В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

y =  ∑ aik (t ) xk (t )  ≤ a (t )  ∑ xk (t )  ≤ na 2 (t ) x ⇒ k =1 k =12i22⇒ y ≤ n 2 a 2 (t ) x ⇒ y ≤ na (t ) x22 n n n n2y =  ∑∑ aijk (t ) x j xl  ≤ a (t )  ∑∑ x j xl  = j =1 l =1 j =1 l =12k2.22 n  n4= a 2 (t )  ∑ x j   ∑ xl  ≤ a 2 (t ) x ⇒ j =1   l =1 || y ||2 ≤ nyk2 ⇒ ||y ||2 ≤ na 2 (t ) || x ||4 ⇒ ||y ||≤ na(t ) || x ||2 .22223. ( xi + yi ) 2 ≤ xi + yi + 2 xi yi ≤ 2( xi + yi ) ⇒|| x + y ||≤ 2 || x ||2 + || y ||2 ≤ 2(|| x || + || y ||)tt004.

∫ yi (τ )dτ ≤ ∫ y dτ ⇒tt∫ y (τ)dτ ≤ n ∫ y dτ00 Zˆ ′ = AZˆ5. Переходя к новой переменной τ = t − t0 в задаче , Zˆ (t0 ) = Eˆприходим к Z ij (t , t0 ) = Z ij (t − t0 ,0) .Тогда Zˆ (t − t ,0) = Wˆ (t − t )Wˆ (0) ⇒ Z (t − t ,0) ≤ Ce( p +γ )( t −t0 )000ij0т.к. Wij (t − t0 ) ≤ ∑ ck t j eλk (t −t0 ) , а t j ≤ eγ (t −t0 ) , p = max Re λk .kТ е о р е м а 18.1. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами dx ˆ = Ax , t > 0; Aˆ = {aij } , aij = const(18.9) dt x (t = 0) = 038асимптотически устойчивое, если для всех корней характеристического многочленавыполняется условие(18.10)Re λ k < 0 для ∀k ,и неустойчиво, если хотя бы одно Re λ k > 0 .Доказательство.В п.15 и п.16 мы описали, как строится решение для λ k .(m)x( k ) (t ) = (c1 + c2t + ... + cmk t⇒(m)( mk −1))eλ k tx ≤ Ce( pk +γ )t , где pk = Re λk .ˆ ˆWˆ ′ = AWˆФундаментальная матрица решений W (t ) Wˆ (t = 0) = Eˆимеет столбцы из фундаментальных решений⇒ Wˆ ≤ Ce( p +γ ) t , где p = max Re λk .kЕсли в (18.9) возмутить начальные условия x (t = 0) = ε 0 , то решение (18.9) будетx (t ) = Wˆ (t )ε 0 ⇒ x (t ) ≤ Wˆ ε 0 ≤ C ε 0 e( p +γ ) t .Если все Re λk< 0 , то при t → ∞ || x (t ) ||→ 0.Если хотя бы одно Re λ k = λ 0 > 0 , то || x ||≥ C || ε 0 || e( λ 0 −γ ) t → ∞ при t → ∞ .Если ∃ Re λ k = 0 , а остальные Re λ k < 0 , то вопрос об устойчивости сложен.

Возможныразные варианты.п.19. Исследование устойчивости решения системы по первомуприближению.Рассмотрим нелинейную автономную систему дифференциальных уравнений dx = f ( x ), t > 0, f (0) = 0(19.1) dt x (0) = 0Автономной называется система, правая часть которой не зависит от t .Исследование на устойчивость по первому приближению проводится следующимобразом:1) Разлагаем f ( x ) в ряд, учитывая, что f (0) = 0 . Тогдаˆ +Rf ( x ) = Ax(19.2)∂ fi |  , а R – остаточный член, который можно представить в виде;где Aˆ = aij =∂ x j x =0 nn∂ 2 fiR = { Ri } = ∑ ∑(19.3)| xl x j (взяв в средней точке).j =1 l =1 ∂ x j ∂ xl x =θ x39dx ˆ= Ax . Если все Re λkdtматрицы А̂ меньше нуля, то решения линеаризованной системы устойчивые.3) Исследуем как влияет на устойчивость нелинейная поправка R ( x ).Рассмотрим систему2) Рассмотрим устойчивость линейной части системы dx = Ax + R ( x ), t > 0 dt x (t = 0) = x0Пусть Zˆ (t ,τ ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (τ ) – импульсная функция для системыdx ˆ= Ax .dtТогда из (19.4) получим(19.4)tx (t ) = Zˆ (t ,0) x0 + ∫ Zˆ (t ,τ ) R ( x (τ ))dτ .(19.5)0Используя лемму 18.1, получим|| R ||≤ C || x ||2 ,Тогда|| x ||≤ Ce−α tt|| x0 || +C ∫ e −α( t −τ )|| x ||2 dτ ,(19.6)0где α = −( p + γ ); p = max Re λk < 0 , γ – любое положительное число, p + γ < 0.kЧтобы из (19.6) получить оценку для || x || при t → ∞ , рассмотрим вспомогательнуюзадачу: dz2 = α z + cz , t > 0(19.7) dt z (0) = z0 > c x0 , c > 0Сведем к интегральному уравнению, считая f = cz 2 ,z (t ) = z0e−α tt+ c ∫ e −αz (τ )dτ .( t −τ ) 2(19.8)0Сравнивая (19.6) и (19.8), получаемz (t ) >|| x || при любом t ≥ 0 .(19.9)Доказательствоz (t ) и || x (t ) || непрерывны и при t = 0 z (0) > c || x0 ||=|| x (0) || .

Следовательно,z (t ) >|| x (t ) || при 0 < t < t1 . Пусть z (t1 ) =|| x (t1 ) || . Тогдаz (t1 ) = z0e−α t1t1+ c ∫ e −α0t1> c || x0 || e −α t1 + c ∫ e−α( t1 −τ ) 2z (τ )dτ >( t1 −τ )|| x (τ ) || dτ =|| x (t1 ) || . То есть, z (t1 ) > x (t1 ) .040Пришли к противоречию. ⇒ z (t ) >|| x (t ) || при ∀t .Теперь оценку || x (t ) || получаем из оценки z (t ) , для которой имеется аналитическоерешениеα z0(19.10)z (t ) =cz0 + (α − cz0 )eα tПри z0 <0 < z (t ) ≤αcимеем z (t ) > 0 и имеемα z0α z0e−α t ⇒|| x (t ) ||<e −α t → 0.t →∞(α − cz0 )(α − cz0 )Имеем асимптотическую устойчивость.Т е о р е м а 19.1.

Пусть в некоторой окрестности точки покоя x = 0 праваячасть автономной системы f ( x ) непрерывна вместе с производными до 2-го порядкавключительно. Тогда, если все λ k характеристические числа матрицы∂ fi Aˆ = aij =| ∂ x j x =0 удовлетворяют условию Re λ k < 0 , то тривиальное решение системы (19.1)асимптотически устойчиво.

Если хотя бы одно λ k имеет Re λ k > 0 , то решениенеустойчиво.п.20. Исследование траектории в окрестности точки покоя.Исследование проводим в двумерном случаепостоянными коэффициентами:x = { x1 (t ), x2 (t )} для системы сa11 a12 dx ˆ= Ax ; Aˆ = dta21 a22 (20.1)или dx1фазовая траектория dt = a11 x1 + a12 x2⇒ dx1 a11 x1 + a12 x2=dx 2 =a x +a xdxa21 x1 + a22 x221 122 22 dt(20.2)Точка x = 0 является особой в уравнении (20.1). Предположим, что в системе (20.1)λ = 0 не является корнем характеристического уравнения и корни различны λ 1 ≠ λ 2 . Вэтом случае общее решение (20.1) имеет вид:x = C1α (1)eλ1t + C2α (2)eλ 2t ,(20.3)где α(1),α (2) – собственные вектора матрицы А̂ , соответственно для λ411и λ 2.Тогдаλ1t+ C2λ 2αdx2 x2′ (t ) C1λ 1α (1)2 e==(1) λ 1tdx1 x1′ (t ) C1λ 1α 1 e + C2λ 2α(2) λ2t2(2) λ2t1eeРассмотрим различные случаи для разных соотношений между λ1.(20.4)и λ 2.1. Действительные λ одного знака.1а.

Im λ 1 = Im λ 2 = 0, 0 > λ 1 > λ 2 (отрицательные характеристические числа). Точкапокоя,согласно теореме 19.1, асимптотически устойчива. ЕслиC1 ≠ 0 , то приdx2 α=t →∞dx1 α(1)2(1)1= β1 ⇒ приt →∞имеем асимптотическую прямуюdx2 α=(проходит через точку покоя). Если C1 = 0 , то имеемdx1 α(2)2(2)1x2 = β1 x1= β 2 (прямая x2 = β 2 x1 )Такая точка покоя называется "узлом".1б. Im λ 1 = Im λ 2 = 0, λ 2 > λ 1 > 0(положительные характеристические числа).Получается та же картина, но точка покоя неустойчива и "узел" расходящийся (стрелкиидут от начала координат).2.

Действительные λ разного знака.Пусть λ 1 > 0, λ 2 < 0 (Im λ 1 = 0, Im λ 2 = 0). Точка покоя, согласно теореме 19.1,неустойчива. Если C1 ≠ 0 , то x2 = β1 x1 , а, если C1 = 0 , то x2 = β 2 x1.Полученные прямые называются "сепаратрисами".42Точка называется "седлом". Точка вначале идет к центру, но затем переходит надругую прямую и уходит в ∞ .3. Случай разных комплексных характеристических чиселλ 1 = λ = p + iq; λ 2 = λ * = p − iq.В этом случае решение представляется в виде:pt x1 (t ) = e (α cos qt + β sin qt )pt x2 (t ) = e (γ cos qt + δ sin qt )(*)причем, из линейной независимости, следуетα γ= αδ − βγ ≠ 0β δ(**)3а. Случай чисто мнимых λ ( p = 0).Тогда из системы (*) находим:γ x1 (t ) − α x2 (t )−αδ + βγ+δ x1 (t ) − β x2 (t ).cos qt =α δ -β γsin qt =Используя тождество sin 2 qt + cos 2 qt = 1, получим22 γαδβ αδ − βγ x1 − αδ − βγ x2  +  αδ − βλ x1 − αδ − βγ x2  = 1 . Это эллипсы.

Точка покоя устойчива, но не асимптотически. Эта точка называется"центром".43В зависимости от начальных данных точка вращается вокруг центра (точка покоя),что соответствует эллипсу.3б. p ≠ 0. Исключая cos qt и sin qt , получим22 γαδβ2 pt−+−xxxx αδ − βγ 1 αδ − βγ 2   αδ − βγ 1 αδ − βγ 2  = e . Это эллиптическая спираль. При p < 0 имеем асимптотическую устойчивость, а приp > 0 – неустойчива. Точка называется "фокус".Часть II.Краевые задачи и вариационное исчисление.п.21. Постановка краевых задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений. Формула Лагранжа.1. В краевой задаче условия задают не только в начальной точке t = t0 , т.е.

задача нелокальна. Для уравнения 2-го порядка условие на двух концах t = t0 и t = t0 + T .2. Физически имеем два случая:– имеется временной отрезок [t0 , t0 + T ] , надо найти решение задачи, когда причастичных начальных данных в t0 мы получим решение, обладающее некоторыми даннымив конце при t0 + T .– имеется пространственный отрезок 0 < x < l и на обоих его концах (краях) заданыусловия (граничные). Математически это выглядит одинаково.3.

Для уравнения n-го порядкаLn ( y ) = y ( n ) ( x) + p1 y ( n−1) ( x) + ... + pn y ( x) = f ( x), x ∈ [ 0, l ] ,n −1при x = 0 γ i ( y ) = ∑ aij y ( j ) ( x = 0) = µi , i ∈ [1, m ] ,j =044при x = ln −1Г i ( y ) = ∑ bij y ( j ) ( x = l ) = ν i , i ∈ [1, s ] ,j =0m + s = n.4.

Характеристики

Список файлов книги