Bessonov2 (1063916), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен источник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротивления резистора изменяется по закону синуса с частотой ь, ток имеет и высшие гармоники (частоты 2со, За). Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента К но линейно зависят от ЭДС Е. Обратим внимание также на то, что при ЙФО постоянная составляющая тока в цепи (рис. 18.3) не равна Е(К„, т, е. в схеме наблюдается своеобразный выпрямительный эффект. Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во времени параметрами, доставляется не только источниками ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками (иапример, механическими двигателями), которые совершают работу при изменении параметра (параметров) цепи. Какую долю энергии доставляет источник ЭДС, а какую дает внешний источник, совершающий работу при изменении параметра, для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать применительно к конкретным условиям.
Доля энергии, доставляемая внешним источником, может составлять в одном предельном случае нуль, в другом — 100 '4. ф 18.3. Расчет электрических цепей в установившемся режиме. Если переменный параметр изменяется во времени периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис.
18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют, исходя из законов коммутации и периодичности процесса. Если же переменный параметр изменяется так, что его можно представить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гармонического баланса. Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен вф 15.49.
Основные его положения и здесьте же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье 568 Рг Рис. 18.4 ~ = /о + Гпяпго| + /12созго~ + Р„з1п2гв~ + /22соз2го| + .. Задана сводится к определению двух постоянных: С1 и С2 При 1=0 1=/2., следовательно, (18.4) /2=Е/Л,+С,. Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содержит несколько неизвестных (1о, Уп, 1д2, 12,, 122), но является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелинейных цепей).
Далее решают систему линейных уравнений относительно /о, 1ц, /,2, 120 / Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону. Пример 167. В схеме на рнс.
!84, а ЭДС Е источника ЭДС и индуктивность Е катушки постоянны, а сопротивление резистора Я(1) меняется в соответствии с рис. 18А, б. Определить закон изменения тока в установившемся режиме. Р е ш е н и е. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменяется периодически Обозначим значение тока в момент 1=0 через Х2 В этот момент сопротивление цепи скачком возрастает от И2до К~ н ток в цепи начинает уменьша1ься. В момент 1=т ток принимает значение 71 и сопротивление скачком уменьшается с й1 до Р2.
Последнее приводит к тому, что ток начинает увеличиваться. В первом интервале времени от 1=0 до ~=т ток можно представить в ниде суммы принужденного Е/К~ и свободного С1е~1~ токов, причем Р~ —— — К1/Š— корень характеристического уравнения цепи РЕ+й~ — — О, С~ — постоянная интегрирования., ° . Во втором интервале времени от 1=т до 1=2т Е 1= — +С2е~2' '; Р2= — Й2/ь.
~2 Прн 1=т 1=1п поэтому (18.5) Е 1,= — +С,ер!'. 1 — р 1 Начальное значение тока для второго интервала времени 1~ можно найти и иначе: Е 1! — — — +С2 1~2 К концу второго интервала времени, когда 1=2т, 1=12, 1 =Е/Я +С е 2'. Приравнивая правые части уравнений (18.4) и(18.7), получим ŠŠ— + С~ — — — + С2ер2'. М, й2 Аналогично, из уравнений (18.5) и (18.6) следует, что ŠŠ— +С +С ел~'.
2 11 1 Совместное решение двух последних уравнений дает (18.8) а(1 — еи2т) 1 еР~т+Р2т (18.9) Е Е С2 — — — а+Сне ~~; а= — —. я ъ; 1~2 1~1 (18.10) (18.11) подставляем ток ~=1о+1ыяпЫ+1~2совв1+12~в~п2ь1+122сов2Ы. Выделив постоянную составляющую, получим уравнение й!о — — Е.
(18.12) Равенство коэффициентов при в1пЫ в обеих частях (18.10) после подстановки в него(!8.11) и деления на сдает Е,„ (18.13) 1„— а1,2 — 0,5йа12~= — совф 21 р Приравняв коэффициенты при совЫ (после деления на Я), получим Е а1, +1,2 — 0,5Иа122 — — — айо+ — в1пф; (18.14) 570 В первом интервале времени 1=Е/Ц+С,ер~~, во втором 1=Е/К2+С2е~У '~. Кривая 1=1(1) показана на рис. 18.4, в.
Пример 168. В схеме на рис. 18.4, г ЭДС е=Е+Е„,в1п(ь|+ф), 1=1.о(1+йв1пь|) (1~1), сопротивление Я не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока. Р е ш е н и е. В дифференциальное уравнение д Б+ — ~1л)=Е+Е в1п(Ы+чЯ 61 Рис. 18.5 при з1п2со1 (18.15) аИ „+/21 — 2аl22 — — 0; при соз2гв1 (18.16) а И 12+2а!21+/22=0 а=ГВ ~-о/1Г- (18 1?) Е Е 1+4а2 05а2й2 М= — созф Ф= — з1п1г — аИо, 'а= Р Р О 1+4 2 ай а(1+4а2 — а~а 2) 2а~й т — , Р— У= 1+4а2 1+4а2 1+4а2 Изменяя постоянную ЭДС Е в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.
ф 18.4. Параметрические колебания. Возникающие в электрических цепях без источников ЭДС и источников тока незатухающие колебания, обусловленные периодическим изменением индуктивности или емкости системы, называют параметрическими. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при периодическом изменении параметра либо за счет энергии, вносимой в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем.
Частота первой гармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты изменения параметра. На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных условиях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит из катушки нндуктивностью Е., нелинейного резистора, ограничивающего амплитуду колебаний Й(1)=А' +Ы, и конденсатора, емкость которого изменяется во времени: .2 С=Со — ЛСсоз2ы|, ЛС/Со.ч,=.1. (Предположение, что ЬС/Со~ '1, принято только для облегчения решения.) 571 Из (18.12) следует, что в схеме на рис.
18 4, г постоянная составляющая тока /о не зависит от переменных составляющих индуктивности и ЭДС. Однако постоянная составляющая потокосцепления, равная Е /о+0,5йЕо/11, зависит от амплитуды первой гармоники переменного тока. Это свойство в известном смысле напоминает первое нз свойств нелинейных элементов с симметричными характеристиками, описанное в $15.17.
Запишем решение уравнений (18.13) — (18.16): аМ+ 11й1 1т — 1У11 11 2 2 ' 12 1 ~21= г~11 ~~12~ ~22 ~~11 1~12~ а +13 Сначала рассмотрим случай, когда емкость конденсатора изменяется механическим путем. Внешняя сила, совершая)щая работу при изменении емкости конденсатора, доставляет в цепь энергию. Эта энергия равна потерям в активном сопротивлении. По второму закону Кирхгофа, Š— +й(1) 1+ С 1 — — соз2ы! С В соответствии с формулой (18.2) последнее слагаемое представим так: 1 ЬС вЂ” 1.~- — ~ы2~г) !гдг.
Со Со Подставим в это уравнение !=аз!пы| — ЬсозЫ, разобьем его на сииусные и косинусные составляющие частоты в (высшими гармониками пренебрежем) и решим относительно квадрата амплитуды тока а +Ь =А: 2 2 2. г 2~- А=— ЗМ При А ~О колебания существуют; А )О при ь!~ы(со~(рис. 18.5, б); ы~допре- 2 г я деляют как корни уравнения А =О. При в = Лсо Гь ЛС А=А = — 7 — — — М ах З 'т'С С о . о о Условием возникновения колебаний в этом случае является Р~С 2тго Со Й/Со Качественно поясним сущность процесса поступления энергии в цепь при изменении емкости конденсатора во времени.
Энергия, запасенная вэлектрическом поле конденсатора емкостью С с зарядом -Ед на пластинах, В'„=д /(2С). Если при неиз- 2 менном д емкость изменить на ЬС(ЛС/С ~;1), то энергия станет равной Приращение энергии д ЛС ЬВ' = — — —. э 2С С' Верхняя криваи (рис. 18.5, и) изображает изменяющийся по синусоидальному закону во времени заряд д. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения емкости во времени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а прямоугольным). Когда заряд д проходит через максимум, тоемкость почти скачком уменьшается (ЬС(О), когда через нуль, то емкость почти скачком возрастает (Ь С~О). Уменьшение емкости соответствует раздвиганию пластин конденсатора„а увеличение — их сближению.
Поэтому, чтобы при д=д емкость почти скачком уменьшить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженного конденсатора притягиваются друг к другу. Следовательно, для того чтобы раздвинуть пластины, внешний источник энергии должен затратить работу на преодоление сил их притя- 572 Рис. 18.6 жения. Эта работа переходит в энергию электрического поля конденсатора.
За период изменения д энергия конденсатора дважды возрастает на 2 = — 'Ю э Сближение пластин (увеличение С) происходит при д=0, когда силы, действующие на пластины (силы поля), равны нулю. Поэтому при сближении пластин внешняя сила не совершает работы. Поступление энергии в параметрическую цепь при изменении параметра цепи называют накачкой энергии. Рис. 18.5, в качественно поясняет также, почему частота колебаний на схеме в рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения параметра (емкости). Если емкость стала бы изменяться во времени в соответствии с пунктирной кривой (рис. !8.5, н), то энергия в этом случае и цепь не доставлялась бы (не накачивалась), ибо сколько энергии доставит в цепь внешний источник при уменьшении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при ее увеличении. Накачка энергии в цепь может происходить не только при изменении емкости, но и при изменении индуктивности во времени.
ф 18.5. Параметрические генератор и усилитель. В параметрических генераторе (ПГ) и усилителе(ПУ) емкость варьируют не механическим, а электрическим путем— изменяя емкость диода (варикапа), находящегося в запертом состоянии. На рис. 18.6, а в ПГ зажимы аЬ закорочены, а в ПУ к зажимам аЬ подключен источник сигнала частотой а,(показано пунктиром). Источник постоянной ЭДС Еозапирает диод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
