Лекц_упр_3 (1055132)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3.Математический аппаратисследования линейных физическихсистем с сосредоточеннымипараметрамиЛ01-упрЛекция № 3Математический аппарат исследования линейныхфизических систем с сосредоточеннымипараметрамиОбщий вид закона поведения системыПолучение дифференциального уравненияОсновные входные сигналы, или возмущающие воздействияРешение дифференциального уравнения (III. 1) Классический метод Метод преобразований Лапласа Решение уравнения свободного движения и устойчивость Нормальная реакция и единичный импульс Решение дифференциальных уравнений с помощьювычислительных устройств РезюмеОБЩИЙ ВИД ЗАКОНА ПОВЕДЕНИЯСИСТЕМЫВсе физические системы, рассмотренные в гл.

II, принадлежат к классу систем,описываемых общим выражением следующего типа:где F (t) — входной сигнал (или внешнее воздействие) системы, у — выходнойсигнал (или реакция) системы, t — время, а аi — некоторые постоянные. Уравнение(III.1) называют обыкновенным линейным неоднороднымдифференциальнымуравнениемn-гопорядкаспостояннымикоэффициентами.Это уравнение является дифференциальным, поскольку в нем имеютсяпроизводные неизвестной функции;оно линейно, так как ни в одном из его членов нет неизвестной функции илиее производных в степени, отличной от первой, а также произведенияпроизводных неизвестной функции;уравнение называется обыкновенным, так как в нем только одна независимаяпеременная t;оно неоднородно, так как выражение в правой части отлично от нуля иотличается от всех остальных членов уравнения тем, что не содержитнеизвестной функции у или ее производных;это уравнение n-го порядка, так как старшая производная у в нем п-я; егокоэффициенты а постоянны, поскольку все они не зависят от t.ОБЩИЙ ВИД ЗАКОНА ПОВЕДЕНИЯСИСТЕМЫСамое важное из всех перечисленных свойств этого уравнения — еголинейность.Хотялишьнезначительная часть общего числа дифференциальныхуравнений относится к линейным, это единственный класс уравнений, длякоторых построена исчерпывающая аналитическая теория и для которыхможно получить общее аналитическое решение.Поэтому весьма удачно, что многие физические системы достаточно близкик линейным для того, чтобы их можно было описывать с удовлетворительнойточностью линейными дифференциальными уравнениями.ОБЩИЙ ВИД ЗАКОНА ПОВЕДЕНИЯСИСТЕМЫПонятие обыкновенного дифференциального уравнения также заслуживаетдополнительного разъяснения.

В уравнении (III.1) в неявном видепредполагается, что описываемые им свойства сконцентрированы в однойточке пространства, так что значение у зависит только от одной координаты— времени, и не зависит от пространственных координат. Такие системыназывают системами с сосредоточенными параметрами.Им противопоставляются системы с распределенными параметрами. Уэтих систем свойства распределены в пространстве на расстояния,существенные по сравнению со скоростью передачи энергии в системе(примером может служить длинная электрическая или пневматическая линияпередачи).В таких системах у меняется не только во времени, но и в пространстве, такчто система должна описываться уравнениями в частных производных, вкоторых независимыми переменными являются как временная, так ипространственная координаты. В настоящем курсе системы сраспределенными параметрами не рассматриваются.ПОЛУЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ Как мы видели в гл.

II, дифференциальное уравнениекакой-либо конкретной системы обычно можно получить,исходя из нескольких относительно простых физическихпринципов. С увеличением числа элементов и размеров системы этотпроцесс становится все более сложным, но общиепринципы при этом не меняются.ОСНОВНЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ,ИЛИ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ Хотя F (t) из уравнения (III.1) может быть, вообще говоря, произвольнойфункцией времени, в задачах анализа и синтеза систем автоматическогорегулирования используются обычно определенные стандартные входныесигналы. Первым из них является импульс единичной мощности, которыйиногда называют дельта-функцией Дирака. Он определяется как предел, ккоторому стремится импульс величины 1/а и длительности а при а→0 (фиг.20, А).Фиг.

20. Виды стандартных сигналов.А — импульс единичной мощности; Б — единичная ступенчатая функция; В —единичная линейно возрастающая функция.ОСНОВНЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ,ИЛИ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯВторым стандартным сигналом является единичная ступенчатаяфункция, называемая иногда еще единичной функцией Хевисайда в честьанглийского инженера-электрика, который ввел ее в повседневную практику.Эта функция равна нулю для t < 0 и единице при t ≥ 0 (фиг.

20, Б).ОСНОВНЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ,ИЛИ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯВ качестве третьей стандартной входной функции можно указать наединичную линейно возрастающую функцию, представляющую собой сигнал,прямо пропорциональный времени, с коэффициентом пропорциональности,равным единице (фиг. 20, В).Все эти три стандартных входных сигнала используются при анализе такназываемых переходных процессов, которые подробно рассматриваются в гл.IV.Заметим, что эти сигналы связаны между собой; например, линейновозрастающий сигнал представляет собой интеграл от ступенчатого сигнала,а последний в свою очередь является интегралом единичного импульса.ОСНОВНЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ,ИЛИ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯФиг.

21. Синусоида с единичной амплитудой.В качестве четвертого стандартного входного сигнала выбирается синусоидас единичной амплитудой, т. е. F (t) = sin (ωt) (фиг. 21).Этотсигналшироко используется в задачах частотного анализа,рассматриваемых в гл. V.Амплитуда всех стандартных функций для удобства была выбрана равнойединице, но, вообще говоря, ей можно приписывать произвольное нужноенам значение.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1) Как отмечалось в гл. II, решение уравнения (III.1) должно представлять собойнекоторую функциональную зависимость у (t) между зависимой переменной уи независимой переменной t, не содержащую производных у по t. Такая зависимость неявным образом связывает между собой входной сигналсистемы F(t) и выходной сигнал у(t) через общую для них независимуюпеременную t. Вообще говоря, уравнению (III.1) удовлетворяет много различных функций у(t), и, следовательно, у него существует много различных решений.

Общимрешением этого уравнения называется такое решение, из которого можнополучить все остальные возможные решения (называемые частнымирешениями) подходящим выбором значений произвольных постоянных,входящих в общее решение. Рассмотрим теперь два метода отыскания таких решений.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический методРешение уравнения (III.1) классическим методом начинается с того, что общеерешение у (t) представляется в виде суммы двух слагаемых ус(t) и ур(t):Принятые для этих слагаемых названия меняются в зависимости от того, ктоговорит о них — математик или специалист по автоматике.

Первый называет ихсоответственно общим решением соответствующего однородного уравненияи частным интегралом, а второй — переходным процессом (или свободнымдвижением) и вынужденным движением или реакцией системы.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод Итак, ус(t)—общее решение однородного (без правой части) уравнения,получающегося из уравнения (III.1) в результате замены F(t) на нуль:Общее решение уравнения (III.З) представляет собой сумму экспоненциальныхчленов:где С1 С2, ..., Сп — произвольные постоянные, а r1,r2………,rn — n различныхкорней алгебраического характеристического уравнения, получающегося изуравнения (III.3) в результате замены у и его производных на возрастающиестепени r (т.

е. в результате замены у на r0, dy/dt — на r1, d2y/dt2 —на r2 и т. д.):РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод Если некоторые из корней уравнения (III.5) равны между собой (скажем, киз п корней равны r1), то для каждой такой группы равных корнейуравнение (III.4) будет содержать видоизмененный член следующеговида:Вторая составляющая общего решения уравнения (III.I), yp(t), представляетсобой любое частное решение этого уравнения.Известны вполне общие методы нахождения ур(t), справедливые для F(t)произвольного вида (например, метод вариации произвольных параметров). Однако в большинстве практически интересных случаев F(t) оказываетсясуммой нескольких слагаемых следующего типа: постоянной, положительныхцелых степеней t (т.

е. tn), экспонент с вещественными показателямистепени (tkt) или синусоид.В таких случаях для отыскания yp(t) лучше всего применить методнеопределенных коэффициентов.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод При таком подходе заранее предполагается, что ур(t)соответствующий виду F(t) (табл. 2).Таблица 2имеетвид,* Если общее решение однородного уравнения также содержит слагаемые типаyp(t), то вместо yp(t), указанных в таблице, нужно пользоваться частнымрешением ty0(t)..РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод Затем мы подставляем выбранное таким образом выражение для ур (t) и егопроизводные в исходное уравнение (III.1) и вычисляем значения постоянныхВ.

После этого мы уже можем записать общее решение уравнения (III.1)где предполагается, что все п корней характеристического уравнения (III.5)различны и что вид и значение постоянных для ур (t) были определены так, какописано выше.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод Заключительный этап решения любой конкретной задачи состоит вопределении значений произвольных постоянных С из уравнения (III.7).Поскольку таких постоянных у нас п, для определения их значенийнеобходимо иметь систему из п уравнений. Для получения такой системы зададим п начальных условий для у(t) и егопроизводных, например, потребуем, чтобы у=у0, dy/dt=(dy/dt)0, . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций