В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Например, найтиx1min T = min ∫yyx0где v ( x , y ) – задано, а y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1.Частный случай – задача о брахистроне.Задача о геофдезических линиях721 + y ′ 2 ( x)dx,v ( x, y )min l =x1∫1 + y′2 + z ′2 dx ; ϕ ( x, y, z ) = 0.x0Необходимое условие экстремума функционала δ Φ(y) = 0.О п р е д е л е н и е. Функционал Φ( y ) достигает на кривой y = y0 ( x ) max (или min),если значение функционала Φ ( y ) на любой близкой к y = y0 ( x ) кривой не больше (неменьше), чем Φ ( y0 ) , т.е.∆Φ| ≤ 0y0(или ∆Φ| ≥ 0 ) .y0Т е о р е м а 33.1 Если функционал Φ( y ) , имеющий вариацию, достигаетмаксимума (или минимума) при y = y0 ( x ) , где y0 ( x ) внутренняя точка областиопределения функционала, то при y0 ( x )δ Φ( y ) | = 0.y = y0 ( x )Д о к а з а т е л ь с т в о.При фиксированных y0 ( x ) и δ y функционал Φ ( y0 ( x ) + α δ y ) = ϕ ( α ) .

Попредположению ϕ ( α ) достигает max (или min) при α = 0 ⇒ ϕ ′ (0) = 0 ⇒∂( Φ ( y0 ( x ) + α δ y )) | = δ Φ = 0.∂αα =0Если экстремум достигается для y ( x ) близких к y0 нулевого порядка, то экстремумсильный, если для близких к y0 первого (или выше) порядка, то экстремум слабый.Близость в C или в Ck .п.34. Основная лемма вариационного исчисления.Уравнения Эйлера.Л е м м а 34.1 Основная лемма.Если для каждой непрерывной на [ x0 , x1 ] функции η ( x )[ η ( x0 ) = η ( x1 ) = 0]выполняется условиеx1∫ Φ( x)η ( x)dx = 0,x0где Φ ( x ) непрерывная на [ x0 , x1 ] функция, то Φ ( x ) ≡ 0 при x ∈[ x0 , x1 ].Д о к а з а т е л ь с т в о.73Пусть ∃ x ∈[ x0 , x1 ] такое, что Φ ( x ) ≠ 0. Тогда из непрерывности Φ ( x ) ⇒ , что ∃окрестность [ x0 , x1 ] т. x , где Φ ( x ) сохраняет знак.Взяв0 x ∉ [ x0 , x1 ],≥ 0 x ∈ [ x0 , x1 ]η ( x) = получим;x1x1x0x0∫ Φ( x)η ( x)dx = ∫ Φ( x)η ( x)dx ≠ 0.Пришли к противоречию ⇒ Φ ( x ) ≡ 0.Уравнения Эйлера.Т е о р е м а 34.1 Необходимым условием экстремума функционалаΦ( y) =x1∫ F ( x, y, y′)dxпри y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1 является выполнение на экстремалиx0y ( x ) уравнения Эйлера.Fy −d( Fy′ ) = 0.dxД о к а з а т е л ь с т в о.Пусть y ( x ) – экстремаль (т.е.

на y ( x ) достигается экстремум Φ( y ) ). Тогда зададимпараметрическое семейство функцийy ( x , α ) = y ( x ) + α δ y ; δ y ( x0 ) = δ y ( x1 ) = 0.x1На этом семействе имеем ϕ (α ) = ∫ F ( x, y + αδ y, y′ + αδ y′)dx.x0Необходимые условия экстремумаδ Φ = 0 ⇒ ϕ ′ ( α = 0) = 0 ⇒x1∂ y ( x, α )∂ y ′( x, α )ϕ ′ (α ) = ∫ {Fy+ Fy ′}⇒∂α∂αx0x1ϕ ′ (0) = ∫ {Fyδ y + Fy′δ y′}dx – интегрируем по частям:x0x1x1dF′ϕ ′ (0) = ( Fyδ y ) | + ∫ [ Fy − y ]δ y ( x)dx = 0 ⇒dxx0x074по основной лемме Fy −dFy′dx= 0 (уравнение Эйлера) или Fy − Fxy ′ − y ′Fyy ′ − y ′′Fy ′y ′ = 0 , x ∈ [ x0 , x1 ], y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1 ,п.35. Функционалы, содержащие производные порядка выше первого изависящие от нескольких функций.

Необходимые условия экстремума.Функционал от нескольких функций.x1Φ ( y ) = ∫ F ( x, y , y ′)dx,x00(1) y ( x0 ) = y , y ( x1 ) = y ,y = { y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x )}.Варьируем y + δ y ; δ y = {δ y1 ,..., δ yn }. Так как δ yi любая непрерывная на [ x0 , x1 ]функция, обращающая на концах в нуль δ yi ( x0 ) = δ yi ( x1 ) = 0 , то всегда можно все δ y взятьравными нулю, кроме δ yi и тогда получим уравнение ЭйлераFyi −d( Fy′ ) = 0 i ∈[1, n ] .dx iФункционал со старшими производными.x1(n)Φ ( y ) = ∫ F ( x, y, y′,..., y )dx,x0(n -1)( x0 ) = y0( n −1) , y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y0′ ,..., y(n -1)( x1 ) = y1( n −1) . y ( x1 ) = y1 , y′( x1 ) = y1′ ,..., yПусть y ( x ) – экстремаль имеет 2n непрерывных производных.

Варьируем ее впараметрическом в виде: y ( x , α ) = y ( x ) + α δ y , причем при x0 и x1 имеемδ y = 0, δ y ′ = 0,..., δ y ( n −1) = 0.Тогда75(*)x1ϕ (α ) = Φ ( y + α δ y ) = ∫ F ( x, y + α δ y,..., y ( n ) + α δ y ( n ) )dx ,x0x1ϕ ′ (α = 0) = δ Φ = ∫ {Fyδ y + Fy′δ y ′ + ...

+ Fx0δy( n )y (n) }dx.Интегрируя по частям и учитывая (*), получимx1dkδ Φ = ∫ ∑ (−1)( F ( k ) )δ ydx = 0,dx k yx0 k = 0nkδ y – любая непрерывная функция. Тогда по основнойлемме:dk∑ ( −1) k ( Fy( k ) ) = 0 уравнение Эйлера-Пуассона.dxk =0nkп.36. Многомерные вариационные задачи.Уравнение Эйлера-Остроградского.Исследуем функционал от функции двух переменных z ( x , y ) , т.е.Φ ( z ( x, y )) = ∫∫ F ( x, y, z ,Sz( x, y)|x , y ∈C∂ z ∂ z,)dxdy∂ x ∂ y= z0 ( x , y ) .Все допустимые поверхности z ( x , y ) проходят через контур C (его проекция С).Вариация z ( x , y , α ) = z ( x , y ) + α δ z ( x , y ) δ z ( x , y ) | = 0 .Cϕ (α ) = ∫∫ F ( x, y, z + α δ z ,Sδ Φ = ϕ ′(α = 0) = ∫∫ (S∂ z∂ z+ α (δ z ) x ,+ α (δ z ) y ) dxdy ,∂ x∂ y∂ F∂ F∂ Fδ z+δ p+δ q )dxdy ,∂ z∂ p∂q76∂z∂z, q=,∂x∂y∂ Fp∂( Fpδ z ) =δ z + Fpδ p ,∂x∂xp=∂ Fq∂( Fq δ z ) =δ z + Fq δ q .∂y∂yОткуда∂ F ∂ Fp ∂ Fq−−)δ zdxdy +zxy∂∂∂S∂∂+ ∫∫ (( F pδ z ) +( Fqδ z ))dxdyxy∂∂Sδ Φ = ∫∫ (По формуле Грина∫∫ (S∂ N ∂M+)dxdy = ∫ ( Ndy − Mdx) ⇒∂ x ∂ yC∂∫∫ ( ∂S=x( Fpδ z ) +∂( Fqδ z ))dxdy =∂ y∫ ( F δ zdy − F δ zdx) = 0pq(т.к.

на C δ z = 0)C⇒ δ Φ = ∫∫ (S∂ F ∂ Fp ∂ Fq)δ zdxdy .−−∂ z ∂ x ∂ yТ.к. δ z – произвольная непрерывная функция, то по основной лемме уравнениеЭйлера-Остроградского∂ F ∂ Fp ∂ Fq−−= 0.∂z ∂x∂yПример: ∂ z 2  ∂ z  2 ∂ 2z ∂ 2zΦ = ∫∫ += ∆u = 0 . + dxdy ⇒22∂x∂y∂x∂yD Это уравнение Лапласа.п.37.Вариационные задачи на условныйнеопределенных множителей Лагранжа.экстремум.Найти экстремум функционала, зависящего от нескольких функций.77Методx1Φ ( y ) = ∫ F ( x, y , y′)dx ; y = { y1 ,..., yn }x0(*) при дополнительных условияхϕ ( x, y ) = 0 i ∈ [1, m], m < n i y ( x0 ) = y 0 ; y ( x1 ) = y 1;ϕ i ( x0 , y 0 ) = 0;ϕ i ( x1 , y 1 ) = 0Уравнения ϕi ( x , y ) = 0 предполагаются независимыми.

Пусть они независимы какфункции от первых m переменных y1 , y2 ,..., ym , т.е.D ( ϕ 1, ϕ 2, ..., ϕ m )≠ 0.D ( y1, y2, ..., ym )Т е о р е м а 37.1 Вектор функция y ( x ) , реализующая условный экстремум (*),удовлетворяет при соответствующем выборе множителей λ i ( x ) (i = 1,..., m)уравнениям Эйлера, составленным для функционала~Φ( y ) =x1∫m( F ( x, y , y ′) + ∑ λ i ( x)ϕ i ( x, y ))dxi =1x0Функции λ i ( x ) i ∈[1, m] и y ( x ) определяется из уравнения Эйлераd ~~F−y k dx ( Fy k′ ) = 0 , k ∈ [1, n] ,ϕ i ( x, y ) = 0 , i ∈ [1, m](37.1)гдеm~F ( x , y , y ′) = F ( x , y , y ′) + ∑ λ i ( x)ϕ i ( x, y ) .(37.2)i =1Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если y – экстремаль задачи (*), тоx1 nδ Φ = ∫ ∑ ( Fyk δ yk + Fyk′ δ y′k )dx = 0 .x0 k =1Интегрируя по частям и учитывая, что δ yk ( x0 ) = δ yk ( x1 ) = 0, получимx1 n∫ ∑  Fyk−x0 k =1d( Fyk′ ) δ y k dx = 0.dx(37.3)Но применить основную лемму нельзя из-за того, что δ yk не произвольны, т.к. естьсвязь через условия ϕ i = 0 .Т.к. δ yk малы, то связи можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и пренебрегая( δ y )2 . Тогдаn∂ϕ∑ ∂ y i δ ykk =1k78=0 ,i ∈[1, m].(37.4)Умножив (37.4) на λ i ( k ) , проинтегрировав по x, просуммировав по i и сложив с(37.3), получим:x1 n∂ F∂ ϕ 1 d ∂ F  m−+λ()(x)∑∑i∫   ∂ y dx ∂ y′ δ ydx = 0∂yki11==kkkx0 или, введя F% , получимx1d ~  n ~F−∑∫  yk dx ( Fyk′ )  δ yk dx = 0 .x0  k =1(37.5)m∂ϕ id=0 Fyk − ( Fyk′ ) + ∑ λ i ( x)∂ ykdxi =1при k = 1, 2,..., m(37.6)Пока δ yk не являются независимыми и основную лемму применить нельзя.Возьмем λi i ∈ [1, m] такими, что удовлетворяетсяЭто – линейная система с определителем, не равным нулюD ( ϕ 1 ,...

ϕ m )≠0D ( x1 ,... xm )⇒ система имеет решение, а(37.5) для даннных {λ i } имеет вид:x1d ~  n ~F−( Fyk′ )  δ yk dx = 0 .∑y∫kdxx0  k =m+1 Теперь δ k y при k ∈[( m + 1), n ] независимы и можно использовать основную лемму.В результате получим:d ~~Fy k − ( Fy k′ ) = 0dxk ∈ [(m + 1), n] .Учитывая (37.6), получим окончательноd ~~−F( Fy ′ k ) = 0 k ∈ [1, n] ykdxϕ (x, y)= 0 i ∈ [1, m] iТеорема доказана.Если ϕ i ( y ) = 0 , т.е. нет зависимости от x, то λi = const . Задача решается проще.79Мы рассмотрели случай конечных связей, зависящих только от x и y. Такие связиϕ i ( x , y ) = 0 называются неголономными.

Возможны диф. связи:ϕ i ( x , y , y ′ ) = 0,которые называются голономными. Теорема 37.1 переносится и на случай голономныхсвязей.80СодержаниеЧасть I. Обыкновенные дифференциальныеуравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 3п.1. Понятие дифференциального уравнения.Математические модели, описываемыеобыкновенными дифференциальными уравнениями.3п.2. Постановка задачи с начальными данными(задача Коши). Понятие корректной постановкизадачи. Лемма Гронуолла–Беллмана.7п.3. Теорема единственности решения задачи Кошидля уравнения I-порядка, разрешенногоотносительно производной.9п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка,разрешенногоотносительно производной.10п.5. Дифференциальное уравнение I-порядка,неразрешенное относительно производной.Теорема существования и единственности решения.13п.6 Особые решения уравнения I-го порядка,неразрешенного относительно производной.15п.7.

Общий интеграл уравнения I-го порядка.Интегральный множитель.18п.8. Нормальные системы DУ. Теорема существованияи единственности решения задачи Коши длянормальной системы и уравнения n-го порядка.22п.9. Непрерывность решений дифференциальныхуравнений по начальным данным и параметрам.Регулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Понятие осингулярном возмущении.25п.10.

Линейное дифференциальное уравнение n-гопорядка и его свойства. Сведение к нормальнойсистеме первого порядка. Существование решения.28п.11. Линейное дифференциальное уравнение2-го порядка. Понижение порядка уравнения.Уравнение Риккати.30п.12. Общая теория однородных линейных системобыкновенных дифференциальных уравнений.32п.13. Фундаментальная система решений и общеерешение для линейной системы дифференциальныхуравнений.34п.14. Решение неоднородной системыдифференциальных уравнений.3581п. 15. Построение Ф.С.Р.

Характеристики

Список файлов книги