Лекц_упр_4 (1055133)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4.Переходные процессы в физическихсистемахЛ01-упрЛекция № 4Переходные процессы в физических системах Переходные процессы в системе первого порядка Переходные процессы в системе второго порядка Случай 1. Случай 2. Случай 3. Случай 4.Гармонический осциллятор (ζ = 0).Недодемпфированная система(0< ζ <1).Система с критическим демпфированием (ζ=1).Передемпфированная система (ζ > 1) Влияние обратной связи Пропорционально-дифференциальное управление Пропорционально-интегральное управление Системы высшего порядка РезюмеПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ФИЗИЧЕСКИХСИСТЕМАХ Обычно для выяснения поведения систем используются два стандартныхвходных воздействия. Первое из них—апериодическая ступенчатая функция,с которой мы уже сталкивались в гл. II. Изучение поведения системы под воздействием такого входного сигналаполучило название анализа переходных процессов, так как именнопереходный режим работы системы представляет здесь наибольший интерес. Установившаяся реакция системы в этом случае всегда постоянна, и хотязначение этой реакции позволяет определить статический коэффициентусиления и установить наличие или отсутствие установившейсяпогрешности, оно ничего не говорит о динамических свойствах системы. В качестве второго стандартного входного воздействия используетсяпериодическая синусоидальная функция.

Изучение поведения систем,находящихся под действием таких входных сигналов, называетсячастотным анализом. В процессе частотного анализа исследуется установившаяся реакциясистемы, поскольку здесь рассматривается лишь вынужденное движениесистемы.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАЕсли для простоты воспользоваться символом ý для обозначения dy/dt, тоуравнение рассмотренной ранее системы первого порядка можно записать вследующем виде:где F — постоянная. Решая уравнение (IV.1) классическим методом,получим, чтогде Cert — решение соответствующего однородного уравнения (или переходныйпроцесс), а ур — частный интеграл (или вынужденное движение).

Для тогочтобы вычислить r, решим алгебраическое характеристическое уравнениеи получим r= —1/τ. Поскольку τ положительно, мы сразу заключаем, чтосвободное движение имеет вид затухающей экспоненты с постояннойвремени τ. Для вычисления ур воспользуемся табл. 2, и, поскольку внешнеевоздействие F/K постоянно, мы принимаем, что ур=В, т.

е. постоянно. ОтсюдаВ=0, и на основании уравнения (IV.1) получим, чтоПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАТаблица 2ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАоткуда ур=F/K. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения(IV.1) имеет видилигде yss≡F/K — установившееся значение у.

Остается только получитьчастное решение, вычислив соответствующее значение произвольнойпостоянной С. Для этого мы зададим начальные условия для у, напримерпредположим, что у=у0 при t = 0. Поскольку e-t/τ=1 при t=О, уравнение (IV.6)в этом случае принимает видоткуда С=y0—yss. Таким образом, искомое частное решение имеет видПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАОтметим, что формула (IV.8) описывает реакцию на сигнал, который такжеявляется ступенчатым, но в несколько более широком смысле, чем мы принималивыше. В ступенчатом возмущении существенно, что оно имеет одно постоянноезначение при t<0 и другое постоянное значение при t>0. Первое из нихнеобязательно равно нулю и может быть любым положительным илиотрицательным числом.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАНа фиг. 28 показан график выражения (IV.8) для случая у0 < yss, а на фиг.

29 —для случая у0 > yssФиг. 28. Реакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие (ys >у0>0).Фиг. 29. Реакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие (ys <у0>0).ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАМы можем описать все реакции системы первого порядка на ступенчатоевоздействие с помощью единственной безразмерной кривой, преобразовавуравнение (IV.8) к следующему видуПоскольку и числитель и знаменатель левой части уравнения (IV.9) имеютодинаковую размерность (в рассматриваемом случае это—линейное смещение),их отношение безразмерно.Это отношение описывает относительную величину изменения координатысистемы по сравнению с величиной необходимого полного изменения.Размерность t и τ также одинакова, так что их отношение тоже безразмерно.Поэтому на фиг. 30, где построен график зависимости (у—yss)/y0—yss) от t/τ,параметры, отложенные по обеим осям, безразмерны и всем реакциям системы наскачкообразные воздействия соответствует одна единственная кривая.По этой единственной безразмерной кривой легко восстановить вид реакции вестественных координатах для любых частных значений τ , y0 и yss.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАЕсли теперь прологарифмировать обе частиуравнения (IV.9), то получимФиг.

30. Приведеннаяреакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие.Это значит, что график зависимостиIn[(у—yss)/(y0—yss)] от t представляет собойпрямую, тангенс угла наклона которой равен1/τ.Это позволяет решать обратную задачу, т. е.определять величину τ по зарегистрированнойреакции системы на ступенчатое воздействие.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАДля того чтобы решить уравнение (IV.1) методом преобразований Лапласа,нужно вычислить изображение обеих частей этого уравнения.При этом вспомним, что в соответствии с формулой (III.10) &(τý)=τsy(s)—τу0 и что &у(t)=у(s).Наконец, из таблицы преобразований известно, что &А, где А — любаяпостоянная, равно A/s,Поскольку правая часть уравнения (IV.1) постоянна и равна F/K≡yss,очевидно, что &F/K=(F/K)/s = —yss/s. Отсюда изображение уравнения (IV.1)имеет следующий вид:а после группировки членов, содержащих у (s),Разделим теперь обе части предшествующего уравнения на (τs+1) иприведем члены в правой части к общему знаменателю:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАПрежде чем переходить к разложению правой части выражения (IV.

13) напростейшие дроби, разделим ее числитель и знаменатель на τ:Корнями характеристического уравнения s(s+ 1/τ) = О, очевидно, являются 0 и—1/τ , так что в результате разложения правой части на простейшие дробиполучим, чтоНаконец, вычисляя обратное преобразование Лапласа, получим решениеуравнения (IV.1) в том же виде (IV.8), что и раньше:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕОтметим, что при использовании преобразований Лапласа начальные условиявошли в процесс решенияПЕРВОГОавтоматически.ПОРЯДКАКак уже отмечалось выше, полюсами функции в правой части (IV.14) являются 0и —1/τ .Появление первого из них связано с видом внешнего воздействия иобеспечивает появление постоянного слагаемого в решении уравнения (IV.1) вовременной области.Второй полюс является полюсом передаточной функции [1/( τs+)] и определяетпоявление затухающей экспоненты (переходного процесса) в формуле длярешения.Используя понятие передаточной функции, введенное в гл. II и III, мы можемпереписать уравнение(IV.13) в следующем виде:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАПоложив ÿ=d2y/dt2, ý=dy/dt и yss=F/K (постоянная), мы можем переписатьуравнение рассмотренной ранее системы второго порядка в следующем виде:Решение уравнения (IV.18) либо классическим методом, либо методомпреобразований Лапласа требует определения корней следующегохарактеристического уравнения:Используя известныеполучим, чтоформулыдлякорнейквадратного уравнения,ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАЕсли вспомнить теперь то, что говорилось об устойчивости в гл.

III, тостановится очевидным, что характер решения зависит от значения коэффициентазатухания ζ так как именно его значение определяет, являются ли эти корнисопряженными мнимыми (ζ=0), сопряженными комплексными (0<ζ<1),действительными и равными (ζ=1) или действительными и разными (ζ>1).Если корни уравнения (IV.19) различны, то общее решение уравнения (IV.18),полученное классическим методом, имеет следующий вид:Если же они равны (что возможно только при (ζ=1)), то общее решениеуравнения (IV.

18) выглядит следующим образом:Для того чтобы вычислить C1 и С2 для уравнения (IV.22), зададим дваначальных условия у = у0 и у=0 в момент t=0. Тогда уравнение (IV.22) для этогомомента примет вид:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАа дифференцирование уравнения (IV. 22) по t позволит получить еще одноусловиекоторое при ζ=0 примет видРешая систему уравнений (IV.24) и (IV.26), определим значения C1 и С2:Подстановка этих выражений в формулу (IV.22) позволяет получить выражениедля частного решенияПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАКак и раньше, уравнение (IV.29) можно разрешить относительно безразмернойпеременной (у—yss)/(y0—yss ):Для того чтобы определить значения С3 и С4 из уравнения (IV.23), мы зададим теже начальные условия.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций