Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 54
Текст из файла (страница 54)
При гидравлическом трении (Р р) — й р (ду /г(1) (12.4) где Й,р — — пр„ (да определяется по характеристике вида, приведенного на рис. 12.2, а; пр, — коэффициент масштабов. После подстановки значения (Р„)„ из соотношения (12.4) в уравнение (12.3) имеем <~ У~и Фт ш2 +йтр ш+ (ссв+сн) Уж =севу (12.5) где р, — плотность жидкости в левой полости гидроцилиндра; ф, — объемный расход жидкости, втекающей в левую полость гидроцилиндра; Ут — объем жидкости, заключенной в левой полости гидроцилиндра; Умр — объем жидкости в трубопроводе, который соединяет золотниковый распределитель с левой полостью гидроцилиндра. Выполнив дифференцирование в правой части уравнения (12.6) и применив соотношение (8.5), получим К(Рь ) Катр) Рз РР1 рА1 = р1 ш + (~'г+ У1,р) н — — „,, (12.7) где В, — модуль объемной упругости жидкости в левой полости гидроцилиндра.
288 Скорость движения поршня гидроцилиндра регулируется изменением расходов жидкости, поступающей в одну полость (например, в левую) и вытекающей из другой полости (правой) гидроцилиндра. Сжимаемость жидкости н упругость опоры гидроцилиндра оказывают влияние на зависимость скорости движения поршня от расхода жидкости. Эту зависимость найдем по уравнению расходов. При смещении золотника влево от нейтрального положения через окно во втулке в левую полость гидроцилиндра поступает жидкость с массовым расходом, который без учета утечек жидкости из полости можно представить в виде Р1(та 'шР (У1+ Ут р) . н (12.6) Не учитывая деформацию стенок трубопровода, объем У„ можно считать постоянным и уравнение (!2.7) можно привестй к виду лУ1 ! У тр! !'1 4ь )1 = — +('1+ — ~ — —.
и (, У)в„, и' (12.8) Объем У, полости гидроцилиндра изменяется вследствие перемещения поршня и перемещения самого гидроцилиндра из-за упругости его опоры, поэтому СЬ'1 = Рв ЛУ вЂ” Р„1(У„, где ув — координата, определяющая положение гидроцилиндра относительно внешней опоры. Пренебрегая массой гидроцилиндра, запишем следующее соот. ношение для приращений действующих на него сил: С,„1(У — — — Рц ДРв. (12.10) С помощью соотношений (12.9) и (12.!О) уравнению (12.8) придадим вид Так же определяется уравнение расхода жидкости, вытекающей из правой полости гидроцилиндра: где В 1 — модуль объемной упругости жидкости в правой полости гидроцилиндра.
Если ограничиться рассмотрением малых по сравнению с полным ходом перемещений поршня гидроцилиндра от своего среднего положения, то можно объемы У, и Ут принять постоянными и равными У, — половине всего объема гидроцилиндра. Кроме того, обычно допустимо считать, что !' тр 1 ттр 1 2тр. Когда позиционная нагрузка при среднем положении поршня равна нулю, давления в полостях гидроцилиндра близки к значению (р„— р,„)!2, что позволяет при. малых содержаниях нерастворенного воздуха в жидкости полагать В,=В,=В . При перечисленных ограничениях и в предположении равенства гидравлических сопротивлений всех четырех щелей, открываемых золотником во втулке, мгновенные расходы 91 и Ят можно заменить одним значением Я,.
Просуммировав с учетом сказанного 289 Ю 11вввв Д. Н. левые и правые части уравнений (12.11) и (12.12), найдем (12.13) ц гдв Е„'= у "2в (12.14) + тр+ ж ц Уа Уосцц Величину Е„' назовем приведенным модулем упругости гидро- цилиндра с упругой опорой. Как видно из соотношения (12.14), при с,„ = оо значение Е„' будет Ец В /(1 +ф. (12.14') 'Расход жидкости О, определяется расходно-перепадной характеристикой золотникового распределителя, которая, как следует из э 11.1, в общем случае является нелинейной функцией перемещения золотника х, и перепада давления р„в полостях гидроцилиндра: О, О, (х„р„).
(12.16) Уравнения (12.1) или (12.2) и (12.6), (12.13), (12.16) описывают динамику нагруженного гидроцилиндра, скорость движения поршня которого регулируется четырехдроссельным золотниковым распределителем. К этим уравнениям необходимо присоединить уравнение механизма управления. Если корпус золотника и точка 0 рычага СОВ закреплены независимо от гидроцилнндра и не перемещаются при работе гидропривода, то для небольших углов поворота рычагов АОВ и СОВ из очевидных кинематических соотношений имеем х,=К,ьй — К„у, (12.
16) ОВ где К э — — коэффициент передачи механизма управления по АВ ОО сигналу управления; К„= — —,— — коэффициент обратной связи. Если корпус золотника и точка С перемещаются при смещении гидроцилиндра из-за податливости его крепления, то в уравнение (12.16) механизма управления должен быть добавлен член, учитывающий действие дополнительной обратной связи по перепаду давления в гидроцилиндре. Этот случай рассмотрен в ~ 12.6. $ !2.2.
СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ГИДРОПРИВОДА С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ Для получения линейной математической модели гидропривода необходимо линеаризовать функцию (12.15), описывающую расходно-перепадную характеристику золотникового распределителя. 290 С учетом утечек жидкости по зазорам между золотником и втулкой расходно-перепадная характеристика, вообще говоря, может быть линеаризована в любой точке $11.!). Однако следует иметь в виду, что от выбора точки, в окрестности которой лииеаризуется расходноперепадная характеристика, зависят условия использования уравнений гидропривода. Если эта точка соответствует смещенному от нейтрали золотнику, то приходится принимать во внимание, что поршень гидроцилийдра будет находиться в движении и значения объемов У, и $'в будут изменяться во времени.
В этом случае уравнение (!2.13) можно применять только на ограниченном отрезне времени, в течение которого поршень перемещается вблизи своего среднего положения. Указанное ограничение отпадает, если линеаризация расходно-перепадной характеристики проводится прн нейтральном положении золотника, которому отвечает равновесное среднее положение поршня гидроцилиндра. Чтобы охватить оба возможных случая линеаризации, будем рассматривать малые отклонения переменных относительно тех значений, которые соответствуют смещенному от нейтрали на величину х„золотнику.
Эти значения, как и ранее, будем отличать индексом «О», а отклонения — символом Л. При этом переменные, входящие в уравнение гидропривода, выразим так: Ь=йв+Лй; х,=х,в+Лх,; у=ув+Лу; у =у в+Лу; (сав = Яао+ Ласса~ Рн = Рнв+ ЛРн (12.17) В случае выбора точки линеаризации в окрестности, определяемой нейтральным положением золотника и средним положением поршня гидроцилиндра, в соотношениях (12.17) следует полагать й, = О, х„= О, у, = О, у, = О, Я„= О, р„, = О. При этом для краткости символ Л перед переменными может быть опущен после приведения уравнения к линейному виду. Линеаризовав функцию (12.15) и учитывая зависимость (11.15), получим Явв+Л4.=9,(х.в Рнв)+Ко~Ля — КогЛРв.
(12.18) Остальные уравнения гидропривода с помощью соотношений (12.17) представим в виде Рнвун ссв (Ув Утв)+ЛРнгн ссв (ЛУ Лут) =О; (12.19) хан+ Лхв = Кквпв+ Ккь Лл Квсув Квс Лу (12.22) Если в уравнениях (!2.18) — (12.22) принять все отклонения и их производные по времени равными нулю, то полученные таким образом уравнения будут описывать невозмущенное состояние гидро- привода. Это состояние является равновесным, если ~Уа ДУта хРва — = — = — =О. и= цт а= (12.26) Преобразовав уравнения (12.23) — (12.27) по Лапласу при нулевых начальных условиях и исключив затем изображения всех отклонений, кроме изображений отклонений входной стЬ (з) и выходной Лу (з) величин, получим "ц ц св Р с =Кхцбй(з) — ~Кт(1+ —," )+К р" 1бут(з) (12 28) св! Ох ц3 В большинстве случаев значения членов, которые заключены без множителя з в квадратные скобки в левой части уравнения (12.28), малы по сравнению с единицей.
С учетом этого уравнение можно записать в виде 7'сцз (7'цз + 2гц~цз+ ) дут (з) = Кхц ль. (з) (Кас+Кв) бут (з) (12.29) Коэффициентами уравнения (12.29) являются: 1. Гидравлическая постоянная времени привода т„„= Р,7ко,. (12. 30) 2. Механическая постоянная времени гидроцилиндра с приве. денной к его штоку массой, создающей инерционную нагрузку: Тц = )/ и/с„", (12. 31) где с„" — приведенная жесткость нагруженного гидроцилиндра; 2РцЕц (12. 32) Вычитая из уравнений (12.18) — (12.22) уравнения невозмущенного состояния гидропривода, находим уравнения гидропривода в малых отклонениях переменных: б1~, = Ко„йх, — Ко йр„; (12.23) Лр„р,— с„бу+с„бу =0; (12.24) ц Лх, = К ц бй — К бу.
(12.27) при абсолютно жесткой связи (с„= со) вместо с," имеем сч — — 2ГиЕи(7о. (! 2.32') 3. Коэффициент относительного демпфирования Г,я=Т, 12Т„ (12. 33) где Т,„— постоянная времени демпфирования гидроцилиндра; (12.34) 4. Коэффициент «внутренней обратной связи», вызванной действием позиционной нагрузки, К К~'>рс~/Ко~Рц ° (12.35) В уравнение входят танже ранее объясненные коэффициенты передачи К„а механизма управления и обратной связи К„[см. уравнение (12.16)). Постоянные времени Т„„, Т„, коэффициент относительного демпфирования ь„ и коэффициент внутренней обратной связи К„ выражают ряд свойств гидропривода.
Гидравлическая постоянная времени Т„„ определяет время заполнения жидкостью пространства, освобождаемого в гидроцилиндре при перемещении его поршня на величину, равную смещению золотника от нейтрали. Очевидно, что это время будет тем меньше, чем больше при одном и том же смещении золотника пропускная способность распределителя (больше Ко,) и меньше рабочая площадь Р„гидроцилиндра. С уменьше. пнем времени заполнения гидроцилиндра увеличивается скорость движения поршня, и поэтому постоянная времени Т„„характеризует быстродействие гидропривода.
Величина 1(Т„является угловой частотой в,„недемпфированных колебаний массы т, имеющей упругую связь с поршнем гидро- цилиндра, который заполнен сжимаемой жидкостью и закреплен на упругой опоре. Эта частота с уменьшением Т„увеличивается. Коэффициент относительного демпфирования ь„учитывает действие демпфирующих факторов, обусловленных наличием гидравлического трения в нагрузке и гидравлического сопротивления распределителя. Кроме того, этот коэффициент учитывает падение притока энергии в гидропривод, вызванное уменьшением расхода жидкости, протекающей через распределитель, при увеличении перепада давления в гидроцилиндре.
Коэффициентом К„ устанавливается пропорциональное соотношение между смешением поршня гидроцилиндра и у с л о в н ы м смещением зодотника, к которому в линеаризованных уравнениях приводится изменение расхода жидкости из-за изменения перепада давления в полостях гидроцилиндра при действии позиционной нагрузки. От этого коэффициента зависит статическая ошибка, с которой поддерживается заданное положение штока гидроцилиндра. При малых утечках жидкости через распределитель и малых смешениях х„золотника от иейтрали коэффициент К„оказывается обычно значительно меньше К„.
В дальнейшем в основном рассматриваются именно такие случаи, когда К„можно пренебречь по сравнению с К., Построенная с этим допущением по уравнению (12.29) структурная схема гидропривода изображена на рис. 12.3. Из схемы видно, что гидропривод имеет замкнутый контур, в прямой цепи которого последовательно включены интегрирующее и колебательное звенья, а отрицательная обратная связь представлена пропорциональным звеном. При возникновении колебаний в такой системе сдвиг по фазе величин Ьх, и К„бу может быть равен — 180' при зкачениях относительной амплитуды больше единицы, что указывает на возможную неустойчивость гидропривода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
