Bessonov2 (1063916), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ф 16.6). Остальные методы относятся к подгруппе расчета по мгновенным значениям. Теория переходных процессов в электрических цепях с управляемыми нелинейными индуктивными, емкостными и резистивными элементами, а также в электромеханических системах и цепях с управляемыми источниками с учетом их нелинейных и частотных свойств рассмотрена в ~ 16.9 — 16.12.
ф 16.2. Расчет, основанный на графическом подсчете определенного интеграла. Метод применим к нелинейным электрическим цепям, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, допускающим разделение переменных. Последняя оговорка свидетельствует о том, что метод применим к цепям постоянного и, как правило, неприменим к цепям переменного тока. Основные этапы и последовательность расчета проиллюстрируем на примере, Нелинейный конденсатор через резистор подключается к источнику напряжения Е/(рис.
16.1, а). Кулон-вольтная характеристика (КВХ) конденсатора задана графически (рис.!6.1, б). Полагая, что в схеме нулевые начальные условия, построить кривые изменения заряда д, напряжения на конденсаторе ис и тока (в функции времени. Составим дифференциальное уравнение: ис(д)+1~ — = (.~. (16.1) 529 Рис. 16.2 Разделим переменные: Ю=Р или М=КЦДйд, 1д У вЂ” ис(д) (16.1а) где (16.2) 1 Р(д)= Для построения кривой с(д) (рис. 16.1, и) используем КВХ.
Левую часть уравнения (16.! а) проинтегрируем по 1 от О до текущего значения 1, а правую по д — от д=О до текущего значения д. В результате получим 1=Я ~ ~(д)бд. о (16.3) ф 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации. Данный метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента такой нелинейной функцией, которая, во-первых, достаточно точно отображает его характеристику в предполагаемом интервале перемещения изображающей точки по ней и, во-вторых (и это главное), дает возможность точно проинтегрировать уравнение в известных функциях.
Ценность метода заключается в том, что в результате интегрирования получают зависимость исследуемой величины от времени и всех параметров схемы. Метод применим к дифференциальным уравнениям первого порядка, а также к уравнениям, сводящимся к уравнениям первого порядка путем замены переменных. Пример 161. Определить закон нарастания во времени тока при замыкании ключа в схеме ~рис.
16.2, б). Зависимость тока от потокосценления ф выражена формулой 1=йф . В схеме нулевые начальные условия. Графически подынтегральное выражение Е(д)дд представляет собой заштрихованную площадку (рис. 16.1, и). Кривая 1 на рис. 16.2, а качественно представляет собой зависимость д от 1. С помощью кривой д=Щ и КВХ нелинейного конденсатора строят зависимость и (1) (кривая 2). Ток в цепи для произвольного момента времени определяется по формуле ~=(0 — иД/К (кривая 3).
дФ йр Р е ш е н н е. Из уравнения цепи — +%=17 следует, что Ж= .. Вынесем Ж 1/ — Ю' нз знаменателя множнтель Я н заменим 1на Ьр: 1 дф И= †74 1„— Ь~4 где 17 —— (7/74. Обозначим l„=п н заменим йф на ф1, д~р на дф1/ф. В результате получим 2 4 4. 4 1 г1Ф1 1 1 1 1 Ж дф~ 2 1,4' 2 р4 2п 2+ 2 а — 'ф1 а+~р~ (16.4) 0,51л — =-ь~- и гй рф7! 1 1+ф/У 2/0,75Щ0,25 ' 1 4~.// У У У С помощью (16.4) можно определить время, которое необходимо, чтобы отношенне 1/(„достнгло заданного значения. а) Рис.
1б.З ф 16.4. Расчет методом кусочно-линейной аппроксимации. При расчете этим методом осуществляется замена характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий, что позволяет перейти от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким линейным уравнениям, отличающимся друг от друга лишь значениями коэффициента. Каждое из линейных уравнений справедливо для того интервала времени, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку.
Метод применим к цепям, содержащим источники постоянной и (или) синусоидальной ЭДС, а также к цепям первого и более высоких порядков. Для сложных нелинейных цепей с источником (источниками) синусоидальной ЭДС основная трудность расчета данным методом заключается в определении постоянных интегрирования, исходя из законов коммутации и времени работы на каждом линейном участке. В сложных цепях неизвестные находят обычно из трансцендентных уравнений, часто применяют ЭВМ. Впервые идея этого метода была высказана русским физиком Н. Д.
Папалекси в 1912 г. Рассмотрим основные этапы расчета на простейшем примере. Пример 162. Конденсатор емкостью С заряжается через НР от источника постоянного напряжения 0 (рнс. 16.3, а). Определить закон изменения тока в цепи прн зарядке и Р е ш е н и е. ВАХ НР заменим двумя отрезками прямых линий (рис. 16.3, б). Пусть на участке от 1=0 до 1=!~ и„р=йз1, где и„р — напряжение на нелинейном резисторе; Йз — коэффициент. На участке !)1! и„р — — 0о+й!Е Размерность коэффициентов й! и я2соответствует размерности сопротивления.
1 В уравнение цепи ис+и„~=У вместо ис подставим — ~ !г!1, заменим и„р для первого участка на 0о+й!1, а для второго — на л21. При зарядке конденсатора ток постепенно уменьшается от максимального значения до нуля. Поэтому изображающая точка перемещается сначала по первому участку, а затем по второму. Для первого участка — ( ЙМ+ Уо+л!!= У; С3 1 (. для второго — ( и!1+йз1=(/.
С3 Для первого участка 1=1„~+! =О+А!е — ~уа с Постоянную интегрировайия А1 найдем из начального условия: 1=0, ис — — О. Поэтому 0о+й!!(О+)=У и !(О+)=А! —— (У вЂ” Уо)/йп Следовательно, при работе на первом участке (16.5) (~о а, ка конденсатора ис=аз1!Ьд, то С,„ф(и )=— аЬ 1+— Пример ! 63. Составить систему уравнений по методу переменных состояния для схемы (рис. 16.4) при нулевых 4~ начальных условиях и указанных на рисунке положительных направлениях отсчетов токов и напряжений. ~ ~г Р е ш е н и е. Из уравнения 1,=!2+1з следует и <~~ бис цс ~"с 1 = — + — — = — '+С (и ) — -. Из уравнения ! ~~ У !1 Р диф С дф д$ Й .
~!! — +и =Е имеем —.— +и =Е или Е (!) — +и =Е. с— 61 ~! с диф 1! С Рис. 16.4 Пусть при 1=!! ток 1=!и Подставим в (16.5) 1~ вместо ! и !1 вместо ! и решим полученное уравнение относительно !1. ~о (16.6) !1 — — й! С!п й!1! (~ — ! !) При работе на втором участке 1=А2е ~2, причем Аз —— 1,. АС ф 16.5. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методом переменных состояния на ЗВМ.
Рассмотрим методику расчета, используя понятия дифференциальной индуктивности индуктивной катушки Е,„ф(!)= —. и дифференциальной емкости С„„ф(ис)=— й~ да '!"с нелинейного конденсатора. Если вебер-амперная характеристика индуктивной катушки ! 1=ы1!рф, то Е,„ф(!)= — - . Если кулон-вольтная характеристиарф+(г/а) Искомая система уравнений: оас 1 1 — — ~~+ 1+ ОЕ; Ю 1сС „,(ис) С „~(аД (16.7) (16.8) Значения Е „Ф(1) и С „~(ис) на(я+1)-шаге интегрирования подсчитывают по аначе- ниям 1и ис на й-м шаге.
ф 16.6. Метод медленно меняющихся амплитуд. В электро- и радиотехнике для расчета переходных процессов широко применяют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем. Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейной цепи второго порядка, находящейся под воздействием периодической возмущающей силы. Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом: дх дх 2 — +1(х) — +вох=А ЯпЫ.
Ю (16.9) (16.10) где а и Ь вЂ” медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого колебания. Медленность изменения а и Ь во времени определяется тем, что их производные по времени являются величинами первого порядка малости по сравнению с произведениями соа и вЬ: й~ й> — ~~:ва, — <~ вЬ. Ж (16.11) Если это учесть, то, вместо того чтобы взять йх да 6Ь сИ вЂ” = ав сов Ы вЂ” Ьвяп1 + яп в| — + сов в1 —, д1 М' (16.12) можно в первом приближении принять дх — ж авсоа1 — Ьвя п Ы. Ж (16.13) Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде (~х2.2 2 да — ж — в аяпв1 — в ЬсоаЫ+всоаЫ вЂ”вЂ” ~г дт Поддействием периодической силы с частотой в в цепи устанавливается вынужденное колебание, первая гармоника которого имеет частоту в. Полагаем, что высшие гармоники выражены слабо.
Искомая функция х(1) может быть представлена как х~ьыпЫ+Бсоьш1, ~4~ ~6~ — «ов«пЫ вЂ” + — в«пЫ+ — сов«о|+ ,««,~ ~2,1~2 да . «Ь +ьсов«о| — — вв«па| —, «и «и' пренебрежем в ней слагаемыми второго порядка малости (учтем, ~да да ФЬ ЙЬ что — ~ь — и о — ~~ — ) и оставим слагаемые первого порядка «1~2 «««,ц2 «!« малости. В результате получим ««х ~ дЬ . 2 да (16.14) — ж — еРа-1-2ь — в«пь|-1- — ««РЬ-1-2ь — совЫ. ,)~~ й ~п Обратим внимание на то, что слагаемые первого порядка мало- сти оставлены в выражении для Рх/«1Р и их не учитывают в выра- ' жении для дх/й.
Объясняется это тем, что исследуемая цепь обла- дает малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части (16.9) относительно мала по сравнению с амплитудами первого и третьего слагаемых левой части (16.9). В функцию ~(х) вместо х подставим (16.10) и разложим ~(х) в ряд Фурье.
Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось Дх) на дх/й !на правую часть(16.13)1. Таким образом, ««х Дх) — = «".о(а, Ь) + Р«(а, Ь)в«по«| + Яа, Ь)совЫ + о (16.15) +Рв(а, Ь)в«п2Ы+Г4(а, Ь)сов2а1+... 2ы — + Я~(а, Ь)+ Ь(в~ ~— ю)=0. Ж (16.17) Система уравнений (!6.16) и (16.17) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь. В общем случае решение этой системы может производиться методом малого параметра или методами численного интегрирова- 534 Так как расчет ведется по первой гармонике, то постоянной составляющей Ео(а, Ь) и высшими гармониками ряда Фурье !Е,(а, Ь), Р,(а, Ь) и др.~ в дальнейшем пренебрегаем. В (16.9) подставим правую часть (16.14) вместо «1'х/дР,, Е,(а, Ь)яп«о1+Яа, Ь)созЫ вместо ~(х)дх/М и «ао(аяпЫ+Ьсоз«о«) вместо «о~~х. Тогда (16.9) можно разбить на два уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
