В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 10
Текст из файла (страница 10)
на решении (31.3) обращаются вxi0 = const .Взаимная обратимость (31.5) и (31.6) означает неравенство нулю якобиана:D ( X 1 ,..., X n−1 )≠ 0 при M ∈G .D ( x 1 ,... x n−1 )65(31.7)Это означает, что X 1 ,..., X n−1 являются функционально независимыми первымиинтегралами.Т е о р е м а 31.2. Всякое решение Ψ ( x ) уравнения (31.1) является первыминтегралом системы (31.4) и, обратно, всякий первый интеграл системы (31.4) ϕ( x )является решением уравнения (31.1).Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть Ψ ( x ) = U ( x ) – решение уравнения (31.1) ⇒ если {xi = xi (t )} – уравнениеdUхарактеристик, то= 0 ⇒ U = const на характеристике ⇒ Ψ ( x ) – первый интеграл.dtdϕ2.
ϕ( x ) – первый интеграл ⇒ ϕ = const на характеристике,= 0 на характеристикеdt⇒ ∑ aiщ =1n⇒ ∑ aii =1∂ϕ=0∂xiна характеристике (т.к. через каждую точку М проходит характеристика)∂ϕ= 0 всюду в G, т.е.∂xiϕ – решение (31.1)Рассмотрим уравнение (31.1) в случае двух независимых переменных U ( x, y ) :A( x , y )∂U∂U+ B( x, y)= 0, A, B ∈ C1 .∂x∂y(31.8)∂ U ∂ U , , то (31.8) запишется в∂ x ∂ y Ecли ввести вектор a = {A( x, y ), B ( x, y )} и gradU = виде:илиagradU = 0∂U= 0 (производная по данному направлению a равна нулю).∂a(31.9)Вектор a = {A, B} коллинеарен вектору k , касательному к кривой U ( x , y ) = const(т.к. gradU ⊥ k ) .
ПустьU ( x , y ) = const дает нам кривую Г, которая задана впараметрическом виде: x = x(t ), y = y (t ).(31.10) dx dt = A( x, y ), dy = B ( x, y ), dt(31.11)Тогда dx dy , . Система (31.11) определяет кривые (31.10), на которых u ( x , y ) = const .dtdt т.к. k = Фазовые траектории системы (31.11) являются интегральными кривыми уравнения66dy B ( x , y )dx A( x , y )=(или=).dx A( x , y )dy B ( x , y )(31.12)Интегральные кривые (31.12) называются характеристиками уравнения в частныхпроизводных (31.8).
Обычно (31.12) записывают в симметричном виде:dxdy, A2 + B 2 ≠ 0.=A( x , y ) B ( x , y )(31.13)Т.к. А и В не обращаются одновременно в нуль, то уравнение (31.13) имеетединственное решение задачи Коши. Это означает, что через каждую точку области Gпроходит одна и только одна характеристика.Пусть U = U ( x , y ) – интегральная поверхность уравнения в частных производных x = x(t )? y = y (t )∂U∂UdU ∂ U dx ∂ U dyU = U ( x ( t ), y ( t )) ⇒=+=A+B= 0⇒∂ x dt ∂ y dt∂x∂ydtdU⇒| = 0 ⇒ U ( x , y ) = const на характеристике.dt x ( t ), y ( t )(31.8).
Как изменяется U(x,y) вдоль характеристики Общее решение уравнения (31.8).Через любую т. М(x,y) проходит характеристика. Пусть γ – кривая, не совпадающаяс характеристикой.Ясно, что характеристики составляют однопараметрическое семейство.
Зафиксируемт. M 0 на γ и обозначим расстояние до пересечения характеристики с γ от т. M 0 через θ .Тогда каждой характеристике соответствует свое θ . Если расстояние от М до γ похарактеристике обозначим t, то каждой паре (x,y) соответствует своя пара ( θ , t ) , т.е. x = X (θ , t ) θ = Θ( x, y ); yY(θ,t)=t = T ( x, y ).(31.14)В переменных θ , t уравнение характеристикиdθ= 0,dt67(31.15)т.к. вдоль характеристики при изменении t имеем θ = const . Из (31.15) имеем, что вдольхарактеристикиΘ( x , y ) = const .(31.16)Выражение (31.16) дает все характеристики, как семейство от параметра θ , т.е.y = y ( x , θ ) . В переменных ( θ, t ) легко получить решение уравнения (31.8)U ( x , y ) = U ( X ( θ , t ), Y ( θ , t )) = V ( θ , t ).На характеристикеdUdθdU ∂ V dθ ∂ V∂V=0 и= 0⇒== 0.+=0⇒dtdtdt∂ θ dt ∂ t∂tЭто означает, что V = F ( θ ) , где F – произвольная функция.
Отсюда получаем, чтообщее решение уравнения (31.8) представимо в виде:U ( x , y ) = F ( θ ( x , y )) ,(31.17)где F – произвольная функция, а θ ( x , y ) = const на характеристике, θ ( x, y ) – первыйинтеграл.Достаточно найти такую ϕ ( x , y ) , что на характеристике ϕ ( x , y ) | = const , тогдаобщее решение U ( x , y ) = F ( ϕ ( x , y )) .Задача Коши для уравнения (31.8) ставится следующим образом:xap∂U∂UA(x,y)+B(x,y)= 0; ( x, y ) ∈ G;∂ y∂ xU ( x, y ) | = ω ( s );γ(31.18) x = x( s )– кривая, не совпадающая с характеристикой ни на одном интервалеy=y(s)положительной длины, а ω ( s) – заданная функция.
Если нам известно θ ( x , y ) ,обращающееся в const на характеристике (31.18), то общее решение есть U = F ( θ ( x , y )) .где γ = Из начального условия на γ функция F определяется следующим образом:θ( x , y ) | = θ( x ( s), y ( s)) = ξ ( s) . Разрешив уравнение ξ ( s) = ξ , получимγs = Ω ( ξ ) ⇒ Ω ( θ( x , y )) | = Ω ( ξ ) = S .(31.19)γРешение представимо в виде:U ( x , y ) = ω ( Ω ( θ ( x , y ))) .(31.20)Это решение уравнения (31.18) и удовлетворяет начальному условию U | = ω ( s) ,т.к. (31.20), согласно (31.19), на γ дает ω (s ) .γп.32 Постановка обратных задач для дифференциального уравнениявторого порядка.
Неустойчивость задачиопределения правой части уравнения.I Задача определения правой части дифференциального уравнения.68Дана краевая задача для неоднородного уравнения.y ′′ ( x ) − ω 2 y ( x ) = f ( x ) , x ∈[ 0, H ],y ( x = 0) = 0 , y ( x = H ) = 0.Требуется определить f ( x ) по дополнительному условиюy ′ ( x = 0) = Z ( ω ) .(32.1)(32.2)II Задача определения коэффициентов дифференциального уравнения .Дана краевая задача для однородного уравнения:y ′′ ( x ) − ω 2α ( x ) y ( x ) = 0 , x ∈[ 0, H ],y ( x = 0) = 1 , y ( x = H ) = 0 , α ( x ) > 0;(32.3)требуется определить α ( x ) по дополнительному условиюy ′ ( x = 0) = Z ( ω ) .(32.4)Первая задача – линейная, а вторая – нелинейная.
Обе задачи неустойчивы. Докажемнеустойчивость первой задачи. Для этого редуцируем ее к интегральному уравнениюпервого рода.Найдем функцию Грина G ( x , y ) для задачи (32.1) d 2G2x ∈ [0, H ], x ≠ x0 , 2 −ω G = 0dxG | = 0, G | = 0,x=H x = 0G ( x = x + 0, x ) − G ( x = x − 0, x ) = 0,0000∂G∂ G |−= 1.| ∂ x x = x0 + 0 ∂ x x = x0 - 0(32.5)Представим функцию Грина в виде: A(e −ω x − eω x )G ( x, x0 ) = −ω ( H − x )− eω B(eпри x ∈ [0, x0 ](H −x))при x ∈ [ x0 , H ](32.6)Подставив в условия при x = x0 в задаче (32.5), получим систему уравнений дляопределения A и B :69B(e −ω ( H − x0 ) − eω ( H − x0 ) ) − A(e −ω x0 − eω x0 ) = 0 ,B(e −ω ( H − x0 ) + eω ( H − x0 ) ) + A(e −ω x0 + eω x0 ) = 1 ω .Откуда находим1(e −ω ( H − x 0 ) − eω ( H − x 0 ) ),ωD1B=(e −ω x 0 − eω x 0 ),ωDA=гдеD = (e −ω x0 + eω x0 )(e −ω ( H − x0 ) − eω ( H − x0 ) ) ++ (e −ω x0 − eω x0 )(e −ω ( H − x0 ) + eω ( H − x0 ) ).Подставив найденные A и B в (32.6), найдемG ( x , x0 ) =ch ω ( H − x − x0 ) − ch ω ( H − x − x0 ).2ω sh ω HТогда решение краевой задачи (32.1) запишется в виде:y ( x) =H∫ f ( x0 )G ( x, x0 )dx0(32.7)0Подставив (32.7) в дополнительное условие (32.2) и учитывая, чтополучим:∂ G ( x , x0 )sh ω ( H − x0 ),| =−sh ωH∂xx =0H∫ f ( x0 )shω ( H − x0 )dx0 = − Z (ω ) shω H(32.8)0Это — интегральное уравнение I рода для f ( x0 ) при известном Z ( ω ) .
Покажемнеустойчивость интегрального уравнения I рода.Рассмотрим интегральное уравнение I рода:1∫ K ( x, s) y(s)ds = F ( x),x ∈ [0,1] .(32.9)0Пусть выполнены условия, при которых решение этого уравнения существует иединственно. Пусть y1 ( s ) и y2 ( s ) — непрерывные функции, являющиеся решениямиинтегрального уравнения (32.9) соответственно для правых частей F1 ( x) и F2 ( x) . Тогдавозьмем:y2 ( s ) = y1 ( s ) + A sin ns .(32.10)Тогда701f 2 ( x) = ∫ K ( x, s )( y1 ( s ) + A sin ns )ds =01= f1 ( x) + A∫ K ( x, s ) sin ns )ds.0Заметим, что y2 ( s ) − y1 ( s ) C = AsinnsC= A.Если A велико, то y1 ( s ) и y2 ( s ) отличаются сильно, но1F2 ( x) − F1 ( x)C= A∫ K ( x, s) sin nsds0=CAC< ε ,еслиnn> N = AC εТаким образом, малым изменениям F ( x) могут соответствовать большие измененияy ( s) .
Задача неустойчива.Задачу можно сделать устойчивой, если предположить, что решение принадлежитболее узкому классу. Например, пусть априори известно, что y ( s) дифференцируема и еепроизводная ограничена const = C0 , а правые части таковы, что они соответствуют этимрешениям. Тогда задача станет устойчивой.y2 − y1C= A ; y2′ − y1′ c = n A ≤ C0 ⇒ n ≤ C0 A .2ACA CF2 − F1 C =≥nC02 C⇒ F2 − F1 C ≥ y2 − y1 C⇒C0Таким образом, если мало F2 − F1 C то мало и y2 − y1 .Именно на этой основе и дано определение корректности задачи по Тихонову:1. Априори известно, что решение существует и принадлежит более узкомумножеству функций Y (называется множеством корректности);2.
Решение единственно;3. Если правая часть принадлежит F, для которых решение принадлежит Y, то тогдазадача устойчива.п.33. Понятие функционала и вариации. Постановкавариационной задачи. Необходимые условия экстремума.Функционалом называется отображение множества функций y ∈Y в множествочисел (аналогия с функцией, но заданной не на числовом, а на функциональноммножестве).Пример: время, затраченное на прохождение траектории y = y ( x ), x ∈ x0 , x1 , еслискорость зависит от точки нахождения v = v ( x , y )71T=x1x11 + y ′2 ( x)dx = ∫ F ( x, y, y′)dx.v ( x, y )x0∫x0По аналогии с дифференциалом функции вводится понятие вариации функции.Вариацией функции y ( x ) (аргумента функционала) называется разность функцийδ y = y ( x ) − y1 ( x ); y , y1 ∈Y ⇒ δ y = η ( x ) ∈Y ,причем η ( x0 ) = η ( x1 ) = 0 – класс с закрепленными концами.Т.к.
в функционал кроме y ( x ) может входить y ′ ( x ) и т.д. до y ( k ) ( x ) , то кривыеy ( x ) и y1 ( x ) близки в смысле k-го порядка ( y ∈Ck ), если мало δ k , гдеδ k = max { y − y1 , y ′ − y1′ ,..., y ( k ) − y ( k )1 }.x ∈[ x0 − x1]Функционал Φ[ y ( x )] называется непрерывным при y = y1 ( x ) в смыслеблизости k-го порядка, если для любого положительного ε > 0 можно найти δ такое,чтоΦ ( y ) − Φ ( y1 ) < ε , если δ k < δ(функции близости порядка k).Линейным функционалом называется функционал L[ y ], удовлетворяющийусловиямL ( α y1 + β y2 ) = α L ( y1 ) + β L ( y2 )α , β - const .П р и м е р.x1L( y ) = ∫ ( p ( x) y + q ( x) y′)dx.x0Вариация функционала – это главная, линейная по отношению к δ y , частьприращения функционала∆Φ = Φ ( y + δ y ) − Φ ( y ) δ→ δ Φ + O ( δ y 2 ).y→0Другое определение:ϕ ( α ) = ∆Φ = Φ ( y + α δ y ) − Φ ( y ) ⇒∂ ϕ ( α)δ Φ=|∂ α α=0Вариационные задачи – задачи на экстремум функционала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
