Bessonov2 (1063916), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Р е ш е н и е (16.43) запишем следующим образом: х! — — А!з1п!п1 + В!спасова+ (С!з1пЫ + Е!!созе|)1 + слагаемое представляет собой вековой член. Его можно было бы не вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов А и Вп Еп Гп С,, Оп однако введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкам не помешает. Дважды продифференцируем (16.44) по времени: 2 ° 2 х! —— — А,ь з1пь! — В!ь соаь1+ С!ьсовь! — В!ьа!пь!+ + ь(С,соэь! — Й,э1пь!) — !ь~(С1а!пь! + В1совь!) — 9ь Е,э1пзь!— (16.47) 2ьс, = Ао),; — 8ь~Е, = 0,25ьАоз, 8ь~Г, =О.
(16.48) (16.49) Слагаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль: !(С з1пь! + О,соаь!)(ь2 — ь~) = О. (16.5О) Используем также заданные начальные условия для определения Ап Вп Сп Оп Еп Еп Так как начальные условия уже были удовлетворены при определении хо, то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в виду, из (16.44) находим х,(0) = В, + Г~ — — О. В соответствии с (! 6 49) Г1 — — О, поэтому В! — — О. Из уравнения (16 44), используя условие х!(0) = О, получим А, +И, +ЗьЕ, =О. Но,0! и Г! известны из(16.44) и(1648), поэтому л = — зе,= — л. 3 32ь Поправку на угловую частоту )и а вместе с тем и значение Ао найдем исходя из того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом !-: О.
Отсюда С! — — 0 и й, = О. Из (16.47) следует, что 1! — — О, а из (16.46) — что Ао — — 2: 3, Ао А = — Аз В =0 С =0 =О,Е = — —,Г =О,ь=ь. — О ! — » ! — ! — 1 — ° 1 — — О. 32ь ' 32ь' Ограничившись первым приближением и перейдя от р. к яп получим 3 з. Ло х = хо + рх! —— Аосозь! + А1( А~оэ(пь| — — в! пзь|). 32ь 32ь Перво привело к изменению амплитуды первой гармоники с Ао = 2до2 и к появлению третьей гармоники. 2ь Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и равна угловой частоте ьо нулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнению с предыдущим более трудоемко.
540 — 9ь~Г!совзь1. (16.45) Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43) слагаемые соответственно с в!пь! [формула (!6.46)[, соаь! [формула (16.47)), э!пЗь! [формула (16.48)1, соазь! [формула (16.49)[: 0 ~ —— 0,5А о(! — 0,25А ф; (! 6 46) В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра.
Насколько этот параметр должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важно, чтобы ряды для х и для а~ или ь сходились. Если ряды будут сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим методом не имеет смысла. ф 16.8.
Метод интегральных уравнений. От нелинейного дифференциального уравнения можно перейти к интегральному, используя одну из форм записи интеграла Дюамеля. Поясним идею этого перехода. Решение линейного дифференциального уравнения, например уравнения )д~ — + а~ — + аох= ~(1), может быть записано в виде х(~) =У(~)а(0) +$Ф)а'(~ — М . о (а) Под д(~) понимают переходную проводимость, либо переходную функцию в зависимости от того, чем является х по отношению к вынуждающей силе ~(Е); д(~) определим как решение (а) при Я~) = 1.
Если исходное уравнение нелинейно, например дх й~ — 2+ а| ~ + аох + Ьх = Щ, то нелинейный член ох' можно перенести в правую часть и рассматривать как внутреннюю вынуждающую силу: дх Йх 2 — + а1 — + аох = Щ) — Ьх . ,) ~2,) ~ (в) Используя (б), запишем решение уравнения (в): х = (~(1) — Ьх~(1)]д(0) + ~ [~(х) — Ьх~(т))д (1 — т)сИ. (г) о Переходная функция ф~) определяется по линейной части исходного нелинейного дифференциального уравнения при воздействии на нее 1(1). Уравнение (г) является интегральным уравнением по типу Вольтерра второго рода. Его можно решать методом последовательных приближений, полагая хо(1) = х(0) и пользуясь таким соотношением для й-го приближения: х,(о = ф ш) — ьх2,(к) дд(0) + $ фт) — ьх2,(т) фд( к — т) дт.
о Рис. 16.6 Метод имеет смысл применять только в том случае, когда про- цесс последовательных приближений является сходящимся. дх Пример 165. Решить уравнение — + х~ = 1 при х(О) = О. Ф Р е ш е н и е. Для определения д(1) на линейную часть системы воздействуем дх единичным напряжением — = 1; я(Ф) = Ф; д(1) = 1; д(О) = О; я'(Ф вЂ” т) = 1.
Записы- В ваем рекур рентное соотношение: хд(1) = ~ 11 — х~~,(т)1дт; о 1з х, = (,)т = 1; х, = 1 (1 — тз)йт = 1 — —, 3 13 ~15 17 т )211 з=~ 3 3 15 бз ф 16.9. Переходные процессы в цепях с терморезисторами. Методику рассмотрим на примере схемы (рис.
16.6, а). Переходный процесс вызван замыканием ключа К Полагаем, что температура окружающей среды й неизменна. ВАХ термистора при температуре ет представлена на рис. 16.6, б кривой а. Установившийся режим до коммутации определяется точкой 1, после коммутации — точкой 3. Сразу после коммутации сопротивление термистора (он обладает большой постоянной времени) остается равным его сопротивлению Уг до коммутации рг, = —. При коммутации изображающая точка 1 у скачком перемещается из положения 1 в положение 2.
После этого она по некоторой траектории перемещается из 2 в 3. Режим в точке т будем полагать устойчивым (в ф 3.10120] разобрано, как исследовать устойчивость этого режима). Переходный процесс описывается уравнением теплового баланса Рис. 1б.7 (а) )Т где С вЂ” — теплота, идущая на увеличение теплосодержания тела т ~~ термистора; С, — удельная теплоемкость; Т вЂ” среднеобъемная абсолютная температура тела термистора; Й(Т вЂ” Й) — теплота, отдаваемая в окружающее пространство; РР— теплота, выделяемая в термисторе.
Полагаем, что за время переходного процесса й и С практически неизменны. Сопротивление термистора й = й е~~г (см., на- ЛЕ пример,(20]); Я вЂ” сопротивление термистора при Т оо; й = —, 1 где ЛŠ— усредненная энергия активации, Й, — постоянная Больцмана. Например, для термистора ММТ-1 8=46001 и Р = 5,5 Ом. Из уравнения (а) следует, что т, Здесь ЦТ) = й е / — Й(Т вЂ” Й). ~+ ~ н~т (в) Верхний предел интеграла в (б) изменяется от Т, до Т;.
В В Утз !пф./й )' з 1п(Я./Я )' 'ъ ! 543 ф 16.10. Переходные процессы в цепях с управляемыми нелинейными индуктивными элементами. Типичный представитель такого класса цепей представлен на рис, 16.7, а. Управляемая цепь образована источником синусои- дальной ЭДС е(Х) = Е в]п(Ы + ~), двумя обмотками ы нелинейного индуктивного элемента, расположенными на двух одинаковых магнитных сердечниках (сечением 5, длиной средней магнитной линии Х), и резистором сопротивлением Й,с Управляющая цепь образована источником постоянной ЭДС Е,, резистором сопротивлением й и двумя обмотками ыо, расположенными на тех же сердечниках. Переходный процесс вызывается замыканием ключа К. При замкнутом К магнитная индукция в левом сердечнике равна В з]псоХ + В„, а в правом В з]про| — В„ (высшие гармоники не учитываем).
Амплитуда синусной компоненты В и «постоянная» составляющая В являются медленно изменяющимися функциями времени, влияющими друг на друга. Учитывая направления намотки катушек, замечаем, что потокосцепление двух обмоток ы равно 2ы5В з]пь|, а потокосцепление двух обмоток ыо равно 2ыо5Во. Выразим кривую намагничивания ферромагнитного материала сердечников гиперболическим синусом Н = азу~В. Используя закон полного тока и формулы (15.13) и (15.12), запишем первую гар2а1 монику тока: ~ = — сЬрВД вЂ” ХХ,(уВ )]мпм. Мгновенное значение медленно изменяющегося «постоянного» тока в цепи управления а1 со= — вЬ~ВоХо(ХрВ ).
Запишем дифференциальное уравнение для 'оо мгновенных значений первых гармоник управляемой цепи 25ж (1 2а1 — — ~И з|псо~ -]- — К„сЛфВг1 — ХХ,(ХРВ )]яппи = Е в1п(ьХ+ ср) (а) и дифференциальное уравнение для мгновенных значений цепи управления 2В~оо ФВо "®о Р «1~ ~о + — сЬРВоХо(ХРВ,„) = Ео. (б) Учитывая медленность изменения рВ во времени дрВ (~ИВ, из уравнения (а) получим уравнение (в): Ж тфВ сояо|+ псЬ~Во] — ХХ~(фВ )]яппи = Е сов~япь|+ Е ь1пщсояЫ; (В) 2уЯо) 2МИ„ Ш= ,и= ж Равенство косинусных компонент уравнения (в) дает уравнение (г). а синусных компонент — уравнение (д): трВ = Е з]про, (г) (д) псйЩ~ — ХУ,ЯВ )1 = Е соыр.
ю=482 ~У а2 Рис. 16.8 Возведем (г) и (д) в квадрат, сложим и разрешим относительно сйрво. Получим ~Е~ — (т~В )) (е) с~~Во, -у (уВ По формуле (е) строим зависимость РВ =~(1)В ) при переходном процессе (рис. 16.7, б). 2н'о-' Обозначим й = и перепишем уравнение (б) в виде с1РВо "о = ЕМо). Ж "®о ЗДЕСЬ Е(рВО) = ЕΠ— — сйрйОУО(уВ ). ИЗ ураВНЕНИя (ж) ОПрЕдЕЛИМ 'оо время 1, необходимое для нарастания РВо от О до текущего значения РВо- (з) лНо ОФВ о Располагая зависимостью рВо=2",(1), с помощью рис. 16.7, б получим РВ =2,(1), а затем, используя формулу 2Ы = — сьрВо( — 22,(2~В )1, строим огибающую амплитуд первой гармоники тока 1 управляемой цепи! =2,,(1) от времени.
По а1 фоРмУле ~о = — ьйРВоЩРВ ) опРеДелЯем зависимость |о = 24( 1). 'оо ф 16.11. Переходные процессы в нелинейных электромеханических системах. В качестве примера рассмотрим переходный процесс в электромагните постоянного тока (рис. 16.8, а). Сердечник и подвижная часть(якорь) электромагнита имеют площадь поперечного сечения 5, длину средней магнитной линии по пути в стали 1. ллл ол 1 545 Масса якоря и груза ж, кривая намагничивания сердечника и якоря Н = ~(В) известны (рис. 16.8, б). Через х обозначим изменяющееся расстояние между верхней частью якоря и сердечником.
В исходном состоянии х = О. В процессе движения якоря зазор равен 6, — х. При притянутом якоре х = 6, — 6,(6, — толщина тонкой не- магнитной прокладки; она может и отсутствовать, тогда 6, = 0). Переходный процесс после замыкания ключа К при ~ = О состоит из трех стадий: 1. От 1 = О до 1 = 1, при неподвижном якоре (х = О) сила тяги возрастает от О до величины, равной весу якоря и груза, а индукция — от 0 до В, (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
