Главная » Просмотр файлов » В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 9

Файл №1060180 В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения) 9 страницаВ.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180) страница 92019-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

можно доказать следующее утверждение.Л е м м а 28.1.Если p ( x) = xϕ ( x) при x → 0 и ϕ ( x) – ограничена, ϕ (0) ≠ 0, p ( x) > 0 при0 < x < l , а g ( x) = q ( x) − λ ρ ( x) ограничено (или может → ∞ при x → 0 ), то дляограниченного в точке x = 0 решения задачи Штурма - Лиувилля y1 ( x) выполняетсяусловиеlim p ( x) y1′( x) = 0 .x →0Д о к а з а т е л ь с т в о.1.

g ( x) – ограничено. Тогда проинтегрируем уравнениеx1x1d dy1 ∫x dx  p( x) dx  dx = ∫x g ( x) y1 ( x)dx, 0 < x < x1 < l .Откудаx1p ( x) y1′ ( x) = p ( x1 ) y1′ ( x1 ) − ∫ g (ξ ) y1 (ξ )dξ = Q ( x) ,xlim p ( x) y1′ ( x) = lim Q( x) = C .x →0Покажем, чтоx →0C = 0. Q( x) – непрерывно иограничено наx1Q(ξ )dξ.p(ξ)xТ.к. p (ξ ) = ξ ϕ (ξ ) , тоy1 ( x) = y1 ( x1 ) − ∫x1Q (ξ )dξ.ξ ϕ (ξ )0lim y1 ( x) = A < ∞; A = y1 ( x1 ) − ∫x →0Интеграл сходится, если Q (ξ ) → 0 .ξ →0590 < x < x1 , причем2. Случай g ( x) → ∞ при x → 0 , p ( x) – дифференцируемая функция.

Легко показать,что ограниченная y1 ( x) монотонна при 0 < x < x1 , где g ( x) > 0 , (т.к. lim g ( x) = +∞ , то ∃ x1x →0такое, что g ( x) > 0 при 0 < x < x1 ), Если y1 ( x) немонотонна при 0 < x < x1 , то она имеетили отрицательный min или положительный max .В этой точке y′ = 0 ⇒y′′g ( x)g ( x), ноpy′′ + p′y′ − g ( x) y ( x) = 0 ⇒=> 0, аy ( x) p( x)p( x) y > 0, y′′ < 0y′′< 0y y < 0, y′′ > 0.Пришли к противоречию ⇒ y1 ( x) монотонна при 0 < x < x1 ⇒x1Q( x) = p ( x1 ) y1′ ( x1 ) − ∫ g (ξ ) y1 (ξ )dξ– монотонна ( g > 0, y1 – монотонна) и имеетxконечный или бесконечный предел. Если пределОкончательно∃, то согласно случаю 1 он = 0!lim p ( x) y1′( x) = 0 .x →0Л е м м а 28.2.Если y1 ( x) и y2 ( x) – линейно независимые решения уравнения L( y ) + λ ρ y = 0 ,p ( x) = xϕ ( x), ϕ ( x) > 0, x ∈ [ 0, l ] , то, еслиy1 ( x) – ограниченная функция,аlim y1 ( x) = C < ∞ , то y2 ( x) – неограниченная функция при x → 0 .x →0Д о к а з а т е л ь с т в о.C⇒p( x)xdξy2 ( x) = y1 ( x) C1 + C ∫2x0 p (ξ ) y1 (ξили (т.к.

p (ξ ) = ξ ϕ (ξ ), ϕ (ξ ) – ограничена)Согласно (22.4) из ∆( y1 , y2 ) =xdξy2 ( x) = C1 + C ∫2x0 ξ ϕ (ξ ) y1 (ξ)  1.:)  y1 ( x)Если y1 ( x) ≠ 0 при x = 0 , то интеграл расходится при x → 0, y2 ( x) – неограничена приx → 0 . Если y1 ( x) → 0 при x → 0 , то имеем неопределенность, которую раскрываем поЛопиталю60d dξC1 + C ∫2dx x0 p (ξ ) y1 (ξxlim y2 ( x) = limx →0d  1 dx  y1 ( x) x →0) =2C p ( x) y1 ( x)1= lim=−=∞ ,Climx →0 − y ′ y 2 ( x )x →0 p ( x ) y′( x )11согласно лемме 28.1.Л е м м а 28.3.Если в лемме 28.2 функция y1 ( x) = x n Z ( x) при x → 0 , а Z (0) = const ≠ 0 , тоψ 1 ( x) x n ; ψ 1 (0) = const ≠ 0, n > 0.y2 ( x ) = 1ψ ( x)ln ; ψ (0) = const ≠ 0, n = 02 2xД о к а з а т е л ь с т в о.xdξy2 ( x) = y1 ( x) C1 + C ∫2x0 ξ ϕ (ξ ) y1 (ξxdξ= x Z ( x) C1 + C ∫ϕ (ξ ) Z 2 (ξ )ξx0n=) =2 n +1 xCdξ = x Z ( x) C1 +*2* ∫2 n +1 ϕξ()()xZxx0nпо теореме о среднем 0 < x* < x0 .

Интегрируя получим искомое.п.29. Уравнение Бесселя. Построение решения в виде степенных рядов.Уравнением Бесселя называется уравнениеν 2′ (29.1)( xZν′ ( x) ) +  x −  Zν ( x) = 0, x ∈ (0, ∞)x Zν ( x) – называется цилиндрической функциейν -го порядка. Т.к.p ( x) = x ⇒ p (0) = 0 , то одна цилиндрическая функция ограничена, а другая имеетособенность при x → 0 .Решение уравнения Бесселя легко получить в виде степенного ряда. Из (29.1) имеем61x 2 Zν′′( x) + xZν′ ( x) + ( x 2 − ν 2 ) Zν = 0.Представим∞Zν ( x) = xσ ∑ ak x k .(29.2)k =0Подставим в уравнение, тогда∞∑ (σ + k )k =0или(σ∞+∑k =22−ν22∞− ν  ak x + ∑ ak x k + 2 = 02kk =0)a0{ (σ + k )+ (σ + 1) 2 − ν 2  a1 x +2}− ν 2  ak + ak −2 x k = 0 .Считая a0 ≠ 0 ⇒ σ = ±ν , возьмем σ = ν , тогда− ak −2.(2ν + 1)a1 = 0; ak =k (2ν + k )Считая ν ≥ 0 , получимa1 = 0, a3 = 0 и т.д.

a2 m+1 = 0 m ∈ [ 0, ∞ ]aи т.д.a0 ≠ 0, a2 = − 2 02 (ν + 1)a0.a2 m = (−1) m 2 m2 m!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + m)Таким образом Zν определяется с точностью до постоянного множителя.1При выборе a0 = νполучим Бесселеву функцию первого рода ν -го2 Γ(ν + 1)порядка.Γ( x + 1) = xΓ( x) – гамма функция∞Γ( x) = ∫ e − t t x −1dt , x > 0; Γ(n + 1) = n!, Γ (1 2 ) = π .0Для x ≤ 0 берем из Γ( x)Γ(− x) =−π.x sin π xПри x = − n (n = 0,1, 2,..., ∞) Γ(− n) = ±∞ ,a2 m = (−1) m22 m+ν1Γ(m + 1)Γ(m + ν + 1)имеем(−1) k xJν ( x) = ∑ k =0 Γ ( k + 1)Γ ( k + ν + 1)  2 ∞2 k +ν.Это при ν ≥ 0 , а при отрицательных ν имеем ν ≠ − n (n – целое)62J −νk(−1)x( x) = ∑ k =0 Γ ( k + 1)Γ ( k − ν + 1)  2 ∞2 k −ν.Это продолжение Г(х) на отрицательное, но нецелое.

Jν (x) – ограниченноерешение, J −ν ( x) – неограниченное решение. Это линейно независимые решения.Если ν = − n , то легко показать, что J − n ( x) = J n ( x)(−1) n ,(−1) k xJ − n ( x) = ∑ k = n Γ ( k + 1)Γ ( k − n + 1)  2 ∞2 k −n,т.к.

Γ(k − n + 1) = ±∞ при k ≤ n − 1 .Введя k = m + n , получим(−1) mxJ − n ( x) = (−1) ∑ m =0 Γ ( m + n + 1)Γ ( m + 1)  2 n∞2 m+ n= (−1) n J n ( x) .При целых ν = n линейно независимой функцией к J n ( x) является функцияНеймана N n ( x) или функция Бесселя второго рода n-го порядка.п.30. Собственные функции краевой задачи для уравнения Бесселя.Краевая задача для уравнения Бесселяv2L( y ) = (ty′(t ))′ − y (t ) = −λ ty (t ) , t ∈ (0, l )ty ( x = 0) – ограничена, y ( x = l ) = 0 (или y′( x = l ) = 0.

)λгде Zν(Zν′ϕn()2; ρ ( x) = x .tприводит к уравнению Бесселя ⇒ y (t ) = Zν ( λ t ) ,p (t ) = t ; q (t ) =Замена переменных t = xνλ t – ограниченная цилиндрическая функция, а из условия Zνнаходим{λ } – собственные значения)= Z ( λ t ) – собственные функции, ортогональные с весом ρλ l = 0)νknl∫ϕnи()λ l = 0 (илисоответствующие=x( x)ϕ m ( x) xdx = 0, n ≠ m .0Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувиля: найти такие {λk } , при которыхзадача d dy ( x)) = −λ xy ( x) , x ∈ [ 0, l ] , (x(30.1)dx dx y ( x = l ) = 0 ,имеет нетривиальное решение, непрерывное вместе со своими 2-мя производными.63Сделаем замену переменного x =tλt, y( x =λ) = Z (t ).Тогда придем к уравнению Бесселя нулевого порядка d dZ (t )) + tZ (t ) = 0 , t ∈ 0, λ l  , (tdtdt Z (t = λ l ) = 0 .Это уравнение имеет одно ограниченное решениеКраевое условие присобственных значений {λk }Z (t ) = CJ 0 (t ) ; y ( x) = CJ 0 ( λ x) .(30.2)x = l дает трансцендентное уравнение для определенияJ 0 ( λk l ) = 0 , k ∈ [1, ∞) ,(30.3)т.к.

функция Бесселя имеет ∞ число корней. Таким образом, мы имеем собственныеортонормированные функции для уравнения (30.1) в виде:yk =которые ортогональны с весом x :J 0 ( λ k x) 2 l 2; ak = ∫ J o ( λ k x) xdx , k ∈ [1, ∞) ,ak00 k ≠ my(x)y(x)xdx=km∫1 k = m0(30.4)l(30.5)Любая непрерывная дважды дифференцируемая функция f ( x ) на отрезке [ 0, l ]может быть разложена в ряд:f ( x) =∞∑ f k yk ( x ) ,(30.6)k =1гдеlf k = ∫ f ( x) yk ( x) xdx .(30.7)0п.31 Линейные уравнения в частных производных первого порядка.Рассматривается функция многих переменныхU ( x ) = U ( x1 , x2 ,..., xn );F ( x1 ,..., xn , U ,∂U; i ∈ 1, n – частные производные.∂ xi∂U∂U,...,) = 0 – уравнение в частных производных I порядка.∂ x1∂ xnЛинейное уравнениеn∂U∑ ai ( x ) ∂ xi =1i= 0, x ∈ Rn ,(31.1)ai ( x ) при x ∈ G ∈ Rn непрерывные функции со своими первыми частными производными.64n∑a2ii =1( x ) ≠ 0, x ∈ G(31.2)Рассматриваем уравнение (31.1) с условием (31.2)n∂U∑ ai ( x ) ∂ x = 0; ∑ ai2 ( x ) ≠ 0, x = {x1 , x2 ,..., xn } .i =1i =1inДля этого уравнения имеем систему дифференциальных уравнений для фазовыхтраекторийdx1dx2dxn==...

=.a1 ( x ) a2 ( x )an ( x )(31.3)Интегральные кривые системы (31.3) называются характеристиками исходногоуравнения. Через каждую точкуM ( x1 ,..., xn ) ∈ G проходит одна и только однахарактеристика.Т е о р е м а 31.1. Вдоль характеристики решение U ( x ) сохраняет постоянноезначение.Д о к а з а т е л ь с т в о.Если {xi (t ) = xi } параметрическое задание характеристики, тоnndU∂ U d xi∂ U=∑=∑ai = 0dti =1 ∂ xi d ti =1 ∂ xi(согласно уравнению 31.1).dU= 0 (вдоль характеристики) ⇒dt⇒ U = const (вдоль характеристики).Следовательно,О п р е д е л е н и е. Первым интегралом уравнения (31.1) называется функцияϕ ( x1 ,..., xn ) , обращающаяся тождественно в постоянную, когда M ( x1 ,..., xn )движется вдоль характеристики (интегральной кривой системы 31.1).В частности, пусть an ( x ) ≠ 0, M ∈ G , тогда систему (31.3) можно записать в виде:начальные данные xi|xn = xn0dxi ai ( x ), i ∈ 1, n − 1 ,=dxn an ( x )= xi0 i ∈ 1, n − 1 .(31.4)Решение системы (31.4)x i = X i ( x n , x 10 , x 20 ,..., x n0 ), i ∈ 1, n − 1 .{ }Функции X i сопоставляют точки {xi }; xi0 .Эти точки можно поменять местами, т.е.x i0 = X i ( x n0 , x 1 , x 2 ,..., x n ), i ∈ 1, n − 1 ,Функции(31.5)(31.6)X i ( x n0 , x ) – первые интегралы, т.к.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
748,31 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее