственно проекция вектора 0 на направление 8. Лишь при распространении волны вдоль одного из главных направлений (когда вектор к, совпадает с одним из главных направлений кристалла, которые были приняты выше за оси координат) вектор 0 коллинеарен вектору Е.
Заметим, что проведенные преобразования позволяют в общем виде решить задачу о распространении электромагнитной волны в кристалле. Действительно, комбинируя оба решения уравнений Максвелла, имеем 0 = — и' ИЕй,) й,) = ие (Š— 1с, (Е1с,)). (З.сс) Решая это уравнение совместно с 0 = (а) Е, можно получить в яв. ном виде искомую матрицу в и далее записать формулы Френеля и все другие соотношения для данного случая.
Не будем заниматься этими очень трудоемкими и сложными выкладкамие, а разберем лишь некоторые основные задачи, связанные с распространением электромагнитных волн в кристаллах. На базе введенных понятий докажем возникновение эллиптической поляризации у преломленной волны в кристалле, определенным образом ориентированном по отношению к падающей линейно поляризованной волне. Рассмотрим распространение электромагнитной вол- ' Смл 3 о м и е р ф е л ь д А.
Оптика. М., ИЛ, 1953, гл. 1Ч. 98 пы вдоль одного из главпых направлений кристалла, которое совмесгим с осью Л. В зависимости от ориентации вектора Е в падающй волне относительно двух других главных направлений (Х и У) получается два различных результата: 1) пусть вектор Е в падающей волне направлен вдоль одного из главных направлений кристалла, например вдоль оси Х (рис. 3.15). Тогда для падающей на кристалл волны имеем Е = Е„= РеЕ,„ехр (йо (/ — г/и)). В кристалле 0 = О„и В„= е,Е„.
Следовательно в нем возникнет волна, в которой колебанйя вектора Е' будут также направлены вдоль оси Х. Она будет распространяться в кристалле со скоростью и' = с/)/а„, а ее уравнение имеет вид Е' = Ре Ео» ехр (ш (/ — г/ и')). (3.10 а) Совершенно аналогичные рассуждения приводят к выводу, что если вектор Е в падающей волне направлен вдоль оси У, то в кристалле будет распространяться со скоростью и" = с/~' е„волна, в которой вектор напряженности электрического поля Е" будет колебаться вдоль оси Г. Уравнение этой волны (3.10б) Е"=Ре Ева ехр /т (/ — г/и")) 2) пусть вектор Е в падающей волне лежит в плоскости ХУ и составляет угол а с осью Х (рис.
3.15). Разложим исходное колебание Е иа два — одно по оси Х, другое по оси У. Тогда в кристалле будут распространяться с разными скоростями (и' -ь и"), но в одном направлении (ось Я) две волны, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях. В зависимости от толщины пластинки о будет возникать различная разность фаз 6 между этими двумя колебаниями, и, следовательно, на выходе получится эллиптически поляризованная волна, которая лишь при 6 = О, и, 2п,, превращается в линейно поляризованную.
При 6 = (2й + 1) и/2 и а = и/4 удовлетворяются условия возникновения круговой поляризации, которая реализуется на опыте при прохождении света через определенным образом ориентированную пластинку с оптической толщиной 9/4 (см. 9 3.1). Становится понятным также, почему при некоторых ориентациях пластинки А/4 на выходе снова получается линейно поляризованная волна— это соответствует случаю Е = Е„ или Е = Е„. Столь же просто можно пояснить возникновение двойного лучелреломлвиия в кристаллах. Для наглядности исследуем одноосный крис- галл, хотя тот же результат легко получить и в общем случае. Пусть из воздуха на кристалл под углом ~р падает пучок естественного (неполяризованного) света.
Выберем оси координат ХУ2 так, как показано на рис. 3.16. Ось Х перпендикулярна плоскости рисунка, а оси К и Л лежат в этой плоскости. Нормаль к падающей волне ~акже лежит в плоскости У2. Пусть для этого одноосного кристалла г„= е, чь е,. Введем следующие обозначения: вв = е„ев — — е, = е,. 99 (а) з)п 1р/з!и ~рз=)/е„(б) яп ~р/з1п 1ря — — )Гее. Так как е, чь е„то ~рз' чь ~р,", т. е. преломленные лучи поляризованы во взаимно перпендйкулярных плоскостях и распространяются в кристалле в двух разных направлениях. Следовательно, если на х Е„ Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
