Главная » Просмотр файлов » В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180), страница 2

Файл №1060180 В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения) 2 страницаВ.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1060180) страница 22019-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

условия теоремы по y выполняются на всеминтервале t ∈ [t0 , t0 + T ] .п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравненияпервого порядка, разрешенного относительно производной.Т е о р е м а 4.1. Решение задачи Коши (3.1) при выполении условий (1) и (2)теоремы 3.1 существует в интервале t0 − h < t < t0 + h , где h = min(T , b M ) , где f ≤ Mв R.Д о к а з а т е л ь с т в о.Так как задача Коши эквивалентна интегральному уравнению (3.2), то докажем ∃решения интегрального уравнения. Будем строить решение интегрального уравненияметодом последовательных приближений.tyn (t ) = y0 + ∫ f (τ , yn−1 (τ ))dτ .(4.1)t0Легко видеть, что если yn−1 (t ) ∈ R : {t0 ≤ t ≤ t0 + T , y − y0 ≤ b} ,то и yn (t ) ∈ R , т.к.yn − y0 ≤ M t − t0 ≤ Mh ≤ b .9(4.2)Поскольку y0 ∈ R , то по методу математической индукции все yn ∈ R.

Теперьдокажем, что ∃ предел Y ( x) = lim yn ( x) .n→∞Представимnyn = y0 + ∑ ( ym − ym−1 ) .(4.3)m =1П р и з н а к В е й е р ш т р а с с а.∞∑UЕсли функциональный рядk =1сходящийся числовой ряд∞∑Ck =1kk(t ) определен на t ∈ [t0 , t0 + T ] и если существуеттакой, что для всех t ∈ [t0 , t0 + T ] и для ∀k справедливаоценкаU k (t ) ≤ Ck ,то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на [t0 , t0 + T ] .С л е д с т в и е.Если U k (t ) – непрерывная функция и ряд сходится равномерно, то предел ряда∞V (t ) = ∑U k (t ) – непрерывная функция.k =1Докажем, что ряд∞∑( ym =1m− ym−1 ) сходится, тогда∞Y ( x) = y0 + ∑ ( ym − ym−1 ) .m =1Для этого построим можарантную оценку членов ряда (4.3)ty1 − y0 =∫ f (τ , y (τ ))dτ0≤ M t − t0 ≤ Mh ,t0ty2 − y1 =∫ ( f (τ , y (τ )) − f (τ , y (τ )) ) dτ10≤(используя условия Липшица)t02t − t0h2≤ N ∫ y1 − y0 dτ ≤ NM ∫ (τ − t0 )dτ ≤ NM≤ NM22t0t0ttи т.д., получим по методу математической индукцииym − ym−1 ≤ MN∞m −1hm.m!hmсходится по признаку ДаламбераМажорантный ряд ∑ MNm!m =1UNhlim m+1 = lim= 0 < 1.m→∞ Um→∞ m + 1mm −110Следовательно,функциональный∞∑(yрядm =1m− ym−1 )сходитсяабсолютноравномерно по признаку Вейерштрасса при t − t0 ≤ h , и мы имеем пределY (t ) = lim yn (t ) ,и(4.4)n →∞причем Y (t ) – непрерывная функция.

Покажем теперь, чтоttlim ∫ f (τ , yn−1 )dτ = ∫ f (τ , Y (τ ))dτ .n →∞Таккакf (τ , yn−1 )t0такое, что при n − 1 > n0t0удовлетворяетf (t , y′) − f (t , y′′) < ε , если | y′ − y′′ |< δ =(4.5)условиям1),2)теоремы3.1,тоε(N – коэффициент Липшица). Тогда ∃ n0Nимеем из условия lim yn (t ) = Y (t ) , что yn−1 − Y ( t ) < δ . Тогдаn →∞f (t , yn−1 ) − f (t , Y ) ≤ ε (δ ) при n − 1 > n0 , причем ε (δ ) → 0 при δ → 0 .Следовательно,ttt0t0lim ∫ f (τ , yn−1 )dτ = ∫ f (τ , Y )dτ .n →∞Отсюда следует, что при n → ∞ изtyn (t ) = y0 + ∫ f (τ , yn−1 (τ )dτt0имеемtY (t ) = y0 + ∫ f (τ , Y (τ ))dτ .t0Продифференцировав, получимdY= f (t , Y (t ))dt∃Y (t ) .теорема доказана.n.5 Дифференциальное уравнение I-порядка,неразрешенное относительно производной.Теорема существования и единственности решения.УравнениеF (t , y, y′) = 0 {t , y, y′} ∈ D3 ∈ R3 .(5.1)Т е о р е м а 5.1.

Если в некотором замкнутом трехмерном параллелепипедеD3 : {t0 − h < t < t0 + h, y0 − b < y < y0 + b, y0′ − c < y′ < y0′ + c}с центром в точке (t0 , y0 , y0′ ) , где y0′ – действительный корень уравненияF (t0 , y0 , y0′ ) = 0 , выполнены условия11а) F (t , y, y′) непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными∂ F∂ Fи;производными∂ y∂ y′б)∂ F≠ 0,∂ y′ t , y , y′000то в окрестности точки t = t0 существует единственное решение y = y ( x) уравнения(5.1), удовлетваряющее начальным условиям y (t0 ) = y0 , y′(t0 ) = y0′ .Д о к а з а т е л ь с т в о.Условия а), б) дают, что в точке (t0 , y0 , y0′ ) выполнены условия ∃ и ! неявной функции y′(t ) = f (t , y ),′yf(t,y)=00 0∂ f∂ F ∂ y=−также непрерывна (это сильнее, чемпричем f – непрерывна по t , y , а∂ y∂ F ∂ y′условие Липшица по y.)Следовательно, решение ∃ и ! .Метод введения параметра.Пусть уравнение разрешено относительно y (t ) т.е.F (t , y, y′) = y (t ) − f (t , y′) = 0 ;∂ f≠ 0.∂ y′(5.2)Обозначим y′ = p (t ) (это введение параметра).

Тогда предполагая ∃ y (t ) решенияуравнения (5.2), получимdyd∂ f (t , p) ∂ f dp.= p (t ) = ( f (t , p ) ) =+dtdt∂ t∂ p dtОкончательно получаем уравнение для p (t )dp= f1 (t , p ) =dtp (t ) −∂ f (t , p)∂ t .∂ f (t , p)∂ p(5.3)Это уравнение разрешено относительно производной. Найдем его общее решениеp = p (t , c) .Тогда(5.4)y (t ) = f (t , p (t , c)) .Решение найдено. С – определено из начальных данных.Общий случай введения параметра.Уравнение (5.1). Введем y′(t ) = p (t ) ⇒ имеем(5.5)F (t , y, p ) = 0 .(5.5) определяет поверхность в пространстве (t , y, p ) . Зададим эту поверхностьпараметрически12t = T (u , v) ; y = Y (u , v) ⇒ F (T (u , v), Y (u , v), Ρ(u , v) = 0 ⇒ v = V (u ); p = Ρ(u , v).Найдем уравнение для v от u .Так как dy = pdt , то, подставив∂ Y∂ Y∂ T ∂ Tdy =du +dv; pdt = Ρ(u, v) du +dv ,∂ u∂ v∂ v ∂ uполучим∂ Y∂ Y∂ T ∂ Tdu +dv = Ρ(u , v) du +dv .∂ u∂ v∂ v ∂ uОткуда∂ T ∂ YΡ(u , v)−dvu∂∂ u.= Φ (u , v) =∂Y∂Tdu− Ρ(u , v)∂v∂vПолучили уравнение в (u , v) , которое разрешено относительно производной(5.6)dv.dun.6 Особые решения уравнения I-го порядка,неразрешенного относительно производной.Особым называется такое решение, во всех точках которого нарушаетсяединственность решения задачи Коши.Рассмотрим вначале уравнение разрешенное относительно производной y′ = f (t , y ) .Нарушение единственности будет там, где нарушаются условия теоремы ∃ и !.

Если ∂ fнеограничено, то условие Липшица не выполнено и единственность нарушена.∂ yНапример :dy=ydtРешение уравнения23;∂(y∂ y23) = 32 y−1 3= ∞ ( y = 0) .(t + c)3y=.27Функция y (t ) = 0 является особым решением.Рассмотрим общий случайF (t , y, y′) = 0 .Если бы разрешили это уравнение, то для соответствующей ветви мы могли бы∂ y′. В соответствии с правилом дифференцирования неявной функции имеемвычислить∂ y13∂ y′∂ F ∂ y=−.∂ y∂ F ∂ y′(6.1)Если ∂ F ∂ y – ограничено, то условием нарушения единственности ∂ y′ ∂ f ∂ y = ∂ y = ∞  будет∂ F=0∂ y′(6.2)Таким образом, условием (необходимым) существования особого решения есть F (t , y, y′) = 0 F (t , y, p ) = 0(6.3)или  ∂ F (t , y, p )∂ F00== ∂ y′∂ pИсключив из системы (6.3) p, получим p-дискриминантную кривую y = y (t ) , котораябудет особым решением, если y = y (t ) является решением F (t , y, y′) = 0 .П р и м е р 1.( y′ )3− y 2 = 0 ; F ( y, p ) = p 3 − y 2 ;∂ F= 3 p2∂ pСистема p3 − y 2 = 0  y = 0⇒⇒ y = 0 – особое решение. 2p = 03 p = 0П р и м е р 2.( y′ )2− ty′ + y = 0 ; F ( y, p ) = p 2 − tp + y;∂ F= 2p −t.∂ pСистема y = t2 p − tp + y = 04 ⇒ y = t2⇒ – особое420ptt−= p = 2удовлетваряет уравнению t2 t F  t, ,  = 0 . 4 22решение,таккаконоМетод получения особых решений при известном общем решении.Пусть известен общий интеграл уравнения Φ (t , y, c) = 0 .

Это семейство решений.Особое решение есть огибающая этого семейства, т.е. Φ (t , y, c) = 0 ;∂ Φ ∂ c = 0.14Исключая с, получим с-дискриминантную кривую ϕ (t , y ) = 0 . Это особое решение, т.к.функция ϕ (t , y ) = 0 является решением дифференциального уравнения и в каждой точкенарушается единственность решения.Для того, чтобы разрешить Φ (t , y, c) = 0 относительно y = y (t , c) (или t = t ( y, c)) ,∂ Φ∂ Φнеобходимо, чтобы одновременно не обращались в нольи, т.е. должно быть∂ t∂ yвыполнено условие22∂ Φ ∂ Φ + ≠ 0. ∂ t   ∂ y Однако точкиdΦ =∂ Φ ∂ Φ== 0 могут входить в огибающую, т.к.∂ t∂ y∂ Φ∂ Φ∂ Φdt +dy +dc = 0 ⇒ при∂ t∂ y∂ c∂ Φ∂ Φ∂ Φ=0 и=0 ⇒= 0.∂ t∂ y∂ cЧтобы исключить эти точки, мы должны записать условия ∃ особого решенияΦ (t , y, c) = 0 ;∂ Φ=0 ;c∂ ∂ Φ 2  ∂ Φ 2 + ≠ 0. ∂ t   ∂ y П р и м е р:( y′) 2 − ty′ + y = 0 .Общий интегралΦ (t , y, c) = y − ct + c 2 = 0 (т.к.

y = c(t − c) ) ;особое решение находим из системы y − ct + c 2 = 0 −t + 2 c = 01 + c 2 ≠ 0Откуда c =∂ Φ= −t + 2c∂ c∂ Φ∂ Φ= −c;=1∂ t∂ ytt2 t2t2t– особое решение., а c – дискретная кривая y = t − = , y =224 4415(6.4)n.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.Интегральный множитель.MN ≠ 0 всегда можно представить в видеNM (t , y )dt + N (t , y )dy = 0, N ≠ 0Уравнение y′(t ) = f (t , y ) = −Если M =(7.1)∂VdV, то (7.1) уравнение в полных дифференциалах и мы имеем,а N=∂ t∂ y∂V∂VMdt + Ndy =dt +dy = dV = 0 .(7.2)∂ t∂ yСледовательно, имеем(7.3)V (t , y ) = C .Представление (7.3) — общий интеграл уравнения (7.1).

Неявно представленоdVоднопараметрическое семейство решений. Оно разрешимо, т.к. N =≠ 0,∂ yследовательно,(7.4)y = y (t , C ) .Если мы для уравнения (7.1) имеем задачу Коши y (t = t0 ) = y0 , то C = V (t0 , y0 ) иобщее решение(7.5)V (t , y ) = V (t0 , y0 ) .Это другое определение общего решения через задачу Коши для произвольного y0 .Чтобы найти явное выражение решения (7.3) необходимо, чтобы N ≠ 0 . Если внекоторой точке N = 0 , а M ≠ 0 , то можно определить(7.6)t = t ( y, C ) .Если в некоторой точке одновременно N = 0 и M = 0 , то это особая точка.Т е о р е м а 7.1. Необходимым и достаточным условием представления∂M ∂N(еслиуравнения (7.1) в полных дифференциалах является условие=∂y∂tрешение ∃ ).1) Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.∂V∂V∂ M ∂ N ∂ 2VM=; N=⇒==.∂ t∂ y∂ y ∂ t ∂ t∂ y2) Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и.Пустьt∂V⇒ V (t , y ) = ∫ M (t , y )dt + ϕ ( y ) ⇒M=∂ tt016t∂V t ∂ M∂N⇒=∫dt + ϕ ′( y ) = ∫dt + ϕ ′( y ) ⇒∂ y t ∂ y∂tt00∂V= N (t , y ) − N (t0 , y ) + ϕ ′( y ).∂ yyВозьмем ϕ ( y ) = ∫ N (t0 , y )dy , тогда ϕ ′ ( y ) = N (t0 , y ) ⇒y0(это мы получим из∂V= N (t , y )∂ y∂V∂ M ∂ N=M и).=∂ t∂ y∂ tТеорема доказана.Общее решение можно записать в виде:tyV (t , y ) = ∫ M (t , y )dt + ∫ N (t0 , y )dy = C ,если∂ M ∂ N.=∂ y∂ tПредположим, чтоt0(7.7)y0∂ M ∂ N.

Тогда можно поставить вопрос: существует ли такая≠∂ y∂ tфункция µ (t , y ) , называемая интегрирующим множетелем, чтоµM=∂ V∂ V; µN=.∂ t∂ y(7.8)Т е о р е м а 7.2. Если уравнениеMdt + Ndy = 0имеет общий интеграл V (t , y ) = C , то это уравнение имеет интегрирующиймножитель.Д о к а з а т е л ь с т в о.Имеем∂ M ∂ NMdt + Ndy = 0;,≠∂ y∂ tа из V (t , y ) = C∂V∂Vdt +dy = 0 .∂ t∂ yОткуда имеемdyM∂V ∂ t∂V ∂ t ∂V ∂ y∂V∂V=− =−⇒ ∃ µ такое что,,µN===µ⇒µ M =⇒dtN∂V ∂ yMN∂ t∂ yуравнение µ Mdt + µ Ndy = 0 в полных дифференциалах.Число интегрирующих множителей бесконечно, т.к. если µ – интегрирующий множитель,то µ ϕ (V ) , также интегрирующий множитель:µ Mdt + µ Ndy = dV ⇒ µ ϕ (V ) Mdt + µ ϕ (V ) Ndy = ϕ (V )dV = dV1 ,17где V1 = ∫ ϕ (V )dV .Т е о р е м а 7.3.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
748,31 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее