Лекц_упр_3 (1055132), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Но обратноепреобразование в правой части уравнения (III.17) представляет собой следующийинтеграл свертки:Нормальная реакция и единичный импульс В уравнении (III.20) утверждается, что, для того чтобы определить значениевыходного сигнала у в любой момент времени t, нужно взять значения входногосигнала во все предыдущие моменты времени (t — τ) от τ=0 до τ = t, умножить ихна весовые коэффициенты G (τ ) и полученные произведения сложить. Однако изуравнения (III.19) известно, что G (τ ) равно значению реакции в момент времениt на единичный импульс, поданный на вход системы в момент времени t—τ . Всвязи с этим G (t) — нормальную реакцию системы на единичный импульс —называют весовой функцией или импульсной функцией системы, а реакциюсистемы на произвольное входное воздействие F (t) можно вычислять через этуфункцию. Так, произвольное входное воздействие можно представить в видепоследовательности импульсов соответствующей амплитуды.

Каждый из этихимпульсов вызывает соответствующую реакцию KG(t— τ ), где К—амплитудаконкретного импульса, и каждую из этих реакций можно рассматривать поотдельности, как будто бы на систему не действуют никакие другие возмущения. В этом случае действительное значение у(t) в любой момент времени являетсясуммой значений реакций в этот момент времени на различные импульсы,пришедшие на вход системы в прошлом.

Именно это и утверждается в уравненииРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)Нормальная реакция и единичный импульсЭто уравнение, следовательно, можно рассматривать как выражение принципасуперпозиции, справедливого для линейных систем. В частности, еслиF (t)— единичная ступенчатая функция, то F (t—τ)=1, и из уравнения (III.20)следует, чтот.

е. что реакция системы на такое входное воздействие описывается простонапросто интегралом от весовой функции.Приведенная выше формула широко используется в биологии при изучениигемодинамики методом разведения, так как она показывает, что кривая,получаемая при непрерывном введении (ступенчатое возмущение), являетсяпросто-напросто интегралом такой же кривой, полученной при однократнойинъекции (импульсное возмущение).РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)Решение дифференциальных уравнений с помощьювычислительных устройствХотя решать уравнение (III.1) для любого п можно и аналитически, как описановыше, однако с увеличением п аналитические методы становятсямалопрактичными.В обоих аналитических методах требуется решать алгебраическиехарактеристические уравнения n-го порядка.

Для уравнений 3-го и 4-го порядковобщие методы отыскания корней известны, но они довольно трудоемки. Длярешения же уравнений 5-го или более высокого порядка общих методов решениянет. Такие линейные дифференциальные уравнения высшего порядка, а такжесистемы таких уравнений с несколькими зависимыми переменными инелинейные уравнения, для которых общих аналитических методов решения несуществует, решают с помощью вычислительных устройств.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)Решение дифференциальных уравнений с помощьювычислительных устройствДля решения уравнения (III.1) можно воспользоваться либо цифровыми,либо операционными аналоговыми вычислительными устройствами.Вычислительные устройства первого типа используют цифровые илиитеративные методы решения, в которых задача интегрирования сводится карифметической.

Эти же методы можно применить и для расчетов вручную,без помощи машины, однако в связи с большим числом необходимыхарифметических операций такие методы оказываются недопустимотрудоемкими и медленными.Преимущество цифрового вычислительного устройства заключается в том,что оно может выполнять эти операции чрезвычайно быстро.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)РезюмеЗаконы поведения линейных физических систем со сосредоточеннымипараметрами, с которыми мы будем иметь дело, выражаются в формелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами.Эти уравнения можно решать аналитически либо классическим методом,либо методом преобразований Лапласа.Последний имеет некоторое преимущество, поскольку в нем влияниеначальных условий выясняется «автоматически» и он позволяет описыватьлинейные системы с помощью передаточных функций.В обоих методах требуется решать алгебраическое уравнение того жепорядка, что и порядок дифференциального уравнения.Вид корней этого характеристического уравнения определяет характеррешения соответствующего однородного уравнения, а следовательно, иустойчивость системы.Для систем высокого порядка отыскание этих корней без примененияцифровых или аналоговых вычислительных устройств становитсяпрактически невозможным.В гл.

IV мы воспользуемся развитым здесь математическим аппаратом дляболее детального изучения физических систем,с которымимыпознакомились в гл. II..

Характеристики

Список файлов лекций