Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Раздельный анализ упрощенных уравнений с последующим смыканием полученных решений для пограничного слоя и внешнего потенциального потока позволяет аналитически получить все необходимые характеркстики потока в целом. Если между потоком жидкости и поверхностью тела происходит теплообмен илк диффузия, то по аналогии с динамическим пограничным слоем вблизи поверхностк обтекаемого тела образуется тепловой нли диффузионный пограничный слой, т.е.
область в непосредственной близости от стенки, в которой температура или концентрация примеси изменяется от значения у стенки до соответствующего значения во внешнем потоке. В пограничном слое скорость, температура и концентрация примеси аснмптотически приближаются к своим значениям в потенциальном потоке, поэтому за толщину пограничного слоя обычно принммгют то расстояние по нормали к поверхностм, иа котором значение скорости, температуры нли концентрации отличается на 1 ть от соответствующего значенкя во внешнем потоке. Несмотря на свою незначительную по сравнению с характерными внешннмн размерами обтекаемого тела толщину, погра ннчпый слой играет основкую роль в процессах динамического к теплового взакмодействня потока жидкости с поверхностью.
'тт.1.3. АиЯ~еренциальные уравнения дииалтического, тпеплового и диффузионного пограничных слоев Впервые систему дифференциальных уравнений димамического пограимчного слоя получкл в 1904 г. известный аэродинамик Л. Прандтль, производя сравнительную оденку членов уравнений Навье — Стокса н отбрасывгл члены второго порядка малости. Рассмотрим, следуя идеям Прандтля, случай стационарного плоского пограничного слоя сжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил м процессов лнффузин. При этих прелположеннях система уравнений Навъе — Стокса и уравнение энергии (см.
гл. 1Ч) цринммают вил ЗВВ 14-100$ . в в (Р ъ)+ — (рвз) = О~ дх др 11 1/616 (У1.2) а д ~ ар Вр р вз — (сзТ)+ вз — (сиТ)~ — вз — — вз — = дх ду ~ дх Вр 1 1 1 1 6 1/6 1 1 1 б б — л — + — л — — рФ, (У1.з) 1 1 1/6У 1/бу где Ф вЂ” дисснпатнвная функция, Ф=- — *+ — Я вЂ” 2 — ~ + Э-Я вЂ” — *+ —" 1 6/б 1 б/б 1/б б/1 зге двх две'1 др р вз +вз + дх Вр,l дх 1 1 1 6 1/б 1 2 д Ввз Вв„ д двз двй 1 1 6/б 1/б 1/6 б/1 (ЧХ.1) дв Вв 1 Вр р в 1+в„Х вЂ” + дх " ду / др 1 1 б/1 б б/б 6 зд "2в дх +д " д +дх 1/6 б/6 1 1 1/б б/1 Рх». Ч1.1.
Схеме иограхвчвего слоя ха хравохиевйиай иоверх- хостх Преобразуем уравнения движения (У1 1), учитывая уже отмеченные ранее свойства пограикчного сюя — малость цоперечных размеров к скоростей по сравнению с дродольнымк. Будем считать, что толщина пограничного слоя б мала по сравнекяю с расстоянием х (рис. У1.1). Порядок величин вх и х примем за едкииду, тогда расстояние р б.
Из уравнения нерззрывюсти (Ч1.2) следует, что поперечиал скорость вя также имеет порядок б, если порядок плотности принять равным единице. Поскольку мы считаем что поврядок вх и х равен единице, то прокзводкые две/дх и д~вз/дх юлжиы быть того же порядка, а прокзюдные двз/др и ВЗвх/дрз — поРЯдка 1/б к 1/бх соответствеию. Нмея зто в виду, произведем оценку членов уравнений движения (У1.1), Полученные порядки будам подписывать поп соответствующими членамн уравнений.
рассмотрим <жачаяа первое уравнение движения. Очевидно, что первые два члена, заик- санные в левой части, имеют порядок единицы. Чтобы определить порядок величины др/дх, вспомним, что в случае плосюпараллельного течения жидкости с большим числом Йе внепшяя область потенциального течения описывается уравнением течения идеальной жидкости — + рссвсо — = О. Вр дв (Ч1.4) дх дх = ' 311 если принять Ь=~ СЬ;. (Ч1.18) ~~~ язв 1 (Ч1.19) в1е Уравнение движения, записанное для смеси, также сохранит свою прежнюю форму: дю др д г рюя — *+ рю — = — — + — ~р — ~.
(Ч1.14) " д* Я да дг ду ~ ду 1' То же самое можно сказать н об уравнении состояния Здесь С; = р;/р — массовая доля 1-го компонента. Основные особенности процессов в реагирующих смесях отражаются в уравненнях, описывающих тепломассоперенос (уравнения диффузии и энергии). Уравнение диффузии 1-го компонента в приближении пограничного слоя можно также получить, пренебрегая членамн второго порядка малости. Определим скорость диффузия 1-ю компонента юе как разность скоростей движения компонента н смеси: е,' = е; — ю. Заменив теперь в уравнении неразрывности (Ч1.11) скорость движения суммой скоростей, получим — РС;(ю'; — ю,)+ — РС;(ю„'; — зея) ж т;.
(Ч1.15) Согласно основному закону диффузии, скорость диффузи~ мож- но определить через градиенты массовых долей, температуры и давления: ю,' = ю1 — ю = — — 'йгабС; — — 'йгабТ вЂ” — 'йгадр, (Ч1.16) Ф р где Р;, Р~У, Р; — коэффициенты массоднффузни, термодиффузии и бароднффузии соответственно. Подставляя соотношение (Ч?.16) в уравнение (Ч1.15) и учитывал равенство (Ч1.12), после несложных преобразований получаем д д д ГР дс РтдТ Р. др~ Риз — С;+рюя — С; = — РС; — ~ — '+ — ' — + — ' — + *дг ' "ду ' дг '~С; дх Т дг р дх,~ + РС1 ~ — — + — ' — + — ' — ~ + гп;. ду '1,С;ду Т ду рдД Пля диффузионного пограничного слоя зто уравнение можно упростить, отбросив первый член в его правой части, имеющий меньший порядок по сравнению с остальными членами уравнения.
Кроме того, роль бароднффузин в пограничном слое ничтожна, так пах др~ду я~ О, н ею можно пренебречь. Таким образом, уравнение диффузии 1-го компонента в плоском сжимаемом пограничном слое имеет вид Рюк — +Р®я — = — ~'Р ~Р~ — + — ' С; — +из, .(Ч1.17) 'д ду =ду~ 1,-'ду Т 'др) Лля вывода уравнения теплового баланса воспользуемся уравнением (Ч1.8). Подвод теплоты нонвеяцией определяется так же, хая н в случае течения однородного газа, если предположить, что энтальпня реагирующего газа определяется по правилу смешения: Однако в уравнении энергии необходимо учесть два дополнительных источника теплоты, связанных как с образованием новых иомпонентов, так и с процессами диффузионного переноса. Процесс выделения (илн поглощения) теплоты прн образовании новых компонентов приводит к присоединению я правой ' части уравнения (Ч1.18) члена который, согласно уравнению (Ч1.11), имеет вкд ,/В д 1;и;( — рс; .;+ — „рс; „), ' ~ди др 1 (Ч1.20) где Ь,' — теплота образования 1-го компонента.
По определению, скорость диффузии 1-го компонента равна векторной разности абсолютных скоростей компонента и смеси, поэтому поток теплоты за счет диффузии можно выразить в форме вектора с проекциями па оси ОХ и ОУ: — [р1 (; — )1нс~~ — — ~р ~ ( °; — )~чс;~.
(Уи2) С учетом выражений (У1.20) и (У1.22) уравнение зпергии (У1.7) принимает следующкй вид: 1 + — 1 Л вЂ” 1 + — (ауршу;СЯ) + — ЯрвдСД)— В 1 — — ~~~) Р (вас' - вх) Сей 1 — — ~~~~ Р (в~ — ву) СГЬ|~ (Ч1 23) Э Ф Проведя тождественное преобразование — Ярве;С;й;) + — урву;СЯ) в д ° д 1 1 31Ь р (в„— вз) й;С;; р (в~ — ву) ЬсС,. (У1.21) Следовательно, второй дополпительпый член в уравнении энергии, соответствующий диффузионному перекосу теплоты, определится дивергенцией, взятой с обратным эдаком, суммы векторов потока теплоты, вызываемых отдельпыми компонентами: д ~~~~ Р(вы вз)С|й~~ + д ~~~~ р(вр ву)С1Ь'1+ 1 1 + — (',» Р;в.с,йу)+ — Я~ уСЬЬ), д, д 1 перепишем уравпепке (У1.23) в виде Рве — ~~~> С;(Ь; — Ь;.)1 + Рву — ~~~~ С;(Ь; — ЬУ)~ = В д — — ~~~~ ' р (вз; — вз) С; (Ь; — Ь;.)1+ 1 + — [~~),р( Ъг- у)С'(Ь' — М)~ (У124) Пренебрегая в уравнении (У1.24) прецпоследппм члепом, получаем уравнение энергии пограиичпого слоя с учетом химических реакций: дХ дХ др /дв~'зз Рве +Рву = вз +Ф1 ! + д* ду д* ЬЬ ! + — 1Л вЂ” — Е С; (ву; — уий; - Ь;)1, (У1.23) д1 д2' др ~ д~ ~ уг у где й = ~~> С; (Ь; — Ь;) — полная зптальппя смеси.
Подставив выражение Р; .Ф в; — = — — ' бган С; — - игай 2' Согласю уравнено (Ч1.33) н (Ч1.33) (Ч1.35) бт/б 1/4Рг. Уравнение движения после приведения я безразмерюму виду бу- дет следувшим: р и/с + ° ° — ° * ° /з — (Ч1.32) Здесь гильдой обозначены безразмерные величины, например и = л/Ь. Все члены уравнения (Ч1.32) будут иметь один и тот же порядок лишь при условии, что где Идос = р е/сс/й/р Таким образом, показано основное допущение, положенное в основу вывода уравнений пограничного сюя, что прн течении жидкости с большими числами Ке толпшна пограничного сюя невелика н имеет порядок 1/ч/Йе~.
Аналогичным образом преобразуем ура1знение знергин: Если оба члена уравнения имеют один и тот же порядок, то б~/Ь !/~/Р~И» (Ч1.34) Из выражений (Ч1.33) и (Ч1,34) получаем порядоя отношения толшнн теплового и динамнчесного погралнчного слоя: Соотношение (Ч1.35) показывает, что в газах и жидких металлах, для которых число Рг < 1, тепловой пограничный слой толще динамичесяого, а в жидкостях (Рг ) 1) бт < б. Преобразовав я безразмерюй форме уравнение диффузии, получим Оба члена в уравнении диффузии имеют одни и тот же порядок, если 6, // - 1/,( В. Ы (Ч1.36) бо/б ° 1/Лс. (Ч1.37) В табл. Ч1.1 приведены значения числа Шмидта для смеси различных газов с воздухом.
Тарлесе УИ. Числе Шмидта ддя малых заииеитраций осзиичинх гезюа в еоздтле Омопееппе п<ебл. Ч<Л. С< = ~~< т1<С;, 8со< =0,143М;' 0,$$6 Так как 8с = («/«о< о) Вес< о Р1.1.,/. Тройная аналогия Более подробно об этом си. и Ч1.2, С точюстью ~30 % зависимость числа Шмидта Яс от молеиулярной массы газа М при его нонцентрацнн в воздухе, стремящейся х нулю, мои<но одре<юлить по формуле Влияние ионцентрапдн можно учесть по формуле Для газов, имеющих молекулярную массу М; ( 32, число Шмидта Яс с 1 и, согласно уравнению (И.З<), диффузионный пограничный слой толще динамического. Если М; > 32, то й,<й Уравнения энергии и движения пограничного слоя (Ч1.30) становятся тождественными при условии Рг = Ье = Вс = 1 н др/дх = О.
Можно показать, что в этом случае уравнение диффузии становится тождественным уравнению движения н энергии, если ввести уравнение диффузии н энергии вместо массовой полн <'-го компонента С; так называемую полную хонцентрацнюехимического элемента смеси С . Связь между Су н С; выражена уравнением где г; — массовал доля у-го элемента в 1-м компоненте. Если не дронсходит внутриядерных превращений в погрп ничном слое, то массовые доли отдельных химических элементов не меня<отея. Следователью, если в уравнениях диффузии к энергии системы (И.ЗО) заменить С; на С ., то член в пре вой части уравнения диффузии обратится в нуль и уравнения диффузии, движения н энергии станут тождественными, Следствием этого прн подобии граничных условий, т.е.
прн и<от = О, авст = соппФ, Су,т = соппФ, должно быть подобие полей скоРостей, полной концентрации н полной энтальпии торможению м<л ЬΠ— "ест Су — Су -г:. <мм) Ооо ест С, — С А дЬО Ы,ц дс; "т = « —, (И.39) ~ ду ~~' то нз уравнения (Ч1.38) и (И.39) следует, что для рассматриваемых условий 812 = 8$« = С//2. (И.40) Здесь чст Е БСТ = $ р, всс(ЕΠ— Ьо ) 71.1.6. Ннтеграяьные соотношения имнулъсое, энергии и диффузии Полученные дифференциальные уравнения пограничного слоя проще соответствующих полных дифференциальных уравнений движения, энергии и диффузии вязкой жидкости. Тем не менее точное решение системы дифференциальных уравнений пограничного слоя возможно лишь для весьма ограниченного числа законов задания скорости внешнего течения и грглмчных условий на стенке, когда дифференцкальные уравнения пограничного слоя в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
