Bessonov2 (1063916), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Одно из них !уравнение (16.9)] будет выражать собой равенство коэффициентов при соз«а| в левой и правой частях (16.9), другое !уравнение (16.17))— равенство коэффициентов при з1пЫ в левой и правой частях (16.9): 2 2 — 2«~ — +~«(а, Ь)+а(во — ы )=А; (16.16) ния. В частном случае, когда внешняя периодическая сила равна нулю (А=О) и функция г,(а, Ь) =О, система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка ба ~,(а) (16. 18) — = — — (Ь=О). М 2в Ранее были рассмотрены основные этапы перехода от дифференциального Рис. 16.5 уравнения для мгновенных значении 1уравнение (16.9)] к дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуд.
Метод применим и к уравнениям более высоких порядков. В заключение необходимо отметить, что если максимальное значение слагаемого ~(х)дх/сИ в (16.9)(и подобных ему), выражающее собой падение напряжения в активном сопротивлении контура (контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых (16.9), то в выражении дх/д1 должны быть сохранены слагаемые первого порядка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая колебаний определяется уравнением и ~) =Й70 Я10 Пример 164. Определить закон нарастания амплитуды напряжения на сетке в ламповом автогенераторе (рис. 16.5). В соответствии с обозначениями на рис.
16.5 составим уравнение по второму закону Кирхгофа для сеточной цепи: ,11 11, Š— — М вЂ” +%+и =О. с— (а) дис Подставим в него) = С вЂ”. Получим М ~1 ис и" ~1ис 2 ЕС вЂ” — М вЂ” + йС вЂ” + и =О. ,11~ 11 Ж Анодный ток ьа выразим через сеточное напряжение (см. (!5.40)1: з 1а = 1ао + а ис — Ьис. б1а бис Жа Но — = (а — ЗЬйс —. Подставим — в (а): Ж Ж Ж '1 "с 2 ЕС вЂ” + ЯС вЂ” а М+ ЗЬМ.и) — + и = О.
Д12 с 11 с— Поделим последнее уравнение на ЕС = 1/ио, где ао — угловая частота автоколеба- 2 ний, и обозначим Ма — ЯС ЗЬМ (16.19) ЕС 2 Ма — йС 535 Получим б "с, Йс 2 й1(1 й2аС) + ®Оас (16.20) Примем 11нс 1 дх '! "с 1 о2х Д! ~~ Д~' ~~2 ~у " ~!2' х = иСФ2. Тогда (16.21) д х ь — 2 — я1(1 — х ) — + О1ох = О. Множитель — я1(1 — х ) и представляет собой функцию !(Х) уравнения (16.9).
Так как на систему не действует внешняя периодическая сила и частота автоколебаний равна ао, а не О1, то примем дх х = аз1паог, — ж ао1осозо>о!' ох па — = 2в — созв ! — О1~азшо> !. 112 О 11! О о О (16.23) Подставим (16.22) и (16.23) в (16.21) и учтем, что 3!п ио!Соь01О! = 0,25(созжо! — соьЗО)о!); 2О1осозо1О1, ао1оз1по1о! + аь1оз1по1о! й1ао1осозо1о! + 2 ° 2 Ж + 0,2Яг1аоаз(созо1О! — созЗюо!) = О. Введя новую переменную у = 0,25а2, получим — = й1У(! — У). 11У Ж (16.25) Уравнение(16.25) — это уравнение с разделяющимися переменными 111=~ Йу у а1! = — !пСО+ !п —; о 111 у где 1пСΠ— постоянная интегрирования: — = Сое У Ц1, 1 — у 1 — 2 С1 = 1/Со', а=21у = 1+ С,е ! 1+ С,е ~1' 1+ Сое ' Х = аэ!ПВО! 2 Амплитуда напряжения на конденсаторе изменяется во времени следующим обра зом: Так как расчет ведем по медленно изменяющейся по амплитуде первой гармонике, то слагаемое с созЗО1о! не учитываем.
Следовательно, да 2 — = ая 1(1 — 0,25а2). (16.24) а 2 аМ вЂ” РС 4+ ср='' зьм (16.26) Постоянную интегрирования С~ определим по начальному значению. Если при 1 = =0 и =ис(О ), с, 4 аМ вЂ” РС Ц2с(0 ) * 3~М Мгновенное значение напряжения на конденсаторе "с = ~с в1пыо~. (16.27) ф 16.7. Метод малого параметра. Нелинейные дифференциальные уравнения иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину х в виде ряда по степеням некоторого коэффициента р, который называют малым параметром: Р х = хо+ р,х, +рРх~+..., (16.28) где х,— решение уравнения нулевого приближения (последнее получают из исходного, полагая, что все нелинейные члены в исходном уравнении отсутствуют); х, — решение уравнения первой поправки, которая учитывает влияние нелинейных членов в первом приближении; х~ — решение уравнения второй поправки, и т.
д. Если исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой колебательный процесс, то квадрат угловой частоты первой гармоники со или первую степень а также разлагают в ряд по малому параметру: = 'о + 1ьЛ + Р ~ где со', — квадрат угловой частоты в нулевом приближении, когда Ф всеми нелинейными членами пренебрегают; 1ь~, — поправка первого приближения, вызванная нелинейными членами уравнения; р'~, — поправка второго приближения, и т.
д. Последовательность решения рассмотрим на двух примерах. 1. При х10) = 0 решить уравнение Йх — +х =!. Ю (16.29) К такому уравнению, например, сводится задача о переходном процессе в цепи, состоящей нз индуктивной катушки с нелинейной ВАХ и линейного резистнвного сопротивления„при подключении ее к источнику постоянного напряжения и при квадратичной аппроксимации зависимости потокосцепления от тока.
Линейные члены уравнения переносим в левую часть, а нелинейные, умножив на некоторый малый параметр р, — в правую(в примере р = 1): (16.30) ох — — 1= — 1. 2. 11 Представим решение (16.29) в виде ряда по степеням р: х= хо+ рх1 + р, х2+ ... 2 (16.31) Подставим (16.31) в (16.30): дх<~ Йх~ 2 Йх~ — -(- р. — -~- р, — — 1 = — р,зРр — р22хох1 — 11 (х, + 2хох2). (16 32) Из(16.32) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой частей его прн одинаковых степенях р,: "хо — — 1 = 0 — уравнение нулевого приближения; Ж г(х1 — = — х — уравнение для первой поправки; д1 ~~ Х2 — = — 2хох, — уравнение для второй поправки. Н Проинтегрируем (16.33): х„= 1+ Со.
Постоянную Со — — 0 определили из начальных условий. Подставим хо —— 1 в уравнение (16.34) и проинтегрируем его: (16.33) (16.34) (16.35) 1з х = — — +С. 1= 3 1. Для первой поправки начальные условия также нулевые, поэтому С1 — — 0; з х1 — — — —. Подставим значения хо н х1 в (16.35): 3' 11х 214 — — х= — +С, С=О.
2 16 2' 2 В соответствии с (16.31) (з 21а х= 1 — — + —. 3 15 (16.36) (16.37) Коэффициент я1 при нелинейном члене в дальнейшем будем считать малым параметром и обозначим р,. В соответствии с предыдущим х = хо + )Хх1 + 1Х2х2 + (16.38) ш' = шо+ $4 +1'~2+" Аналогичным путем можно было бы получить н последующие члены ряда (16.31). Так как уравнение (16.29) имеет точное решение х = 1И, то, взяв в разложе- нни 1Ы трн первых члена ряда, можно убедиться, что они совпадают с правой частью (16.36). 2. Решить уравнение для лампового генератора (вывод уравнения см. в примере 164 при начальных условиях х(О) = Ао х (0) = О): д~х дх — — й (1 — 2) — ~- ыо2х — — 0 ,1(2 1 Д( В уравнении (16.37) вместо х подставим правую часть (16.38) и ю — р7! р 12 вместо 0)0' 2 2 2.
о хо о х! д х2 2 2 охо ох! 2 2 2 — + р —, + р~ —, — 41 — (хо+ рх! + р~х~ + -.)21( — + р — + ~~х~, (16.39) + р' — '+".)+(ы' — И, — райх.+ рх, + р'х,+.,-) =О. (И Образуем из (16.39) три уравнения, соответствующие р в нулевой, первой и второй степенях: д хо 2 — 2+ Юро=о' (16.40) д х! 2 с(хо — + ""! =(' — хо) — + хА' ~12 Ю (16.4! ) '1 х2 дх! ')хо р + " х2 = (' — 4,~~ — 2хох!,~~ + /!х! + 12хо. (16.42) Проинтегрируем (16.40): хо — — Ао созь|.
Подставив хо в (16.41) и учтя, что з1пасоз~а = 0,25з1па + 0,25з1пЗа, получим Рх — 2+ оРх!= — а!Ао(1 — 0,25А~ц)з1пе~+Ао~!созсп|+0,25а!Аодз1пЗгп|. (16.43) Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный ЕС-контур без потерь (левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая сила с угловой частотой и!, равной собственной частоте колебательного контура, и сила с угловой частотой, в три раза большей. Известно, что если подключить колебательный 1.С-контур, имеющий активное сопротивление й -~ О, к источнику синусоидальной ЭЛС Е з!пЫ при оговоренных условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действительно, Е Е + 1 = — з1пв1 — — е з1п(гв1 + т).
пр св р й (16.44) + Е!з1пЗЫ + Е!созЗЫ. Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравнения; четвертое и пятое — частное решение неоднородного уравнения. Третье При й — 0 ч - 0 и б =. Р/(2Е) — О. Разложим е ~~ в ряд и„учитывая малость б, возьмем два первых члена ряда. В Е результате получим !' ж — 1в1п!01. 2Е Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени 1, называют вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том, ,что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом 1 ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
