Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Основные положения теорим подобия формулируются в виде трех теорем: 1. У подобных явлений все критерии подобия (определяющие и неопределяюшме) должны быть численно равны. 2, Решение дифференпмальиого уравнения может быть представлено в виде связи между критеряямм, вытекающими из этого уравнения. 3. Явления подобны, если они имеют подобные условия однозначности и численно равные крктеряя, содержашме велмчмкы из условий однозначности (определяющие критерии). Этя теоремы отражают условия подобия и особенности подобных явлений, которые былм рассмотрены выше.
Из рассмотренного следует, что теория подобия не дает решения, а только позволяет обобщкть экспериментальные данные, указывал форму, в которой эти данные должны представляться. Следовательно, теория подобия, по существу, является теорией эксперимента, поэтому значение ее особенно велико для научных областей, основой которых является эксперимент илм численное решение. Именно к такой области относятся конвективный теплообмен. Ч.4.
Критерии подобия м уравнения подобия конвективного теплообмепа Йля установления вида критериев подобия необходимо систему уравнений конвектявного теплообмена привести к безразмерному виду. Система дифференпнальных уравнений конвективного теплообмена для течения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами представляет собой совокупность следующих уравнений: а) уравнения энергии дТ дТ дТ дТ ! дЗТ д-Т дзТ'з — + .— +,— +,— = ~ — + — + — р (Ч.1О) д * дх ду ~ дх ~дхз ду дхз) ' б) уравнений двяжения две / две двх две'1 Р +Р1ва +ву +вз д ~ дх ду дх ) др /дзв дз вх дзиъ 1 = РУ вЂ” — +/4 — у-+ — +— дх ~ д ду д.~)' Р Х+Р в Х+в Х+в Х д К д д дв~ У д, дх)= дР /дзву дз дзв ~ =Ру +Р + ~+ Х ду ~ дх ду д.
)' двз / двз двз две~ Р +Р вз +ву +вз дт ~ дх ду дх ! др /дзв, дзв, дзв,~ = РУ вЂ” — + и — + — й-+ дх (, дхз ду д з )' (Ч.11) в) уравнения неразрывности —. + — Х + — = О. две дв дв, (Ч.12) дх ду дх (Ч.13) — ЬТ ж— Иногда зто равенство называют уравненмем тешкюбмена, так как оно включает искомую величину — козффипмент теплоотда- чм. К системе дкффереипнзльиых уравнений (Ч.10КЧ.12) аобе вляются условия однозначности. В частности, гранмчное условие можно задать в виде 1$3 В этих уравнениях можно выделить три вида параметров: независимые переменные т, х, у, г; зависимые переменные (неизвестные величины) а, Т, кгя, ягю кг„р и постоянные величины, вхопящие в условия однозначности, иго, То, !о, !г, а, А, р и т.д. Лля приведения уравнений к безразмерному виду необходимо выбрать масштабы для зависимых н независимых величин.
В качестве масштабных значений наиболее целесообразно принять величкны, входящие в условия однозначности, заданные при постановке задачи. Затем необходимо заменить абсолютные значения всех переменных относительными, безразмернымн величинами, используя определение безразмерной величины 1О = гР/уо, где гРΠ— масштабное значение физической величины гР, Отсюда абсолютная величина <р может быть выражена через безразмерную <р и масштабную гРО в виде (Ч. 14) Так как уравнения содержат первые н вторые производные переменных величин, то необходимо и для нмх получить соответствующие выражения. Это может быть сделано с использованием выражения (Ч.14) следующим образом: д'Р д(УО'Р ) 'Ро дУ . дк д(!Оя ) !О дк О (Ч.15) Каждый член с дифференциальным оператором в уравнениях выражает определенный физический эффект н является математпческкм выражением для количественного определения этого эффекта, т.е, является правилом вычисления эффекта в самом общем случае, когда он переменный.
Отсюда комбинадия нз постоянных масштабных величин, получающаяся перед дифференциальным оператором в относительных величинах, представляет собой масштаб эффекта. Эта комбинация выражает закон формирования физических величин в эффекте. Правило вычисления эффекта и закон формирования величин в нем совпадают, т.е. имеют одинаковые математические выражепкя, когда эффект постоянен.
Например, правило вычисления ускорения имеет вид йи г!(гИ!'г!т) сР! 3 йТО /дТ~ аЬТаоТО = — — ~ — ~ !о ~д",г'ст Разделив уравнение на комплекс масштабных фмзическмх вели- чин, выражающий масштаб второго эффекта !ХО = !гТО!'!о, запм- шем уравнение в безразмерном видег 1 ГдТ~ аягз = —— дТ ~дН,!„' (Ч.17) где ягз — безразмерный комплекс мз масштабных величии, представляющий собой отношение масштабов эффектов Лг = аоТО н !ХО = ЛТО(!о'.
яш = ХХг/!ХО = ао!ОР. Обычно в условиях однозначности не содержится коэффициент теплоотдачи ао, поэтому нужно преобразовать относительную величину а н ягз. Масштабное значение коэффициента тецлоотдачи ао в величине а следует заменить комплексом величин кз условий однозначности. Из выражения для критерия кгз Если ускорение постоянно о ю сопзз, то правило его вычисления можно представить в виде а = кг!т = !/тз. Это выра жение представляет собок комбинаппю фмзическнх величии в ускорении, т.е. выражает закон формированкя физических велнчкн в нем.
Приняв масштабы для коэффициентов теплоотдачк ао, длины !о, скорости кго, времени то, температуры То и давления ро и воспользовавшись выражениями (Ч.14) — (Ч.1В), представим уравнение теплообмена в виде ГО4 1оо (Ч 18) Нц = а10/Л Ро = 1/т1З = его/100 Ре = хзз = во10/а (Ч.24) Нц =-= (Ч 20) «от «ОО видно, что таким комплексом является отношение Л/1о. Следовательно, произведение а зш = (а/ао) (ао10/Л) = а10/Л в уравнении (Ч.17) представляет собой относительную величину неизвестного коэффициента теплоотдачи. Этот комплекс является неопределяющим критерием, называется числом Нуссельта и характеризует соотношение между коивективным переносом теплоты от жидкости к поверхности тела (дсг) и переносом теплоты теплопроводностыо через слой жидкости толщиной 1о(о «).
Нействительно, кз уравнения (Ч.18) следует, что Ни = — — = —. О !О Ж (Ч.19) /лт л В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта обычно является искомой величиной. Но своей структуре число Нуссельта напоминает определяющий критерий — число Бно (В1 = а1о/Л„), однако в отличие от него содержит коэффициент теплопроводности жидкости и имеет иной физический смысл.
Таким образом, безразмерное уравнение теплообмена может быть окончательно записано так: С учетом выражений (Ч.14)-(Ч.16) уравнение энергии можно преобразовать к виду дт 20 г дт ат дт 1 в ото — — + в.— +в,— +в,— — = а.-, ~ Вз ау аз ) 10 /а т д т В'тЧ ст, — + — + — -~-. (Ч.21) ~дяз ау' дхз) 1о Разделив члены уравнения на комплекс величин, выражающий масштаб эффекта, представленного третьим членом уравнения ПЗ = аТО/1О, запишем его в безразмерном виде: дТ / дТ дТ дТ~ т10+ ~вз =+ вз + вз ) тзз ш азт дзт азт = — й.
+ =+ — й-, (Ч.22) дз ду дУ * где т1з =, Пъ/Пз = 1оз/(а~ъ) н ззз = Пз/Пз = во10/е — критерии подобия. Чксла подобия принято обозначать первыми двумя буквами фамилий ученых, оказавших существенное влияние на развитие дзлной области знаний, и соответствующим образом именовать.
На практике критерии, вытекающие кз этого уравнения, обычно используются в форме чисел Фурье и Пекле. Число Фурье выражает соотношение между темпом изменения условий в окружающей среде н темпом перестройки темпер4ьтурного иола. внутри тела, Число Пекле выражает соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекпией и интенсивностью переноса теплоты теплоироводностью. Уравнение движения для оси ОХ с учетом выражений (Ч.14) — (Ч.18) л дв рво / две две дв 1 рай др ро /дзвз д~вз азиз~ пво РΠ— — — +Р— ~ + + дз 1О ~, дЫ дуз ду ) 1О Разделка на комплекс величин при втором члене уравнения, выражающий масштаб инерпионной силы Пз = рюо/1о, получим 2 дю, дю дю, дю, — ггпз + ю з = + ю З вЂ” + ю г = др = т32 д- я42+ У юс»521 дя (Ч.25) (Ч.2б) Но = 1/гггз = мого/1о где кгз = П1/Пз = 1о/гомо тзз = Пз/Пз = р1о/юо, коз = = П4/Пз = ро/(рюо), ггзз = Пз/Пз = и/(юо(о) — критерии подобия.
На практике используются следующие критерии, вытекающие из уравнения движения. Число гомохронности представляет собой неизвестное по условию относительное давление. Этот комплекс является неопределяющим критерием. В большинстве инженерных задач требуется знать не абсолютное значение давления, а разность давлений в двух точках системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
