Главная » Просмотр файлов » В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 8

Файл №1060180 В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения) 8 страницаВ.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180) страница 82019-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда вторая пара уравнений системы примет вид:−ϕ 0 (ξ )ϕ 1 (ξ ) + (C4 − C3 )ϕ 0 (ξ ) = 01′′−+−== ϕ 1 (ξ )ϕ ′ 0 (ξ ) − ϕ1′(ξ )ϕ 0 (ξ )ϕξϕξϕξ()()()()CC01430ξ()pЭти два уравнения эквивалентны и дают:C4 − C3 = ϕ 1 (ξ ) .Таким образом, имеемC1 = 0, C2 = −ϕ 0 (ξ ), C4 = C3 + ϕ 1 (ξ ) .(24.4)Мы из четырех уравнений получили только три решения, т.к.

3-е и 4-е уравнениябыли тождественны из-за соотношения (24.2).Учитывая (24.4), получим G0 ( x,ξ ) в виде:C3ϕ 0 ( x) 0 ≤ x ≤ ξG0 ( x,ξ ) = ω ( x) + ϕ 1 (ξ )ϕ 0 ( x) − ϕ 1 ( x)ϕ 0 (ξ ) + C3ϕ 0 ( x) ξ ≤ x ≤ l.Подставив это выражение в условие ортогональности G0 ( x,ξ ) к ϕ 0 ( x) , получим:l∫ ω ( x)ϕ0l0( x)dx + C3 ∫ ϕ20( x)dx +052l+ ∫ (ϕ 1 (ξ )ϕ 0 ( x) − ϕ 1 ( x)ϕ 0 (ξ ) )ϕ 0 ( x)dx = 0.ξОткуда находимllC3 = ϕ 0 (ξ ) ∫ ϕ 0 ( x)ϕ 1 ( x)dx − ϕ 1 (ξ ) ∫ ϕξξ20l( x)dx − ∫ ω ( x)ϕ 0 ( x )dx0Функция G0 ( x,ξ ) полностью определена и удовлетворяет всем условиям задачи.∃ G0 ( x,ξ ) доказано.Т е о р е м а 24.2. Необходимым и достаточным условием однозначности иразрешимости неоднородной краевой задачи является условие ортогональностиправой части уравнения к собственной функцииϕ 0 ( x) . При этом решениепредставляется через обобщенную функцию Грина в виде:ly ( x) = ∫ G0 ( x,ξ ) f (ξ )dξ0и оно ортогонально к ϕ 0 ( x) .Доказательство проводится проверкой удовлетворения y ( x) всем условиям задачи,аналогично доказательству теоремы (22.1).п.25.

Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.Задачей Штурма-Лиувилля называется задача на собственные значения для′дифференциального уравнения L( y ) = ( py′ ) − qy , гдеp ( x) > 0 – непрерывная дифференцируемая функция,q ( x) – непрерывная функция на [ 0,l ] .Постановка задачи.{λ k } , при которых однородная краевая задача L( y ) + λ ρ ( x) y ( x) = 0, x ∈ [ 0, l ]Найти собственные значенияγ ( y (0)) = 0, Γ( y (l )) = 0, ρ ( x) > 0имеет нетривиальные решения, { yk ( x)} – cобственные функции.

Предполагаем, что λ = 0не является собственным значением.Т е о р е м а 25.1. Если λ k собственное значение задачи Штурма-Лиувилля, тоему соответствует единственная собственная функция yk ( x) .Д о к а з а т е л ь с т в о.Предположим, что существуют две собственные функции yk ( x) и zk ( x) . Тогда онидолжны быть линейно независимы. Но при x = 0 выполняется граничное условие53α 1 yk′ (0) + β 1 yk (0) = 0α 1 zk′ (0) + β 1 zk (0) = 0.Т.к.

∃ отличное от нуля решение (α 1 , β 1 ) , то однородная алгебраическая системадолжна иметь определитель, равный нулю. Следовательно,∆( yk , zk ) = 0 при x = 0 ⇒∆( yk , zk ) = 0 при ∀x ∈ (0, l ) ⇒yk ( x), zk ( x) – линейно зависимы ⇒возможна только одна собственная функция для данного λ k .Т е о р е м а 25.2. Собственные функции yk ( x) и ym ( x) для разных собственныхзначений λ k ≠ λ m ортогональны с весом ρ ( x) , т.е.l∫ ρ ( x) y ( x) ykm( x)dx = 0k ≠ m.0Д о к а з а т е л ь с т в о.Т.к. yk ( x) и ym ( x) удовлетворяют одним и тем же краевым условиям, то из формулыГрина имеемl∫ { y ( x) L ( ykm( x) ) − ym ( x) L ( yk ( x) )} dx = 0.0Подставим L( ys ) = −λ ρ ( x) ys ( x) , получим(λk−λlm)∫ ρ( x) yk ( x) ym ( x)dx = 0,0что и требовалось доказать.Т е о р е м а 25.3.

Для граничных условий I или II рода y (0) = 0 (илиy′(0) = 0 ); y (l ) = 0 (или y′(l ) = 0 ) и при q ( x) ≥ 0 все собственные значения задачиШтурма - Лиувилля положительны, λ n > 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о.Умножим уравнение Штурма - Лиувилля при λ n на yn ( x) и проинтегрируем по x .Тогдаl d  dyn yxpqxyxxyx()−()()+λρ()() dx = 0 .nnnn∫0dxdx Откуда найдем:lld  dy 2∫0 q( x) yn ( x)dx − ∫0 dx  p dxn  ⋅ yn ( x)dxλ n=.l2∫ ρ ( x) yn ( x)dx0Проинтегрировав по частям и учитывая граничные условия, получим;54l2lld  dyn  dyn ′−∫  pdx . y n ( x ) = ( p ( x ) yn ( x ) yn ( x ) ) | + ∫ p ( x ) dx  dx  dx 000Окончательно получим:lλ n=l∫ p( x) [ yn′ ( x)] dx + ∫ q( x) yn ( x)dx2020l∫ ρ ( x) y2n,( x)dx0т.к.

p ( x) > 0, ρ ( x) > 0, q ( x) ≥ 0 , то имеем λk> 0.Д о п о л н е н и е. Результат теоремы 25.3 λусловиеγ ( y ) = α1 y′(0) + β 1 y (0) = 0 , еслиΓ( y ) = α 2 y′(l ) + β 2 y (l ) = 0 , если β2β1α 2 < 0, α2(2k> 0 переносится и на третье краевое(α 1 > 0, α+β22)21+β21≠0)и на условие≠0 .п.26.

Редукция задачи Штурма-Лиувилля кинтегральному уравнению.Запишем задачу Штурма - Лиувилля в виде неоднородной задачи: L( y ) = f , f = −λ ρ yγ ( y ) = 0Γ(y )=0.(26.1)Т.к. λ = 0 не является собственным значением, следовательно, с помощью функцииГрина G ( x,ξ ) (22.7) имеем:ly ( x) + λ ∫ G ( x,ξ ) ρ (ξ ) y (ξ )dξ = 0.0Если ввести новую функцию y ( x) =u ( x), ρ ( x) > 0 , то интегральное уравнениеρ ( x)запишется в виде:u ( x) + λl∫ K ( x, ξ)u (ξ )dξ = 0(26.2)0K ( x,ξ ) = ρ ( x) ρ (ξ )G ( x,ξ ) .K ( x,ξ ) = K (ξ , x) , т.е.

(26.2) – интегральноеТ.к.G ( x,ξ )=G (ξ , x) , то ядроуравнение с симметричным ядром, и мы можем использовать теорию Шмидта.Интегральное уравнение (26.2) является интегральным уравнением Фредгольмавторого рода с симметричным ядром. Интегральное уравнение (26.2) эквивалентно задаче55на собственные значения (26.1), т.е. ∀ решение (26.2) {um ( x), λm} является решением (26.1)um ( x )=y(x),λ mm  и наоборот.(x)ρИз теории интегральных уравнений с симметричным ядром:1. Если число собственных значений интегрального уравнения (26.2) конечно, то ядроуравнения называется вырожденным и представимо в виде:nu ( x)um (ξ )K ( x, ξ ) = ∑ m.(26.3)λm =1m2.

Справедлива теорема Гильберта - Шмидта: если правая часть интегральногоуравненияu ( x) + λl∫ K ( x, ξ)u (ξ )dξ = f ( x) ,(26.4)0функция f ( x) истокообразно представима, т.е. ∃h( x) ∈ C такая, чтоlf ( x) = ∫ K ( x,ξ )h(ξ )dξ ,(26.5)0то f ( x) может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся на [ 0,l ] ряд пособственным функциям интегрального уравненияl∞f ( x) = ∑ f mum ( x); um ( x) + λm =1m∫ K ( x, ξ)um (ξ )dξ = 0 .(26.6)0Т е о р е м а 26.1.

Ядро K ( x,ξ ) интегрального уравнения (26.2) являетсяневырожденным, а, следовательно, у него и у задачи Штурма - Лиувилля существуетбесконечное (счетное) множество собственных значений {λ k } и соответствующая имбесконечная последовательность { yn ( x)} собственных ортонормированных функций.Д о к а з а т е л ь с т в о.Предположим, что ядро K ( x,ξ ) вырожденноеG ( x, ξ ) =n1um ( x)um (ξ ).∑λmρ ( x) ρ (ξ ) m=1(26.7)Интегральное уравнение (26.2) имеет собственные функции те же, что идифференциальное уравнение ⇒ они непрерывны и дифференцируемы на (0, l ) .Тогда G ( x,ξ ) из (26.4) тоже непрерывная дифференцируемая функция, но этоx = ξ .

Следовательно, K ( x,ξ ) –противоречит условию скачкаG′( x,ξ ) приневырожденное ядро и имеет {λ k } и {uk } – счетное число собственных значений исобственных функций. Функции uk – ортонормированные ⇒l∫ ρ ( x) y2k056dx = 10 m ≠ k1 m = kl∫ ρ ( x) ym ( x) yk ( x)dx = 0Ортогональность с весом ρ ( x) .п.27. Решение неоднородного интегрального уравнения ссимметричным ядром. Теорема Стеклова.Используя теорему Гильберта-Шмидта, мы можем получить решение неоднородногоинтегрального уравнения (26.4) в виде разложения по собственным функциям um ( x) .Умножив скалярно (26.4) на um ( x) , получимll00cm + λ ∫ um ( x)dx ∫ K ( x,ξ )u (ξ )dx = f m ,(27.1)cm = (u , um ) ; f m = ( f , um ) .Т.к.

ядро симметрично, то, согласно определению собственных функций (26.6),получим:llu (ξ )(27.2)∫ K ( x,ξ )um ( x)dx = ∫ K (ξ , x)um ( x)dx = − m .где0λm0Подставив (27.2) в (27.1), найдемλ lcm −u (ξ )um (ξ )dξ = f mλm ∫0илиcm (1 −Откуда получаемcm = f mλmλm − λλ) = fm .λm= fm +λλm − λfm .Зная cm , мы можем найти решение неоднородного интегрального уравнения:∞∞∞λm =1m =1m =1λm − λu ( x) = ∑ cmum ( x) = ∑ f mum ( x) + ∑f mum ( x ) .(27.3)Эта формула работает для истокообразно представимых f ( x) .Разложением решения задачи по um ( x) можно решать неоднородныедифференциальные уравнения. Обоснованием этого является следующая теорема.Т е о р е м а 27.1.

Теорема Стеклова.Если дважды непрерывно дифференцируемая на[0,l ] функция z ( x)удовлетворяет однородным граничным условиям γ ( z ) = 0 иΓ( z ) = 0 , то она57разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [ 0,l ] ряд по собственнымфункциям задачи Штурма - Лиувилля.Д о к а з а т е л ь с т в о.Т.к. z ( x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, то Lz = f , где f –непрерывная функция. Т.к. ' z ' удовлетворяет краевым условиям, то она представима черезфункцию Грина в виде:lz ( x) = ∫ G ( x,ξ ) f (ξ )dξ ,0т.е. z ( x) – истокообразованное представление функции ⇒ по теореме Гильберта-Шмидта∞z ( x ) = ∑ z n yn ( x ) ,n =1lzn = ∫ z ( x) yn ( x) ρ ( x)dx ,0lпричем∫ ρ ( x) y2n( x)dx = 1 .0Используя теорему Стеклова, мы можем решать неоднородную краевую задачуразложением по собственным функциям.Имеем задачуL( y ) = f ,γ ( y) = Г ( y) = 0и λ = 0 не является собственным значением.Разложим решение y ( x) в ряд по ym ( x) :∞y = ∑ d m ym ( x).m =1Учитывая, чтоL( ym ) = −λm ρ ( x) ym ,получим∞L( y ) = −∑ λm ρ d m ym = f .m =1Откуда находимdm = −1lλm ∫0f ( x) ym ( x)dxили∞y ( x) = −∑m =1ym ( x )λm58l∫ f ( x) y0m( x)dx .Мы получили выражение для решения нашей задачи через правую часть f ( x) исобственные функции, соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.п.28.

Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля при x = 0 , еслиp ( x = 0) = 0 .Пусть p ( x) = xϕ ( x) при x → 0, ϕ (0) ≠ 0 и p ( x) > 0 при x ∈ (0, l ] .Тогда относительно y1 ( x) и y2 ( x) – линейно независимых решений задачи Штурма Лиувилля.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
748,31 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее