Крутов В.И. - Техническая термодинамика (1062533), страница 16
Текст из файла (страница 16)
рис. 8). Любой обратимый термодннамический процесс, изображенный в координатах о, р, может быть перенесен в координаты з, Т. Для этого необходимо знать уравнение процесса 1 (р, и) = О, уравнениесостояния рабочего тела )'(р, о, Т) = 0 и зависимость з * г (р, и) энтропии от параметров состояния р и о. Для отыскания точки процесса на диаграмме по уравнению состояния и известным значениям и и р определяют температуру Т и значение энтропии з. При этом допускается некоторая условность в выборе начала отсчета энтропии.
Это не имеет практического значения, так как при расчетах используются только изменения энтропии процессов, а не ее абсолютные значен«я. Аналогичным образом определяются зна-, И „ения температуры и энтропии для промем;уточных точек. Кривая, проходящая через эти точки, н будет изображением процесса в координатах и, Т.
зТ-диаграмма дает представление о количестве теплоты, подведен. иой (или отведенной) к рабочему телу в процессе в виде плошади под „ропессом (пл. 122'1'), По зТ-диаграмме можно судить также о направлении теплообмена между источником теплоты и рабочим телом.
Как уже отмечалось, направление теплового потока должно совпадать с алгебраическим знаком бз, так как абсолютная температура Т— всегда положительная величина. ,Т Т1 Тг за а Рис, 18. Билл Карно в ат-диа- грамме Рис. 19. Проиааольный циил в аТ-диаграмме ранее полученным аналитическим путем. С помощью зТ-диаграммы легко доказать, что термический КПД любого обратимого цикла, Осуществляемого между двумя наточни- Таким образом, обратимый процесс с увеличением энтропии идет с подводом теплоты, а обратимый процесс с уменьшением энтропии идет с отводом теплоты от рабочего тела.
Любой обратимый термодинамн- ческий цикл в зТ-диаграмме изображается замкнутым контуром (см. рис. 8, б), причем для тепловых машин-двигателей направление кон- тура по часовой стрелке 1-2-3-4, а для холодильных машин — против часовой стрелки 4-3-2-1. Количество теплоты, превращенной в полез- ную работу, на аТ-диаграмме изображается пл. 1234, Цикл Карно в зТ-диаграмме изображается прямоугольником с дву- мя изотермами 1-2 н 3-4 и двумя адиабатами 4-1 и 2-3 (рнс. 18). Коли- чество удельной теплоты, подведенной к рабочему телу в этом цикле, определяется площадью под процессом 1-2 дг = Т, (з, — з,), а отдава- емой холодному источнику — под процессом 3-4 да=Т, (а, — з,). В связи в этим работа цикла 1„= да — ()а характеризуется пл.
12341 прямоугольника. Следовательно, термический КПл( цикла Карно определяется отношением Ча — Оа та (аа — аа) — та (аг — аа) ° Ча ам а ча т, (а,—,) т т1~ = пл. 1'432'/пл. 1'122з ' и для произвольного цикла а-Ь-с-д-а 4 = пл. 1'аНс2'/пл. 1'абс2'. Из сравнения этих двух формул следует, что 4) ц~". По степени заполнения любым обратимым циклом соответствующего цикла Карно можно судить об экономичности этого цикла. Чем ближе обратимый цикл приближается к циклу Карно (чем выше заполнение площади цикла Карно данным циклом), тем вы1ре.его экономичность.
Глава !У ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ, ТЕРМОДИНАМИКИ й 22. Основные характеристические функции Необходимость введения характеристических функций в термодинамику впервые была теоретически обоснована Масье (!869), однако в наиболее строгом и полном изложении метод характеристических функций получил в работах Лж. Гиббса (1873 — 1878). Гиббс показал, что из всего множества термодннамнческих функций можно выбрать такие функции, частные производные которых наиболее просто выражаются через термодинамические параметры.
Построение термодинамического анализа на особых свойствах таких функций и составляет основу метода характеристических фуякпий. В основу построения метода положено обобщенное уравненйе первого закона термодинамики (38). Так как внутренняя энергия является функцией состояния, то ее дифференциал обладает свойствами полного дифференциала. Если выбрать в качестве независимых переменных величины з, и, з„,.„ хю то в этом случае полное изменение удельной внутренней энергии можно представить в виде ~ '~" ),ц+~ Ж) но+( '~" ) ,+ ... +( — ) бх,.
(10 1) ками теплотьи меньше КПЛ обратимого цикла Карно, реализуемого между предельными температурами этих источников. Для этого следует сравнить произвольный обратимый пикл а-б-с-д-а с циклом Карно 1-2-3-4, протекающим между предельными температурами произвольного цикла (рис. 19). В этом случае для цикла Карно Сравнение полученного выражения с уравнением (38) показывает, что ( — ") Таким образом, удельная внутренняя энергия является одной кв характеристических функций, если ее изменение рассматривается в переменных з, о, х,, ..., х„.
Для простоты и наглядности наложеикя можно ограничиться рассмотрением термодеформационной скстемы, для которой уравнение первого закона термодинамики принимает более простой вид (39). В этом случае и = / (з, о), поэтому дифференциал ев получит вкд ди = (диlдз), дз + (диlдо),до. (102) Сопоставление этого выражения а уравнением (39) показывает, что (103) (ди/дз), = Т, (ди/до), = — р Уравнение (45) показывает, что характеристической функцией является удельная энтальпия с независимыми переменными з и р. Полный дифференциал функциональной зависимости 1=1(з,р) имеет вид (104) й = (д//дз),дз + (д//др),др. Сопоставление с уравнением (45) показывает, что (105] (д//дз)я = Т. (д//др), = о.
Следовательно, энтальпия (44) является характеристической функцией с иезавимыми переменными з и р. Уравнение первого закона термодинамики в форме (5!) свидетельствует о том, что свободная энергия (50) также является характеристн» ческой функцией с независимыми переменными о и Т. Диффераы циал функциональной зависимости Р = / (о, Т) имеет вид дР = (дР/дТ), дТ + (дР/дат до, (106) а ее частные производные определяются из сопоставления полученно- го выражения с уравнением (51): (107) (дР/дТ), = — 3, (дР/до)г = — р. Таким образом, свободная энергия (50) является характеристической функцией при независимых переменных' Т и о. Уравнение (53) первого закона термодинамики показывает, что свободная энтальпия зависит от р и Т, т. е.
6 = / (р, Т). Полный дифференциал этой' функции имеет вид дО = (дб/дТ)г 6Т + (дбрдр)г бр. 008) 3 за; ззз параметров д ( — ро), д (Тз) и д (Тз — ро), можно представить диффе- ренциалы характеристических функций в виде ди = Тдз — рдо — с' Х» дх»; Р=! Ф д1= Тдз+ одр — '~~ Л» дх»', (115) дР = — здТ вЂ” рдо — ~ч~', Х» дх», дб= — здТ+одр — ~ Х»дх„, Ф=т где ХР, — обобщенная сила; х» — обобщенная координата.
Нетрудно заметить, что по изменению характеристических функций при соответствующих условиях сопряжения с окружающей средой можно определить максимальную работу немсханического характера. Действительно, при а=сон»1 и о=сопз1 ди= — ~" Х„дх»1 »=Р при з= сопз( и р= сопатд(= — ~ Х» дх»~ »=1 ) при Т = сопз( и о = сопз1 дЕ = — ~~ Х» дх»; »=1 (116) при Т= сои»1 и р=сопз1 дб= — ~~Р, Х»дл». $24. Дифференциальные уравнения для внутренней энергии, антальпии и энтропии Уравнения в частных производных от характеристических функций называются дифференциальными .уравнениями термодинамики. Как было показано на примере внутренней энергии, частные производные ""Р" Р" "" ""*ФР""""Р " "'"" "Р ' Ф" "" ства вещества, поэтому дифференциальные уравнения термодинамики, по существу, отражают связи между различными физическими эффек- 68 Из анализа соотпошений (11б) следует, что сумма элементарных работ немеханического характера может быть определена через изменение характеристических функций при соответствующем выборе условий сопряжения с дкружающей средой.
В аналитической механике функции, дифференциал которых с обратным знаком равен элементарной работе. называются потенциалами. Поэтому, по аналогии,'характеристические функции в термодинамике также называют т ер м одинамическими потенциалами. Частные производные, входящие в зто выражение, монпю найти через термодинамические параметры и их производные. Так, на уравнения (39) следует, что при Т = сопз( бит = Тт)зт — рбот. (ди(до)т = Т (да(до)т — р. откуда (1 1()) нли с учетом соотношения взаимности (113) (ди(до)т = Т (др(дТ), — р. ($Щ Производную (ди(дТ), можно определить следующим образом. Коли- чество теплоты Тбз, входящее в уравнение (39), определяетвя удаль ной теплоемкостью о так, что (Щ ди = сдТ вЂ” рг)о, или прн о = сопз( ди, = с,г)Т,.
Отсюда би,(дТ, = (ди(дТ)„= а„. (121) Подстановка (119» и (121) в (117) дает выражение для определения ди в виде суммы: би = с,дТ + 1Т (др(дТ), — р)бо. (122) Лифференциальное уравнение для знтропии можно получить, совместно решая-уравнения (39) и (122), да = в,дТ(Т + (др(дТ),бо. (123) Независимые переменные р и Т. Энтальпия является функцией состояния, позтому дифференциал функциональной зависимости 1 = =) (р, Т) имеет вид Ф = (д((дТ) рбТ + (д((др) г др. (124) бз тами, вытекающие из первого и второго законов термодинамики. Эти уравнения позволяют, в частности, выразить величины ди, д(, бз, входящие в уравнение первого закона термодинамики, через основные термодинамические характеристики вещества и использовать основное уравнение термодинамики для термодинамического анализа и практических расчетов.
Ниже приводятся основные дифференциальные уравнения термо. динамики применительно к системам, состояние которых определяется парами термодинамическнх параметров р, Т; о, Т; о, р. Независимые переменные о, Т. Если рассматривать внутреинмзо энергию как функцию независимых переменных о н Т, хо аа((нффарахпиал можно представить в виде суммы: би = (ди(дТ),АТ + (ди(до)г до.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
