Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Теперь необходимо усталовкть условия, которые должны соблюдаться, чтобы уравнения, оннсываюшие явления одного н того же класса, были тождественными. Лля этого рассмотрим процесс приведения дифференциальных уравнений к безразмерному виду. Лиффереициальные уравнения, определяющие конвектквный теплообмен, в принципе очень просты — каждое нз ннх представляет собой совокупность физических эффектов, отражающую закон сохранения энергии нли массы. Например, дифференциальное уравнение теплоцроводности представляет собой равенство количества теплоты Я, подведенной к элементу среды, н изменение знтальпии «этого элемента: «Ц = «Й.

Дифференциальное уравнение движения выражает равенство всех снл, действующих на элемент среды, инерционной силе гу = ), Е';. Следовательно, каждое дифференциальное уравнение мажет быть записано в общем виде как алгебраическая сумма эффектов (снл, потоков теплоты и т.п.): Ю, +И, + Из+" +П„- б.

( ««',3) Составление дифференциального уравнения представляет собой переход от сложных физических понятий (эффектов) к простым физическим величинам (плотности, температуре и т.п.), т.е, представляет собой выражение физических эффектов через физические величины. Например, составление дифференциального уравнения теплопроводности заключается в переходе от уравнения в эффектах в виде «Ц = й к уравнению между физическими величинами в виде Й/й = а~7 $. Таким образом, кз,ждый эффект в уравнении представляется комбинацией первичных физических величин. Процесс определяется совокупностью эффектов, и поэтому влияние отдельных физических величин ца процесс проявляется в нх влиянии на всю комбинацию величин, представляющую эффект.

Уже отсюда можно заключить, что пропесс пелесообразно исследовать в характерных для него комбинациях физических величин. Привести дифференпкальное уравнение (Ч.З) к безразмерному виду можно следующим образом. Разделив и умножив ка. ждый член уравнения на масштаб эффекта, который он выражает, получим где Р— член уравнения, содержащий дифференциальный опера тор, выражающий определенный физический эффект и имеющий размерность эффекта: П вЂ” масштаб эффекта, представленного членом Р, И вЂ” член уравнения, выражающий относительный безразмерный физический эффект (это тот же член Р, только в относительных, безразмерных величинах). Масштаб эффекта представляет собой комбинацию масштабных физических величин, имеккпих место в данном эффекте.

Эта комбинация величин имеет размерность эффекте,. Физические велпчкны, выполняющие роль масштабов, целесообразно брать из условий однозначности, которые задаются при постановке задачи. Следовательно, уравнение (Ч.З) можно переписать в виде Пгдг+Пзйэ+Пзйз+" +Пвд =О (Ч4) Так как все члены уравнения измеряются в одних и тех же единнпах, то все масштабы эффектов Пг, Пз,...

имеют одинаковую размеркость. Поэтому, разделив все члены уравнения на один нз масштабов, например на Пв, можно получить уравнение в безразмерном виде: ягвдг + язвггз + язвггз + ° ° ° + ггв = О, (Ч.З) где ггГв = ПГ(Пв, ггэв = ПЗГ Пв,... — безразмерные комплексы физических певички, называемые опреоедагощими мрипзериями подобия. Определяющие критерии подобия состоят из содеригащихся в условиях однозкачности величин. Поэтому они могут быть вычислены при постаювке задачи, без ее решения клн экспериментального исследования. Критерии подобия выражают собой отношения масштабов двух определенных эффектов, существенных для явления.

Число критериев, вытекающих нэ опюго уравнения, на ешнпшу меньше числа членов уравкения. Безразмерное уравнение (Ч.З), очевидно, свраведзэгво только для тех относящихся к одному классу процессов, для которых все критерии, входящие в зто безразмерное уравнешге, численно равны. Следовательно, для того чтобы уравнения, опнсываюпше явления одного класса, были тожлвственными в безразмерном виде, необходимо, чтобы одноименные критерии подобия, имеющие место в этих уравнениях, были чксленко равны. Поэтому равенство одноименных критериев является условием подобия явлений, относящихся к одному классу к имеющих подобные условия однозначюсти.

Таким образом, для того чтобы физические явлеикя были подобны, необходимо следующее: 1) явлении должны быть одного класса, т.е. иметь одну физнческую природу и описываться одной системой дифференциальных уравнений; 2) условия однозначности явлений должны быть качественно одинаковыми, т.е. содержать одни и те же фнзкческие величины к одни и те же уравнения, опксываккпке поля соответствукппих величин; 3) одноименные определяющие крктерин явлений долкскы быть численно равны. В результате приведения к безразмерному виду каждое дифференциальное уравнение системы, описывающей процесс, приобретает форму уравнения (Ч.б), в котором величины гЦ со. держат дифференциальные операторы нэд безразмериыми перемевнымн ВКда бэгр/дР, ОгрГдт, Ядоя К т.д.

Очевидно, решение системы уравнений типа (Ч.З) юлжно представлять собой некоторую функпию, связнвэюпгую значения всех безразмерных переменных (зависимой гр н независимых Р, я, у, У), критериев подобия, а также безразмерных величин, заданных по условиям однозначности. Так кэп масштабные фнзическке величины для образования соответствующих безразмерных величии берутся нз усковий однозначности, то все безразмерные величины условий однозначности, принятые в качестве масштабов, равны ешппще. В решение войдут только безразмерные отношения величин одной и той же физичекой природы из условий однозначности (размеры, температуры и т.п.), например Р) = 1г/1о, Рь -- Т1(Те. Такие отношения называются парамегпричесмими критериллаи.

Следовательно, решение системы безразмерных дифференциальных уравнений будет иметь вкд Ф =Уг(г,я,у,з,я1>зъ",Рг>"); (Ч.б) т3 = Я(т, я, у, з, яг, из, ..., Р1,...), где <р, ф — зависимые (искомые) безразмерные переменные; т, н, у, з — независимые безразмерные переменные (время и координаты); 1г1, яз — опрепеляющие критерии подобия, которые зада. ны условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными; Р1 ... — параметрические критерии, заданные условиями однозначности и постоянные для конкретной задачи. уравнения вида (Ч.б) называются крипзериалънъмвв урвеиенилми подобия.

Каждое уравнение подобия описывэ ет все подобные между собой явления. Если нет необходимости определять искомую величину, например коэффициент теплоотдачи, в каждой точке поверхности н в каждый момент времепк, а достаточно знать его срепнее значение по всей поверхности и за весь период времени, то в уравнении подобия отсутствуют значения безразмерных коордкнат я, у, з к времени г и оно имеет вид ~э = Уэ(яъ яз,...,Р1,...).

(ЧЛ) В частных случаях, когда те или иные эффекты не проявляются в процессе, некоторые критерии, содержащке масштабы этих эффектов, могут отсутствовать в уравнении подобия. В таком случае имеем Оепзомодемьмоснзь явления по отношению к данному критерию. В уравнениях подобия, описывающих процессы с одинаковымн условиями однозначности, отсутствуют параметрические критерки. Следовательно, наличие в уравнении параметрического критерия, например отношения размеров, свидетельствует о том, что данное уравнение подобия учитывает некоторое геометрическое нелодобне систем.

Необходимо также отметить, что вкд критериев, вытекающих из дифференциального уравнения, зависит от того, на масштаб какого эффекта делили члены уравнения при приветики гво его к безразмерному виду. Однако системы критериев, полученных из одной и той же системы уравнений н условий однозначности, эквивалентны. Любая комбинация нз критериев является тоже критерием и может заменить в уравнении подобия один нз критериев, входящих в эту комбинапию.

Этим правилом пользуются для исключения из критериев величины, не содержащейся в условиях однозначности, путем сочетания двух критериев, содержащих зту величину. Прн этом количество критериев подобия уменьшается, так как полученный критерий заменяет лишь один из критериев. Критерии подобия, содержащие неизвестные величины, называются неопределлючцтызн мринзерилмн. В заключение полезно сравнить решение обычной (размерной) системы дифференпиальных уравнений и условий однозначности в виде а ж Ят, я, у, з, 9, с,,и, А, в, Т, 1,...), (Ч.й) где д, с, д,...

— значение физических величин, входящих в усло- вия однозначности, с решением системы дифференпнальных уравнений н условий однозначности в безразмерном виде: а = Дг, Ы, у, з, я1, кз,..., Р1). (Ч.й) звз Сравнивал решения, можно заметить, что оба решения однозначно определяют значение искомой величины а. Однако число аргументов во втором случае существенно меньше, чем в первом, так как величины, имеющие место в условиях однозначности, находятся в нем в виде комплексов-критериев, определяющих влкяние совокупности физических величин на процесс.

Прн меньшем числе аргументов обработка результатов экспериментов илн численных решений и получение необходимой зависимости между величинами существенно упрощаются. Кроме того, каждое частное решение в безразмерном виде, т.е. каждое относительное значение искомой величины при определенном значении определяющих критериев, справедливо для многих подобных между собой случаев, нбо одно и то же значение критерия может быть получено с помощью различных численных значений входящих в него физических величин.

Таким образом, разработанная на основе теория подобия форма представления решения системы дмфференпнальных уравнений в безразмерном виде позволяет, во-первых, сократить число аргументов и тем самым упростить обработку результе тов эксперимента н получение зависимостк между величинами н, во.вторых, обобщить данные единичного опыта нли численного решения на многие подобные между собой случаи.

Характеристики

Список файлов книги