В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

все линейно. Приведя подобные члены, получим линейное уравнение.Т е о р е м а 10.2. Для линейного дифференциального уравнения выполняетсяпринцип суперпозиции m mLn  ∑ ck yk  = ∑ Ck Ln ( yk )(10.2) k =1 k =1Применение принципа суперпозиции:и т.д. y ( k ) линейная комбинацияM1) Для суммы правых частей f = ∑ f mm =1MLn ( ym ) = f m ⇒ y = ∑ ym .m =1Это суммирование источников.2) Разделение задачи Коши на неоднородную с нулевыми начальными данными и наоднородную с начальными данными.25 Ln ( y ) = f( n −1)( n −1) y (t0 ) = y0 , y′(t0 ) = y0′ , ..., y (t0 ) = y0y = U (t ) + V (t ) L(U ) = f , L(V ) = 0,( n −1)( n −1)(t0 ) = 0.(t0 )=y0( n−1) .U (t0 ) = 0, ..., UV (t0 ) = y0 , ..., V3) Разделение начальных данных для однородного уравнения.n Ln ( y ) = 0⇒ y = ∑U m (t ) y0( m−1)( n −1)( n −1)= y0m =1 y (t0 ) = y0 , ..., y L(U m ) = 0 (k )U m (t0 ) = 0 k ∈ [ 0, n − 1] , k ≠ m (m)U m (t0 ) = 14) Комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.Т е о р е м а 10.3.

( ∃ и ! решения на всем интервале).Если коэффициенты α k (t ) и правая часть f (t ) есть непрерывные функции приt ∈ [t0 , t0 + T ] , то решение ∃ и ! на всем интервале [t0 , t0 + T ]. (т.к. условия теоремы ∃ и !выполняются на всем интервале).Линейное дифференциальное уравнение (10.1) сводится к нормальной линейнойсистеме дифференциальных уравнений. Введем вектор-функциюu (t ) = ( u1 = y (t ), u2 = y′(t ), ..., un = y ( n−1) (t ) ) ,для которой получим нормальную линейную систему уравненийприm ∈ [1, n − 1]um+1 (t ) n(10.3)um′ (t ) = ak (t )b(t)u(t)+f(t)приm=n,b=.n − k +1k∑ ka0 (t ) k =1В общем случае нормальная линейная система уравнений записывается в виде:ˆ +F,u′(t ) = Au(10.4)где матрица Aˆ = {α (t )} m, k ∈ [1, n] .

В дальнейшем мы будем подробно рассматриватьmkлинейную систему дифференциальных уравнений, т.к. уравнение n-го порядка сводится кчастному случаю такой системы.п.11. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Понижениепорядка уравнения. Уравнение Риккати.Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядкаy′′(t ) + a1 (t ) y′(t ) + a2 (t ) y (t ) = f (t ) .26(11.1)Оно сводится к системе второго порядка введением вектор-функцииu (t ) = ( u1 (t ) = y (t ), u2 (t ) = y′(t ) ) , для которой получаем системуu1′(t ) = u2 (t )u2′ (t ) = − a2 (t )u1 (t ) − a1 (t )u2 (t ) + f (t )или1 0ˆ + f , Aˆ =  0u′(t ) = Au(11.2) −a −a  , f =   .f 1 2У линейного однородного уравнения ( f = 0 ) можно понизить порядок, введя новуюфункциюy′(t ).(11.3)Z (t ) =y (t )Тогдаy′(t ) = Z (t ) y (t ), y′′ = Z ′y + Zy′ = Z ′y + Z 2 y .(11.4)Подставив (11.4) в (11.1) при f = 0 , получимZ ′(t ) + Z 2 + a1 (t ) Z + a2 (t ) = 0 .(11.5)Полученное уравнение является уравнением Риккати.Общий вид уравнения Риккати:y′(t ) = p (t ) y 2 + q (t ) y + r (t ) ,Z (t )приводится к виду (11.5).которое заменой искомой функции y = −p(t )p′ Z ′(t ) + Z 2 (t ) −  q (t ) +  Z + r (t ) p (t ) = 0 .pВ уравнении (11.5) можно убрать член, содержащий Z , не изменяя коэффициентапри Z 2 с помощью замены искомой функцииa (t )(11.6)Z (t ) = u (t ) − 1 .2Тогда из (11.5) получимa 2 + 2a1′(11.7)u′(t ) = −u 2 (t ) + R(t ); R(t ) = 1− a2 .4Если R(t ) = const = R0 , то переменные разделяются и мы имеемdu= dtR0 − u 2илиu (t ) = R0 ⋅271− e−2 R0 t1+ e−2 R0 t(11.8)Тогда, согласно (11.3) и (11.6), получим−2 R0 ty′(t )1− e= R0 ⋅−2y (t )1+ eR0 t−a1 (t )= q (t ) .2(11.9)Откудаty (t ) = y (t0 )e∫ q (τ ) dτt0.(11.10)п.12.

Общая теория однородных линейных системобыкновенных дифференциальных уравнений.Линейная однородная системаn / yi (t ) = ∑ aik (t ) yi (t ), i ∈ [1, n ] , t ∈ [t0 , t0 + T ] ,k =1 y (t ) = y 0 .i i 0(12.1) y1  Если обозначить матрицу Aˆ = {aik (t )} , а y (t ) = ...  , то задача Коши  yn ˆ (t ), t ∈ [t , t + T ] y (t ) = Ay0 0,(12.2)0 y (t0 ) = yL( y ) ≡ y′ − Ay – линейный оператор, следовательно, к нему применим принципсуперпозицииM ML  ∑ Cm( m ) y  = ∑ Cm L( ( m ) y ) .(12.3) m=1 m=1(m)Черезy – обозначаем m-ое решение, чтобы отличить от m-ой производной y ( m ) .MЕсли f (t ) = ∑ am f(m), тоm =1Т е о р е м а 12.1. ПустьMy (t ) = ∑ am( m ) y , гдеm =1(1)L ( (m) y ) = f (m) .y (t ),..., ( n ) y (t ) - "n" решений однородной системыˆ = 0.y′ − Ay(12.4)Тогда матрица (1) y1 ,..., ( n ) y1 Wˆ (t ) =  ..............

 (1)(n) yn ,..., yn удовлетворяет матричному уравнениюˆ ˆ (t ) = 0Wˆ ′(t ) − AW(12.5)и, обратно, если матрица Wˆ (t ) удовлетворяет уравнению (12.5), то ее столбцы естьвектора, являющиеся решением уравнения (12.4).28Доказательство проводится покомпонентным дифференцированием.ˆ (C - постоянныйТ е о р е м а 12.2.

Если Wˆ (t ) - решение (12.5), то y = WCˆ ˆ (Cˆ - постоянная матрица)вектор) удовлетворяет системе (12.4), а Zˆ = WCудовлетворяет матричному уравнению (12.5).Доказательство следует из принципа суперпозиций.О п р е д е л е н и е . Векторные функции (1) y (t ),... ( n ) y (t ) – линейно зависимы наинтервале τ = {t0 , t0 + T } , если ∃ ненулевой постоянный вектор C такой, что выполняетсятождествоˆ ≡ 0 при ∀t ∈τ .WC(12.6)(1)(n)Если условие (12.6) выполняется только при C ≡ 0 , то y (t ),..., y (t ) являютсялинейно независимыми.{(i )О п р е д е л е н и е .

Определителем Вронского для системы вектор- функцийy (t )}, i ∈ [1, n ] называется∆(t ) = Det Wˆ (t ) .Т е о р е м а 12.3. Если решения{ y}(k )(12.7)ˆ =0k ∈ [1, n ] однородной системы y′ − Ayлинейно зависимы на t ∈τ , то определитель Вронского ∆(t ) = 0 для ∀t ∈τ .Д о к а з а т е л ь с т в о.ˆ = 0 . Это линейно однороднаяИз линейной зависимости следует ∃C ≠ 0 такое, что WCсистема для C , следовательно, Det Wˆ = ∆(t ) = 0.Т е о р е м а 12.4. Если ∆(t ) = 0 хотя бы для одного t ∈τ , то ∆(t ) = 0 и для ∀t ∈τ , и ,следовательно,{ y} линейно зависимы на τ .(k )Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть при t = t0 ∈τ имеем ∆(t0 ) = 0. Тогда ∃C ≠ 0 , которые удовлетворяют системеуравнений Wˆ (t0 )C = 0.

Возьмем y (t ) = Wˆ (t )C . Согласно теореме 12.2 y решение задачиКошиˆ = 0 t ∈τ y′ − Ay y (t0 ) = 0.Следовательно, y ≡ 0 ∀t ∈τ по теореме единственности решения задачи Коши.ˆ = 0 для ∀t ∈τ ⇒ DetWˆ = ∆ (t ) = 0 для ∀t ∈τ .Тогда WC{ y}(k )Т е о р е м а 12.5 (альтернатива). Определитель Вронского ∆(t ) для решенияk ∈ [1, n ] однородной системы дифференциальных уравнений или ∆(t ) ≡ 0 для∀t ∈τ , что означает линейную зависимостьозначает линейную независимость{ y }.(k )29{ y },(k )или ∆(t ) ≠ 0 для ∀t ∈τ , чтоп.13. Фундаментальная система решений и общее решение для линейнойсистемы дифференциальных уравнений.О п р е д е л е н и е. Фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.) однороднойсистемы уравнений называется "n" линейно независимых решений { ( k ) y } , k ∈ [1, n ] этойсистемы, а соответственно матрица Wˆ = { (1) y , (2) y ,..., ( n ) y } называется фундаментальнойматрицей системы.Фундаментальная матрица является решением матричного уравненияˆ ˆ (t ) ,Wˆ ′(t ) = AWпричем DetWˆ ≠ 0.Т е о р е м а 13.1.

Фундаментальная матрица существует.Д о к а з а т е л ь с т в о.Решение задачи Кошиˆ ˆWˆ ′(t ) = AWt ∈τˆˆW (t0 ) = Eдает фундаментальную матрицу, т.к.∆(t0 ) = DetWˆ (t0 ) = DetEˆ ≠ 0,следовательно, по т.12.2 ∆(t ) ≠ 0 при ∀t ∈τ и решения{ y} - линейно независимы.(k )Т е о р е м а 13.2. Если Wˆ (t ) – фундаментальная матрица для однороднойˆ , где C - произвольныйсистемы, то ее общее решение представимо в виде: y (t ) = WCпостоянный вектор.Д о к а з а т е л ь с т в о.ˆ .

НадоˆСогласно т.12.2. y (t ) = WCесть решение однородной системы y′ = Ayпоказать, что мы можем удовлетворять произвольным начальным данным Кошиy (t0 ) = Wˆ (t0 )C = y 0 , т.к. DetWˆ (t0 ) ≠ 0 ⇒ ∃C для ∀y 0 .С л е д с т в и е. Решение задачи Коши для произвольных начальных данных y 0представимо в видеy (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 ,где импульсная функция Zˆ (t , t ) является решением задачи Коши0ˆ (t ), Zˆ ′(t ) = AZ Zˆ (t0 ) = Eˆ .t ∈τ ,.(13.1)Д о к а з а т е л ь с т в о.Из теоремы 12.2. следует y (t ) = Wˆ (t )C , где Wˆ (t0 )C = y 0 ⇒ C = Wˆ −1 (t0 ) y 0 ⇒ y (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 ,где30Zˆ (t , t0 ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (t0 ) .(13.2)Легко видеть, что Zˆ (t0 , t0 ) = Eˆ и Zˆ (t ) удовлетворяет (13.1).п.14.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений.Т е о р е м а 14.1. Если Wˆ (t ) – фундаментальная матрица, а (0) y (t ) – частноеˆ + f , то общее решение неоднородного уравнениярешение уравнения y′ = Ayпредставимо в виде:y (t ) = Wˆ (t )C + (0) y (t ) .(14.1)Т е о р е м а 14.2. Частное решение неоднородной системы с нулевыминачальными данными выражается через импульсную функцию в виде:t(0)y (t ) = ∫ Zˆ (t ,τ ) f (τ )dτ ,(14.2)t0а общее решение задачи Коши с условием y (t ) = y 0 представимо в видеty (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 + ∫ Zˆ (t ,τ ) f (τ )dτ .(14.3)t0Д о к а з а т е л ь с т в о.1) (14.3) получается из (14.1) и (14.2), поэтому надо доказать (14.2).2) Формула (14.2) получается вариацией постояннойy (t ) = Wˆ (t )C (t )ˆ ˆ (t )C (t ) + f ,y′(t ) = Wˆ ′(t )C (t ) + Wˆ (t )C ′(t ) = AWт.к.

Ŵ ′ = AW , то имеем Wˆ (t )C ′(t ) = f (t ) ⇒ C ′(t ) = Wˆ −1 (t ) f (t ).Т.к. y (t ) = 0 = Wˆ (t )C (t ) ⇒ C (t ) = 0 ⇒0000ttt0t0C (t ) = ∫ Wˆ −1 (τ ) f (τ )dτ ⇒ y (t ) = ∫ Wˆ (t )Wˆ −1 (τ )f (τ )dτ ,ˆ t ,τ ) .что и требовалось доказать, т.к. Wˆ (t )Wˆ −1 (τ )=Z(п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с постояннымикоэффициентами в случае некратных корней характеристическогоуравнения.ˆ с постоянными коэффициентамиЧастное решение однородной системы y′ = Ayбудем искать в виде:y (t ) = α eλ t ; α – постоянный вектор.(15.1)Тогда Aˆ − λ Eˆ α = 0.()Для того, чтобы ∃α ≠ 0 , необходимо31()M (λ ) = Det Aˆ − λ Eˆ = 0 ,(15.2)где M (λ ) – характеристический многочлен для системы.Т е о р е м а 15.1.

Характеристики

Список файлов книги