Bessonov2 (1063916), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Кривые у =~(х), соответствующие различнь)м начальным условиям, называют интегральными. Начальное положение изображающей точки на ФП определяется значениями х и у = йх/д1 при 1 = О. Интегральную кривую, проходящую через точку ФП с заданными начальнымн условиями, называют фазовой траекторией. 550 Рис. 16.11 Вид фазовой траектории зависит от конфигурации схемы, характера нелинейности и соотношения между параметрами. Если процесс в цепи является периодическим, то через интервалы времени, равные периоду процесса, соответствующие друг другу значения х и у повторяются и фазовая траектория в этом случае является замкнутой кривой. Замкнутую фазовую траекторию называют предельным циклом.
Если интегральные кривые и снаружи и изнутри навиваются на предельный цикл, то его называют устойчивым, если удаляются от него — неустойчивым. Если же процесс непериодический, то фазовая траектория представляет собой незамкнутую кривую. Фазовую траекторию можно наблюдать на экране электронно-лучевого осциллографа С этой целью на одну пару отклоняющих пластин его подают исследуемую величину х, а на другую пару — производную от х. 9 16.16. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости. Рассмотрим несколько простейших примеров.
Требуется изобразить на ФП переходный процесс в схеме на рнс. 16.11, а, вызываемый при нулевых начальных условиях замыканием ключа. Обозначим:(в ток в цепи, ис — напряжение на конденсаторе. В уравнение цепи Ф + ис —— Е вместо ~"с 1 подставим С вЂ”: М "ис Ж ЯС вЂ” +и =Е. Положим ис — — х, оис/М = у, тогда у = (Š— х)/(ЙС).
Последнее уравнение описывает прямую аЬ (рис. 16.11, б), которая является фазовой траекторией рассматриваемого процесса (точка Ь вЂ” точка равновесия). Рассмотрим изображение на ФП синусоидального колебания(= ! з(пЫ (рис. 16.11, в). ох Обозначим 1 = х, тогда у = — = га! совЫ, т. е. х = 1 з(пЫ, у = Ы созЫ. Разделив первое уравнение на /~, второе — на юУм, возведя в квадрат получен- 551 а) Рис.
16.12 ные выражения и сложив нх„получим уравнение эллипса (4 '14-' Следовательно, изображением синусоидального процесса (фазовой траекторией) на ФП является эллипс (рис. 16.11, г). Направление движения изображающей точки показано стрелкой. В верхней дх полуплоскости у = — )О: следовательно, изображающая точка движется в сторону й ох увеличения координаты х. В нижней полуплоскости — (О, поэтому изображающая д! точка движется в сторону уменьшения координаты х. В целом перемещение изображающей точки на ФП происходит всегда по часовой стрелке. $16.17.
Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий. Тангенс угла наклона„образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке ФП и осью абсцисс, определяет значение ду/дх в этой точке. Совокупносты очек ФП, для которых ду/дх = сопз1, называют изоклиной. На ФП можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение. Для всех точек ФП, отражающей процессы в цепи второго порядка (кром~е особых точек), ду/дх имеет вполне определенное значение. В особых точках (ОТ) ду/дх = О/О, т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями оу/бх. ОТ классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки. Если ОТ окружена эллипсами (рис. 16.11, д), то ее называют ОТ типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения, Если ОТ окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (рис.
16.11, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью. Если ОТ окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (рис. 16.11, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью. Если корни отрицательные и действительные, то ОТ называют устойчивым узлом (рис. 16.! 1, з). При положительных действительных корнях получают ОТ типа неустойчивого узла (рис. 16.! 1, и). Когда один корень положителен, а другой отрица телен, имеем ОТ типа седла (рис. 16.11, к).
Рассмотрим переходный процесс в схеме на рис. 16.12, а, вызываемый замыкани ем ключа при нулевых начальных условиях: Е = 1 В; Я = 1 Ом; Е = 1! н; С = 1 Ф. 552 Рис. 16.13 Построим семейство изоклин для напряжения на конденсаторе ис. Определим положение и тип ОТ. Построим фазовую траекторию переходного процесса. (1 дис пис дис В уравнении цепи ЕС вЂ” — + йС вЂ” + ис = Е заменим ис на х, — на у, д1 М й И <1 ду и'х пу — у на — — = у- — и учтем, что Ь = Я = С = Е = 1.
Решим уравнение дх Ж пх и'у у — + у + х = ! относительно у и ду/дх: Йх 1 — х 1 + ду/йх' ду 1 — х — у дх у Из уравнения (б) следует, что координаты особой точки у = О, х =!. Последовательно придавая ду/пх значения О, 1, 2, ..., — 1, — 2, оо„строим семейство изоклин (рис. 16.!2, б). Все изоклины проходят через ОТ и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение ду/пх для нее. дис Так как х(0) = ис(0) = О и у(0) = — = О, то к началу процесса изображают! о щая точка находится в начале координат. В установившемся режиме х = 1 и у = О. Для построения интегральной кривой из исходной точки х = у = 0 проводим два луча до пересечения с изоклиной ду/дх = ! в точках т и а. Первый луч соответствует значению ду/дх = оо той изоклины, с которой начинается движение, второй — зна~1у чению — = 1 следующей изоклины, на которую точка перейдет.
Делим расстояние дх тп пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую— кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее н строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали. ОТ в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой плоскости не отражено. I пх Временные зависимости х = /(1) по фазовой траектории у = — = ~р(х) получа- Ж 553 пх ют по формуле 1 = ( —, где хо — начальное значение, а х — текущее. В окрестноц (х)' сти точки пересечения кривой с осью абсцисс поды нтеграл ьное выражение стремится к бесконечности.
Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при ц>(х) О, подсчет времени М на этом участке производят по средней скорости ~р, (х) = Лх/~р (х). (а) ток А~ й д сну дх ду 1 = — = у; — = — д = — — = 6щ; и = —.
сМ 61 Й дх Й ' дх Подставим соответствующие эквиваленты в (а) и запишем уравнение изоклнн Зх 12 Зх на каждом из участков: на участке / у = —, на участке П у = — — —, на 1 — а' 3+а 3+а* 12 Зх участке 117 у = — —— 3+а 3+а В ссютветствии с этими уравнениями строим на рис. 16.13, в семейство изоклнн для каждого из участков. Изоклины являются отрезками прямых. Значения а написаны рядом с соответствующей изоклиной. Жирной линией показан предельный цикл. Вопросы для самопроверки !. Охарактеризуйте известные вам группы методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям и по огибающим первых гармоник, графоаналитнческих и аналитических методов. 3. Почему метод расчета, основанный на графическом подсчете определенного интеграла, неприменим даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией времени? 4.
Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к электрическим цепям, описываемых уравнениями второго и более высоких порядков? 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной 1?7-цепи к источнику синусоидальной ЭДС максимальное значение тока прн переходном процессе не может превысить удвоенного значения амплитуды тока установившегося режима, тогда как прн подключении цепи резистор — индуктивная катушка с нелинейной ВАХ к источнику синусоидальной ЭДС это превышение может быть во много раз больше? 6.
Сформулируйте особенности расчета переходных процессов в нелинейных системах не чисто электрических, например электромеханических. 7. На примере цепи с термистором покажите, что бывает полезно подразделить переходный процесс на быстро и на медленно протекающие стадии и рассматривать их раздельно.
8. В чем идея метода малого параметра? 9. Запишите и прокомментируйте рекуррентное соотношение, являющееся решением нелинейного интегрального уравнения. 10. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд. 11. Как расчетным путем учитывают магнитную вязкость при перемагничивании 554 Пример 166. Рассмотреть колебательны й процесс в схеме на рис. 16.13, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
