Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 30
Текст из файла (страница 30)
' 'у~Е -//+ — ~ — / 1~=0 1 „д/ «Р 2 дх «,о«со (Ч1.121) с граничными условиями «/« = (Т/Т..)" />=0 при »=0; прк х = оо. /=О, /> Р/Р„=Т /Т, >/> = О, д>/>/д>1 = 0 при » = О; д>/>/д>1= п>~ при >1 = оо. Введем, как и прежде, переменные Блазиуса, определяемые соот- ношениями Будем полагать, что функпия /(х) зависит только от х. Тогда производные функдни тока имеют внд — — — — У (х)~ — = /(х); д>Р д>Р д» «>>о>хс>>( > ГРсо>в>»> д0 дх д0 'Ч ~ (') дс 2 ч р»»4 — ~ = е>»О1/ — / (х); д >/> Р>я>е>со я д0 ~/«1 — =-- Ы1 (х)01~— д ф 1 > Рссп>>>е д4дц 2 >~/ «с»( Подставляя значения производных в уравнение движения (Ч1.120), после укрошения получаем Аналогичным образом с помошью переменных,Порашпшына уравкение энергии может быть приведено к виду Вводя переменные Блазнуса> после несложных преобразований получаем 1 дТ д ( 1 «Р дТ1 «Р ">з »з дх~рг«Р дх/ «Р я ЗаМЕЧая, ЧтО Н>ся,/СР = (й — 1) Мсяс, И СЧктая ЧИСЛО РГ ПОСтОяи- ным, что с достаточной точностью выполняется для газов вслед- ствие одинаковой зависимости вязкости и теплопроводности от температуры, окончательно'получаем + Рг(й — 1) М ~ «Р /»з — О (Ч1 122) «АР»» с граничными условиямн, которые можно выразить в одной из следующих форм: 1) при отсутствии теплоотдачи: Т = Т' при х = О; 2) при наличии теплоотдачи: Т = Тс» прк х = 1.
Интегрирование уравнений (Ч1.121), (Ч1.122) в обп>вм случае требует применения численных методов, однако в случае линейной зависимости вязкости от температуры вышеупомянутые уравнения принимают форму уравнений, справедливых для несжимаемого течения. действительно, если связь между вязкостями задана в форме степенной зависимости от температуры: и, согласно уравнению состояния идеального газа, то при линейной зависимости вязкости от температуры (и к 1) РР = Р»еР»««. Таким образом, с учетом этого равенства уравнение движения принимает внд 0 5Оо+.1«о =О. Легко видеть, что в этом случае уравнение движения ничем не отличается от соответствующего уравнения для несжимаемой жмдкостк, поэтому для определения функции 1 и ее производных можно пользоваться данными, приведенными в табл. Ч1.2.
Аналогичным образом для случая линейной завнскмогти вязкости от температуры можно привести уравнение энергии к форме, отвечающей течению несжимаемой жидкости, вводя нот-т, вую переменную О = — для температуры," и«,„>/2 ср Оо + О, 5 РгУ 9' + 2 Рг~' = О, '«1.Й,Б, Точные решения уравнения энергии для пограничного слоя сжимаемого газа при др1дх = 0 Случай п«сплоизолированной сп«анни. При обтекании поверхности потоком газа с высокой скоростью вблизк поверхности выделяется значительное количество теплоты за счет действия сил трения.
Если поверхность тела адкабатно изолирована, то выделявшаяся теплота может быть отведена от нее только за счет теплопроводностн газа. В стационарном состоянии наступает равновесие между выделением и отводом теплоты. Температуру, которую принимает поверхность в этих условиях, называют адиабатпноб тпемперапзрроб стпенки Т„'.
Отношение разности температур Т'т — Т, к разности температур полностью нзоэнтропийно заторможенного потока Т;, — Тес называется коэЯ$ициентпом еосстпаноеления « = (Т'. — Те,)/(Т,„'— Т«е). (Ч1.124) Козффнпиент восстановления может быть найден аналитически в результате решения уравнения (Ч1.123), Уравнение энергии, записанное в форме (Ч1.123), представляет собой обыкновенное дифференпнальное уравнение, которое может быть решено методом варнапни постоянных либо с помощью введения интегрирующего множителя. Найдем частное решение этого уравнения для случал теплонзолированной стенки: 9(со) к О, 9(0) = О. Получим с помощью вышеупомянутого метода следующее выражение: ФХ1ас, з 1. ° г«,(«") «, о «Ь.
(Ч1.125) Используя значение 1 (см. табл. Ч1.2), уравнение (Ч1.125) можно проинтегрировать чнсленнымн методами. Полученные результаты в диапазоне чисел Рг = 0,5...10 хорошо аппрокскмнруются зависимостью 9,д = «/Рг. Заметим, что 9,д равна ранее введенному коэффипненту восстановления: 9ад вз т = (Т,' — Те»)/(Т' — Т, ).
Рис, Ч1ЛО. Козффиииеит аоеетаиоа«теи«тд «' ««родо кь но обтекаемой пластины ири М С 1 (ио Эккерту и Вейзе) 47 мт с т с с жс гс ° «1» зоо ввт Нп,„= 0,332ФРг »4Ь. б" + — ~й~ = О 2 О=в +С,а+С„ (Ч1.126) 9=Вот при»=0; 6=0 при»=со. ввв Найденные значения коэффициента восстановления хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными (рнс. Ч1.10), Теплообмеи при умерекной скорости. Уравнение энергии (Ч1.123) в этом случае значительно упрощается, так как прк М -+ О пропадает член, учитывающий дисснпадизэ энергик. В случае линейной зависимости вязкости от температуры уравнение энергии в точности совпадает с уравнением энергии для течения с постоянными физическими свойствами, если в последнем Т заменить на б по уравнению (Ч1.71): где б ж (Тсг — Т)((т — Т ).
(Решение этого уравнения уже было получено ранее), Плотность теплового потока на стенке найдем из уравнения / дт'1 дб1 =-1л — ~ =л(т -т„) 1 Переходя к переменным» и и, находим дб1 дб д» дб дх дп дд р д» р р, ш, дб1 ду1 д» дб д» дп ду д» р дп р Ц , х дб! Производная — ~ уже найдена ранее (см. формулу (Ч1.79)). С д»~ учетом этого вырЯкение для плотности теплового потока принимает вкд до, = (т, — Т ) Л 0,332Рг ~З вЂ” а— Роо Ч рооХ Переходя к локальному значенкю числа Нуссельта, получим и, наконец, полагал, что коэффициент теплопроводностк дктся в том же соотношении с температурои что и вязкость при и = 1, окончательно находим Таким образом, решение, полученное для пластины, обтекаемой потоком с постоянными физическими свойствами справш~- Ф ~ лино н цри переменных свойствах, если физические параметры, входяпше в безразмерные комплексы, относить к температуре на внешней гранкце пограничного слоя.
В этом случае происходит взанмнал компенсация влияния физических свойств на закон теплообмена, Теплообмеи при больших схоросоих. Лля того чтобы найти решение уравнения энергии прн наличии теплообмена, необ. ходимо его частное решение (Эьл) сложить с общим решением однородного уравнения й" + 0,5 Рту й' = 0 Таким образом, решение будет иметь вид тоо Тог — Т вЂ” з „; б= . Постоянные С и Сз оп д шпаг,) т -т' ляются нз граничных условий Из первого граничного условкя следует С1 = -Сз; из второго— /шз (т -т )~ — "=е +с~.
2су Подставляя вычисленные значения констант в уравнение (Ч1.120), после несложных преобразований находим распределение температуры в следующем виде: /~ — 11 т-т =,~~ ~~мз +(т т )(1 Плотность теплового потока определим по уравнению дт! дб~ =-л — ~ =л (т -т') — ~, д ду~ ' Проведя такие же преобразования, как и в предыдущем случае обтекания потоком несжимаемой жидкости с переменными физическими свойствами, найдем выражение для локалыюго зна чепия числа Нусселътв в следуюп«ем вняв: 2"сг — Тсг О 332 Ь/р /Я вЂ” Рстлсг 2"ст — 2'оо ' * Рооста' При линейной зависимости теплопроводности от температуры получим е = — - — оа332с(Р ~Л .
счг1ы) т, — т Здесь Т„'характеризует влияние числа М на теплоотдачу. Если коэффициент теплоотдачн относить к разности температур (Тсг — Т'. ), то придем к аналогичной зависимости, ранее полученной для течения несжимаемой жидюсти с постоянными физическими свойствами, Въгбор в качестве расчетной разюсти температур (Т -Т,' ) имеет н глубокое физическое обоснование. действительно, как только температура обтекаемой поверхности Тсг отклоняется от адиабатной температуры стенки Т', между поверхностью и потоком начинается пропесс теплообмена. На рис. У1.11 представлены кривые распределенкя темдератур в ла минарпом пограничном слое в потоке газа высокой скорости. Из рисунка видно, что коэффициент теплоотдачи следует определять по разности между действительной температурой поверхности Т,т и адиабатной температурой стенки Т"',т.е.
ест = ое (тст — 2ст) В этом слУчае пРи гст -е 0 Тсг — Т,' -+ О, а козффипиент теплоотдачи, характеризующий интенсивность конвективного теплообмена н зависящий и основном от гидродинамики потока, Рпс У1 11 Кривые Распределении температуры и ламинарном потраппчиом слое па пла.- стиии прп высоипи скоростюс потоюгг 1 — теплообмев отсутствует «дТ(дя) = Е; я, я' — ирп Т„, ) 7,", в иаиравлеввп теплового потока от степки; 3, Ю' — при Т, < Т;, и иа правление теплового потока к степке гет И.й.б. Приблилсснныб мггпод ргшгни» с помои«ью иннгггрпланого соогпношгни» энергии Анализ точных решений для пластины прн линейкой зависимости вязкости и теплопроводности от температуры показывает, что влияние изменения физических свойств газа может взаимно юмпенсироваться.
Поэтому решения, полученные для случал течения с постоянными физическими свойствами, сохраняют свою силу н для течений с переменными, свойствами в широком диапазоне изменения температурного фактора 4г = Тс4тоо, и в инженерных расчетах влиянием нризотермичности прп малых скоростях течения обычно пренебрегают. Эти соображения подтверждаются и результатами более точных расчетов. Рядом авторов проведены расчеты путем численного интегрирования некоторых случаев автомодельных течений «течение около клина, вблизи критической точка пилиндра).
При этом были использованы зависимости физических констант от температуры, близкие к реальным, аппроксимирующие изменения физических свойств воздуха в широком днвлазоне изменения температур «300... 1300оС). Этн расчеты показали, У сохраняет юнечное значение гге. В частном случае дозвуковых скоростей Т' -+ Тоо, и остается обычное определение коэффициента теплоотдачи. 270 Зт1 что, во-первых, влияние переменности физических свойств мож- но учесть выражением Фв = (Бс/Бса)к . = Ф", причем, сравнение чисел Бс производится при условии Вес = = Ыеш, и, во-вторых, зта зависимость закона теплообмена весьма слабая даже в случае ф = Т,т/Тс, > 1. Так, при шов = сопвС (пластнна, клин) и м -0,01 при Ф > 1; имО прн т/~<1. Решение уравнения энергии сжимаемого пограничного слоя при др/дх = О, Рг м 0,7 получено Ван Дристом методом последовательных приближений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
