В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для систем дифференциальных уравненийdy ˆ= Ay + f ( x), 0 < x < l ,dxnγ ( y ) = ∑ bij y j ( x = 0) = µi , i ∈ [1, m ] ,j =1nΓ( y ) = ∑ cij y j ( x = l ) = ν i , i ∈ [1, s ] ,j =1m + s = n.5. В практике наиболее широко используются уравнения 2-го порядкаd dy  L( y ) = dx  p ( x) dx  − q ( x) y ( x) = f ( x), x ∈ [ 0, l ] , p( x) > 0(21.1)γ ( y ) = α1 y′(0) + β1 y (0) = u0Γ( y ) = α y′(l ) + β y (l ) = u .22lЗадачу всегда можно свести к неоднородному уравнению с однородным краевымусловием.

Пусть ϕ ( x) – некоторая функция, такая, что γ (ϕ ) = u0 , Γ(ϕ ) = ul . Тогда введемu ( x) = y ( x) − ϕ ( x) и получим L(u ) = f% , f% = f − L(ϕ ),(21.2)γ (u ) = 0,Γ(u ) = 0.6. Задача на собственные значения (как задача с обратной линейной связью, т.е.f ( x, y ) = − λ ρ ( x ) y ( x ) ) L( y ) = −λ ρ ( x) y ( x),γ ( y ) = 0; Γ( y ) = 0.(21.3)Требуется найти такие {λ k } (собственные значения), для которых существуетнетривиальное решение краевой задачи (21.3) { yk ( x)} (собственные функции).Рассматриваем функции y ( x) , заданные на [ 0,l ] , непрерывные, дифференцируемыеи имеющие непрерывную вторую производную, т.е.

y ( x) ∈ C2 . Решением краевой задачи(21.2) называется y ( x) ∈ C2 , которое удовлетворяет уравнению L( y ) = f ( x), x ∈ ( 0, l ) икраевым условиям γ ( y ) = 0 при x = 0 и Γ( y ) = 0 при x = l.45Любые y ( x), z ( x) ∈ C2 удовлетворяют тождеству ЛагранжаzL( y ) − yL( z ) =d dz   dyp ( x)  z − y   ,dx dx   dx(21.4)Т е о р е м а 21.1. Если y1 ( x) и y2 ( x) – линейно независимые решенияоднородного уравнения L( y ) = 0 , то их определитель Вронского равенC,(21.5)∆ ( y1 , y2 ) =p( x)причем при y1 ( x) ≠ 0 , общее решение можно представить в виде:xy ( x) = C1 y1 ( x) + Cy1 ( x) ∫0dξ.p (ξ ) y12 (ξ )(21.6)Д о к а з а т е л ь с т в о.Из тождества Лагранжа (21.4) при L( y1 ) = L( y2 ) = 0 следуетdydy (21.7)p ( x)  y2 ( x) 1 − y1 ( x) 2  = C ,dxdx следовательно, справедливо (21.5).Если y1 ( x) ≠ 0 , то разделив (21.7) на y12 ( x) , получим (при y2 ( x) = y ( x) ), ( y ( x) –независима от y1 )y1 ( x) y′( x) − y1′( x) y ( x)C=2y1 ( x)p ( x) y12 ( x)илиd  y ( x) C.=dx  y1 ( x)  p ( x) y12 ( x)Проинтегрировав, получим окончательноxdξy ( x) = y1 ( x)  C1 + C ∫,2()()ξξpy10т.е.

получили (21.6). Теорема доказана.п.22. Формула Грина. Построение решения краевойзадачи с помощью функции Грина.Проинтегрируем формулу Лагранжа (21.4) и получимldz   l dy(22.1)∫0 ( zL( y) − yL( z ) ) dx =  p( x)  z dx − y dx  |0 .Это выражение называют формулой Грина. Если y ( x) и z ( x) удовлетворяют однимdydzи тем же однородным граничным условиям, то z − y = 0 при x = 0 и x = l . Откудаdxdxимеем46l∫ ( zL( y) − yL( z ) ) dx = 0при γ ( z ) = γ ( y ) = 0; Γ( z ) = Γ( y ) = 0 .(22.2)0Функция Грина для краевой задачи, имеющей единственное решение.L( y ) = 0, γ ( y ) = 0, Γ( y ) = 0 имеет толькоПусть однородная краевая задачатривиальное решение, а p ( x) > 0 (или < 0 ) на интервале x ∈ [ 0, l ] (т.е.

p ( x) ≠ 0 для∀x ∈ [ 0, l ] ).Тогда функцией Грина такой задачи называется функция G ( x,ξ ) , являющаясярешением следующей задачи:1. По x L(G ) = 0 при x ∈ ( 0,ξ ) и x ∈ (ξ , l ) .2. При x = 0, x = l граничные условияγ (G ) = 0, Γ(G ) = 0 .(22.6)3. G ∈ C2 при x ∈ (0,ξ ) и x ∈ (ξ , l ) , а при x = ξ условиясопряженияdG[G ]x=ξ = 0,   = 1 p(ξ ) . dx  x =ξС л е д с т в и е. G ( x,ξ ) = G (ξ , x) .Т е о р е м а 22.1. Если однородная краевая задача имеет только тривиальноерешение, то решение неоднородной краевой задачи ∃ для любой непрерывной на[0,l ] функции f ( x) и выражается через функцию Грина в виде:ly ( x) = ∫ G ( x,ξ ) f (ξ )dξ .0Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается проверкойxy ( x ) = ∫ G ( x, ξ) f (ξ ) d ξ0xdG ( x,ξy′( x) = ∫dx0′l+ ∫ G ( x, ξ) f ξ dξ( )x) f (ξ ) d ξdG ( x,ξdxxl+∫x,) f ξ dξ( ),lddGddG( p( x) y′( x) ) = ∫  p  f (ξ ) dξ + ∫  p  f (ξ ) dξ +dx  dx dx  dx 0xdG ( x,ξ )dG ( x,ξ )| − f ( x) p ( x)| .dxdxξ = x −0ξ = x+01 dG  dG , получимУчитывая, что   = −   = dx  x =ξ dx ξ = x p ( x)+ p( x) f ( x)lddG′( py′ ) = ∫  p  f (ξ ) dξ + f ( x) .dx  dx 0Следовательно,47(22.7)lL ( y ) = ∫ L ( G ( x, ξ) ) f (ξ ) dξ+ f ( x)0⇒ L( y ) = f ( x).Аналогично, γ ( y ) = Γ( y ) = 0 , т.к.

γ (G ) = Γ(G ) = 0 .Теорема доказана.п.23. Существование функции Грина. Постановка краевой задачипри существовании решения однородной задачи.Мы показали, что решение неоднородной краевой задачи выражается формулой(22.7) с помощью функции Грина.

Необходимо доказать ∃ функции Грина.Построим 2 решения следующих задач Коши:а. При 0 ≤ x ≤ ξL( y1 ) = 0 ,y1 (0) = −α1 ,y1′(0) = β1 .б. При ξ ≤ x ≤ lL ( y2 ) = 0 ,y2 (l ) = −α 2 ,y2′ (l ) = β 2 .Заметим, чтоγ ( y1 ) = 0 ,αΓ ( y2 ) = 0 ,+ β ≠ 0.α 2 + β2 ≠ 0 .Функции y1 ( x,ξ ) и y2 ( x,ξ ) ∃, т.к. есть теорема ∃ решения задачи Коши.Представим функцию Грина в виде:C y ( x) , 0 ≤ x ≤ ξ ,G ( x, ξ ) =  1 1C2 y2 ( x) , ξ ≤ x ≤ l.Заметим, что1.

L(G ) = 0 при x ∈ [ 0,ξ ] , x ∈ [ξ , l ] .2. При x = 0, x = l выполняются краевые условия γ (G ) = Γ(G ) = 0 .3. Осталось доказать, что можно подобрать C1 и C2 так, чтобы выполнялись условиясшивания при x = ξ :2121[G ]x=ξ = C2 y2 (ξ22) − C1 y1 (ξ ) = 0 , dG  dx  = C2 y2′ (ξ ) − C1 y1′ (ξ ) = 1 p (ξ ) .x =ξФункции y1 ( x), y2 ( x) – линейно независимы, т.к. y1 не удовлетворяет однородномукраевому условию Γ( y1 ) = 0 при x = l , иначе ∃ решение однородной краевой задачи.Тогда ∆( y1 , y2 ) ≠ 0 , а, согласно теореме 21.1,∆( y1 , y2 ) p (ξ ) = C = const .(23.1)Следовательно, мы имеем:48y2 (ξ )y (ξ ); C2 = 1.CCОкончательно, получаем функцию Грина в виде:C1 = y1 ( x) y2 (ξ ), 0 ≤ x ≤ξ,CG ( x, ξ ) = (23.2)y()y(x)ξ2 1, ξ ≤ x ≤ l,Cгде C находится согласно (23.1).

Легко видеть, чтоG ( x,ξ ) = G (ξ , x) . Доказаносуществование функции Грина для случая, когда однородная задача имеет толькотривиальное решение. Функция G единственна, т.к. однородная задача не имеет решений.II. Рассмотрим теперь случай, когда однородная краевая задача имеет нетривиальноерешение, причем других линейно независимых решений нет.Рассмотрим для простоты I краевую задачу и пусть однородная краевая задача имеетрешение ϕ 0 ( x) , т.е. L(ϕ 0 ) = 0 , x ∈ ( 0, l ) ,ϕ 0 (0) = 0, ϕ 0 (l ) = 0 (γ (ϕ 0 ) = 0, Γ(ϕ 0 ) = 0).(23.3)Т.к. любая ϕ ( x) = Cϕ 0 ( x) является решением задачи (23.3), то для единственноститребуется дополнительное условие нормировки:l∫ϕ20( x)dx = 1 .(23.4)0Л е м м а 23.1. Необходимым условием разрешимости неоднородной краевойзадачи является ортогональность правой части уравнения f ( x) к решениюоднородной задачи (23.3) ϕ 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. L(ϕ 0 ) = 0 L( y ) = fγ (ϕ 0 ) = Γ(ϕ 0 ) = 0γ ( y ) = Γ( y ) = 0l ϕ 0 2 ( x)dx = 1 ∫0Применяя формулу Грина и учитывая, чтоy ( x) иϕ 0 ( x) удовлетворяютоднородному краевому условию, получим:l∫ (ϕ ( x) L( y( x)) − y( x) L(ϕ ) ) dx = 0.000Откудаl∫ f ( x)ϕ ( x)dx = 0 .0049(23.5)Л е м м а 23.2.

Однородная краевая задача с дополнительным условиемортогональности решения к ϕ 0 ( x) имеет только тривиальное решение, т.е. задача L( y ) = 0,γ ( y ) = Γ( y ) = 0,l ϕ 0 ( x) y ( x)dx = 0, ∫0(23.6)имеет только решение y ≡ 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о.Т.к. однородная краевая задача имеет единственное линейно независимое решениеϕ 0 ( x) , то имеем y ( x) = Cϕ 0 ( x) . Тогда из условия ортогональности имеемll0 = ∫ y ( x)ϕ 0 (x)dx =C ∫ ϕ020( x)dx = C ,0C = 0 ⇒ y ( x) = 0 .Таким образом, если однородная краевая задача имеет единственное нормированноерешение ϕ 0 ( x) L(ϕ 0 ) = 0, x ∈ [ 0, l ] ,l2ϕ 0 (0) = ϕ 0 (l ) = 0, ∫ ϕ 0 ( x)dx = 1,0то постановка неоднородной краевой задачи в этом случае будет L( y ) = f ( x), x ∈ (0, l ),(23.7) y (0) = y (l ) = 0 (γ ( y ) = 0, Γ( y ) = 0),ll f ( x)ϕ 0 ( x)dx = 0, y ( x)ϕ 0 ( x)dx = 0,∫0 ∫0т.е.

дополнительные условия ортогональности правой части и решения к ϕ 0 ( x) .Первое условие согласно лемме 23.1, а второе согласно лемме 23.2. Осталосьдоказать ∃ решения поставленной задачи.п.24. Обобщенная функция Грина и представлениепомощью.решения с ееОбобщенной функцией Грина для краевой задачи, имеющей единственноенормированное решение однородной краевой задачиϕ 0 ( x) , называется функцияG0 ( x,ξ ) , удовлетворяющая задаче:501. По x уравнению L(G0 ) = −ϕ 0 (ξ )ϕ 0 ( x) , x ∈ (0,ξ ) и x ∈ (ξ , l ) .2. По x граничному условию G (0,ξ ) = G (l ,ξ ) = 0 .3. В т.

x = ξ условию сопряженияdG[G0 ]x=ξ = 0,  0  = 1 p(ξ ) . dx  x =ξ4. Условию ортогональности к ϕ 0 ( x) :l∫ G ( x, ξ0)ϕ 0 ( x)dx = 0 .0Т е о р е м а 24.1. Обобщенная функция Грина существует и единственна.Д о к а з а т е л ь с т в о.Если было бы две обобщенные функции, то их разность удовлетворяла быоднородной краевой задаче и была бы ортогональна к ϕ 0 . Согласно лемме 23.2 решениетакой задачи ≡ 0 ⇒ решение единственно.Докажем теперь ∃ G0 ( x,ξ ) .Рассмотрим три функции:1. ϕ 0 ( x); Lϕ 0 = 0; ϕ 0 (0) = ϕ 0 (l ) = 0,2. ϕ 1 ( x) – линейно независимое с ϕ 0 ( x) решение уравнения L(ϕ 1 ) = 0 , причем∆(ϕ 1 ,ϕ 0 ) = ϕ 1ϕ ′ 0 -ϕ ′ 1ϕ 0 =1 p ( x) ,3.

ω ( x) – решение задачи Коши L(ω ) = −ϕ 0 (ξ )ϕ 0 ( x), x ∈ [ 0, l ] ,ω (0) = 0,ω ′(0) = 0.иϕ0(24.1)Отметим, что ϕ 1 (0) ≠ 0 и ϕ 1 (l ) ≠ 0, иначе в этих точках ∆(ϕ 1 ,ϕ 0 ) = 0 , а функции ϕ1линейно независимы.Легко показать, что выполняется соотношениеω (l )= ϕ 0 (ξ ) .(24.2)ϕ 1 (l )Для этого применим к ϕ 0 и ω формулу Гринаl∫ (ϕ0L(ω ) − ω L(ϕ 0 ))dx = { p ( x) (ϕ 0ω ′ − ϕ ′ 0ω )}0Учитывая свойства ϕ0−ϕ 0 (ξ ) ∫ ϕ20|.0и ω , получимll( x)dx = − p (l )ϕ ′ 0 (l )ω (l )0ϕ 0 (ξ ) = p(l )ϕ ′ 0 (l )ω (l ) =ω (l )( p(l )ϕ ′ 0 (l )ϕ 1 (l ) ) .ϕ 1 (l )Из ∆(ϕ 1 ,ϕ 0 )=1 p ( x) ⇒ ϕ 1 (l )ϕ ′ 0 (l )=1 p (l ) .51Поэтому имеем (24.2)ϕ 0 (ξ ) =ω (l ).ϕ 1 (l )Представим теперь обобщенную формулу Грина в виде:C1ϕ 1 ( x) + C3ϕ 0 ( x); 0 ≤ x ≤ ξG0 ( x,ξ ) = ω (x)+ .Cϕ(x)Cϕ(x);ξxl+≤≤40 2 1Эта функция удовлетворяет уравнению LG0 = −ϕ 0 (ξ )ϕ 0 ( x) , а другие условия дляG0 должны быть выполнены подбором C1 , C2 , C3 , C4 .Граничные условия и условия сопряжения дают:ω (0) + C1ϕ 1 (0) + C3ϕ 0 (0) = 0ω (l ) + C ϕ (l ) + C ϕ (l ) = 02140C2ϕ 1 (ξ ) + C4ϕ 0 (ξ ) − C1ϕ 1 (ξ ) − C3ϕ 0 (ξ ) = 0C2ϕ ′ 1 (ξ ) + C4ϕ ′ 0 (ξ ) − C1ϕ ′ 1 (ξ ) − C3ϕ ′ 0 (ξ ) = 1 p (ξ )(24.3)Учитывая, что ϕ 0 (0) = 0, ϕ 0 (l ) = 0, ω (0) = 0, ω ′(0) = 0 иω (l )= ϕ 0 (ξ ) , получим первые два уравнения системы в виде:ϕ 1 (l )C1ϕ 1 (0) = 0ϕ 0 (ξ )ϕ 1 (l ) + C2ϕ 1 (l ) = 0.Откуда C1 = 0; C2 = −ϕ 0 (ξ ) .

Характеристики

Список файлов книги