В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть {λ k } , k ∈ [1, n ] – простые корни характеристическогоуравнения (15.2), аТогда(k )(k )y (t ) = ( k )α eλ k t , где ( k )α - нетривиальное решение системыAˆ − λ k Eˆ ( k )α = 0.(15.3)()ˆ .y (t ), k ∈ [1, n ] образуют Ф.С.Р. системы y′ = AyД о к а з а т е л ь с т в о.(k )Функцииα eλk t ={(k )}y (t ) k ∈ [1, n ]являютсярешениемсистемыдифференциальных уравнений, поэтому достаточно доказать их линейную независимость.Доказательство от противного. Пусть они линейно зависимы, т.е.n∑Ck =1α e(k )kλk t=0n∑Ck =12k≠0(15.4).Пусть C1 ≠ 0 (это не ограничивает общности), тогда запишем (15.4) в видеC1 α e( λ1 −λn ) t + C2 (2)α e( λ2 −λn )t +...+Cn ( n )α = 0 .Дифференцируя и умножая на e − ( λn −1 −λn ) t , получаем(λ 1 − λn )C1 (1)α e( λ1 −λn −1 ) t + ... + Cn( −n1−1)α = 0 .Дифференцируя и умножая на e − ( λn − 2 −λn −1 ) t , получаем(λ1 − λn )(λ1 − λn−1 )C1 (1)α e( λ 1 −λ n − 2 ) t + ...
+ Cn( −n−22)α = 0и т.д. Получаем, окончательно(λ 1 − λ n )(λ 1 − λ n −1 )...(λ 1 − λ 2 )C1 (1)α e( λ 1 −λ 2 )t = 0 .(15.5)Т.к. λ k – различны и (1)α ≠ 0 , то C1 = 0 . Пришли к противоречию ⇒ не ∃Ck таких,что выполняется (15.4). ⇒ Теорема доказана.(1)п.16. Построение Ф.С.Р.
для системы уравнений при кратных корняххарактеристического уравнения.Пусть λk – корень характеристического уравнения Det ( Aˆ − λ Eˆ ) = 0 имеет кратностьmk . Мы знаем из алгебры, что для матрицы с кратным собственным значением λkсобственные вектора ( j ) e , j ∈ [1, mk ] находятся из жордановой формыAˆ (1) e = λ (1) ekAˆ e = λk (2) e + (1) e(2).............................Aˆ ( mk ) e = λ ( mk ) e + ( mk −1) ekгде(1)e – собственный вектор,(2)(3)e , e ,...,( mk )e – присоединенные вектора.32(16.1)Выберем решения нашей системы таким образом, чтобы для векторов,определяющих решения, получилась жорданова форма.
Для этого выберем первоерешение в виде (1) y = (1) eeλ k t , где (1) e – решение (нетривиальное) Aˆ (1) e = λk (1) e .Выберем второе решение для λ = λk в виде:(2)y = ( (2) e + (1) et )eλk t ⇒ Aˆ ( (2) e + (1) et )eλk t = {λ ( (2) e + (1) et ) + (1) et} eλk tkили Aˆ (2) e + tAˆ (1) e = (λk (2) e + (1) e ) + tλk (1) e (т.к. Aˆ (1) e = λ k (1) e ), то получим для определения(2)e уравнениеAˆ (2) e = λ k (2) e + (1) e .(16.2)Если записать j - ое решение для λ k в виде:t 2 ( j −2)t j −1 (1) λ k t(16.3)y =( e +te+e + ... +e )e ; j ∈ [1, mk ] ,2!( j − 1)!тогда для (1) e j ∈ [1, mk ] получим жорданову форму (16.1).
В алгебре известно, что если( j)λ( j −1)( j)собственное значение матрицы А̂ кратности mk , то (16.1) дают mk линейнонезависимых векторов ( j ) e , j ∈ [1, mk ] . Таким образом, приходим к утверждениюТ е о р е м а 16.1. Каждому корню характеристического многочлена системыλ k (кратности mk ) отвечает mk решений, определенных (16.3), где ( j ) e j ∈ [1, mk ]является решением (16.1).Т е о р е м а 16.2.
Решения, определенные в т16.1, взятые для всех lk = 1,...l ∑ mk = n образуют Ф.С.Р. k =1Д о к а з а т е л ь с т в о.Составим фундаментальную матрицу из решений ( j ) y( k ) k ∈ [1, l ] , j ∈ [1, mk ]Wˆ (t ) = (1) y (t ),..., ( m1 ) y , (1) y ,..., ( m2 ) y ,..., (1) y ,..., ( ml ) y .k{1122ll}Заметим, что ( j ) y( k ) (t = 0) = ( j ) e( k ) , тогда∆(t = 0) = DetWˆ (t = 0) = Det { ( J ) e( k ) } ≠ 0 (т.к. ( j ) e( k ) - линейно независимы)⇒ ∆(t ) ≠ 0 для ∀t ∈τ ⇒ { ( j ) y( k ) (t )} линейно независимы ⇒ они составляют Ф.С.Р.п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Исследованиеуравнения 2-го порядка. Формула Остроградского-Лиувилля.Ln ( y ) = y ( n ) + p1 y ( n−1) + ... + pn y = f (t )(17.1)p1 , p2 ,..., pn = const.Исследуем однородное уравнение 2-го порядкаy′′(t ) + α y′(t ) + ky (t ) = f (t ) .33(17.2)Сведем уравнение (12.2) к системе двух уравнений с двумя неизвестнымифункциями u1 (t ) = y (t ) , u2 (t ) = y (t ) . Тогда получим системуu1′(t ) = u2 (t ),′=−−αu(t)ku(t)u(t)12 2илиˆ (t ) ,u′(t ) = Au(17.3) 0Â = −k(17.4)где1 .−α В этом случае характеристическое уравнение имеет вид−λM (λ ) = Det Aˆ − λ Eˆ =−k(1=0−λ − α)илиλ 2 + αλ + k = 0 .Откуда−α + α 2 − 4k−α − α 2 − 4kλ1 =; λ2 =.22(17.5)Возможны три случая.1.
α 2 > 4k ; λ 1 , λ 2 – действительные и отрицательные, причем различные. Общеерешение y (t ) = C1eλ 1t + C2eλ 2tт.к.eλ 1t = y1 (t ); y2 (t ) = eλ 2t –линейно независимыефункции. Их определитель Вронскогоy1 y2eλ 1t eλ 2t∆t === (λ 2 − λ 1 )e ( λ 1 + λ 2 ) t ≠ 0 .λλtty1′ y2′λ 1e 1 λ 2e 2При начальных данных y0 и y0′ получим:λ y − y0′ λ 1t λ 1 y0 − y0′ λ 2ty (t ) = 2 0e −e .λ 2 −λ 1λ 2 −λ 1Эти колебания не осциллирующие, а затухающие ( апериодические).2. α2< 4k корни комплексные, сопряженные4k − α 222− at− aty1 (t ) = e cos bt ; y2 (t ) = e sin bt ,y1 (t ) и y2 (t ) – линейно независимые функции, т.к.
их определитель Вронского не равен 0:λ 1 = −a + ib; λ 2 = − a + ib; a =34α; b=∆t =e − at cos bte − at sin bt− at− at− at= 2be −2 at ≠ 0.− at− ae cos bt − be sin bt − ae sin bt + be cos btОбщее решениеy (t ) = (C1 cos bt + C2 sin bt )e − at .Решение осциллирует и затухает. Если α = 0 , то a = 0 (затухания нет) и имеемy (t ) = C1 cos kt + C2 sin kt ) – периодические колебания.3. Если α 2 − 4k = 0 , то имеем кратные корниλ 1=λ 2 =−Имеем одно решение y1 (t ) = e−αα t22=λ..Другим решением линейно независимым сопределитель Вронского не равен нулю:∆t =Общее решениеe−α tte2α−α t−−y1являетсяy2 (t ) = te−λt2. Ихα tα t2α− e 2 e 2 − te22λty (t ) = (C1 + C2t )e .−α t= e −α t ≠ 0 .2Рассмотрим теперь вывод формулы Остроградского-Лиувилля. Пусть нам известнодва независимых решения (17.2) y1 (t ) и y2 (t ) уравненияy′′(t ) + p1 (t ) y′(t ) + p2 (t ) y (t ) = 0(17.6)Тогда определитель Вронскогоy y2∆(t ) = 1= y1 (t ) y2′ (t ) − y′(t ) y2 (t ) .y1′ y2′Продифференцировав это выражение, получимd ∆(t )= y1 y2′′ − y1′′y2 .dtПодставим вторые производные из уравнения (17.6)ym′′ = − p1 (t ) ym′ − p2 (t ) ym , m ∈ [1,2] .Тогдаd ∆(t )= − ( p1 (t ) y2′ + p 2 (t ) y2 ) y1 + ( p1 (t ) y1′ + p 2 (t ) y1 ) y2 =dt= − p1 (t )( y1 y2′ − y1′ y2 ) = − p1 (t )∆ (t )Таким образом, мы получили35d ∆(t )= − p1 (t )∆ (t ) .(17.7)dtРешение этого уравнения дает выражение определителя Вронского через первыйкоэффициент дифференциального уравнения p1 (t ) :t−∫tP1 (τ ) dτ∆(t ) = ∆ (t0 )e 0(17.8)Это формула Остроградского - Лиувилля.
∆(t0 ) находим из начальных данных, а по(17.8) ∆(t ) при ∀t ∈ [t0 , t0 + T ]. Формула (17.8) позволяет получить общее решениеуравнения 2-го порядка, если известно одно частное решение уравнения (17.6). Пусть y1 (t )– известное решение и y (t ) – общее решение. Тогда из (17.8) имеемy1 (t ) y′(t ) − y1′(t ) y (t ) = C1e∫− P1 ( t ) dt,илиd y (t ) C1 − ∫ P1 (t ) dte.=dt y1 (t ) y12 (t )Окончательно, t − P1 ( t ) dt∫ey (t ) = y1 (t ) C1dt + C2 .2 t0 y1 (t )∫(17.9)Формула (17.9) дает выражение для общего решения дифференциального уравнения2-го порядка через известное одно решение y1 (t ) и первый коэффициент уравнения y1 (t ) .п.18. Основные понятия теории устойчивости.Устойчивость решения линейной системы.Мы рассматривали все свойства дифференциальных уравнений, если решениеопределено на конечном интервале t ∈ [t0 , t0 + T ] .
Возникает вопрос, что будет снепрерывностью по начальным данным при t → ∞ . Это и входит в теорию устойчивости. y′(t ) = ay − 11– решение.Имеем задачу Коши 1 ⇒ y0 (t ) =ay(t=0)=aИзменим начальные данные на малую величину δ y′ = at − 11⇒ y (t ) = + δ e at .1a y (t0 ) = a + δ36Следовательно, y (t ) − y0 = δ e at , при конечном t имеемy (t ) − y0 (t ) → 0 ,δ →0(y (t ) − y0 ) → 0(y (t ) − y0 ) → ∞и .а при t → ∞ для ∀δ > 0 имеем a < 0a > 0Ясно, что безразлично какие начальные t0 .
Поэтому в дальнейшем рассматриваем0 ≤ t < ∞ . Причем, изучаем x (t ) = y (t ) − y (t = 0) , т.е. задача Коши для x (t ) dx = f (t , x (t )), 0 ≤ t < ∞(18.1) dt x (t = 0) = 0, ( f (t , x = 0) = 0)т.е. x =0 является решением (18.1).Устойчивость определяется поведением решения (18.1) при t→∞, если в (18.1)возмутить начальное условие x (t = 0) = x0 . Таким образом, вопрос об устойчивости связанс тем: остается ли решение на фазовой плоскости в окрестности точки покоя ( x =0) иливыходит из нее.О п р е д е л е н и е.Решение задачи (18.1) x = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для∀ε > 0 ∃δ (ε ) > 0 такое, что при x0 < δ (ε ) для всех t > 0 cправедливо неравенствоx (t , x0 ) < ε(18.2)и асимптотически устойчивым, если кроме устойчивости выполняется условие: ∃δ 0 > 0такое, что при x0 < δ 0 < δ (ε )lim x (t , x0 ) = 0 .(18.3)t →∞Исследуем устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами.
Дляисследования необходимо иметь некоторые оценки, которые даются в лемме 18.1.Лемма 18.1.Справедливы следующие оценки:n ˆ1. y (t ) = yi (t ) = ∑ aik xk (t ) = Ax.k =1Если aik (t ) ≤ a (t ) , то|| y ||≤ Ca (t ) || x ||nn2. y = yi = ∑∑ aijl (t ) x j xl , aijl ≤ a(t ) ,j =1 l =1(18.4)тогда|| y ||≤ Ca(t ) || x ||2 .3. || x + y ||≤ C (|| x || + || y ||) .(18.5)(18.6)37t4.∫ y (τ )dτ0t≤ C ∫ || y (τ ) || dτ , 0 ≤ t ≤ T .(18.7)05. Для импульсной функции Zˆ (t , t0 ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (t0 ) формулы (13.2) справедливо неравенствоZ ij (t , t0 ) = Z ij (t − t0 ,0) < Ce( p +γ )( t −t0 ),(18.8)где p = max(Re λ k ), γ – положительная постоянная.k∈[1,n ]До к а з а т е л ь с т в о.22 n n221.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
