Лекц_упр_3 (1055132), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . + + a1s+1 ≡ anQ(s) = 0. Единственная разница между двумярешениями заключается в том, что в решении, построенном с помощьюпреобразований Лапласа, произвольные постоянные С будут ужепредставлены в виде некоторых функций от начальных условий. Знаменательпередаточной функции, совпадающий с точностью до обозначений (s вместоr) с левой частью характеристического уравнения (III.5), называетсяхарактеристическим полиномом системы. Тогда очевидно, что корнихарактеристического уравнения — это «нули» характеристического полиномаи «особые точки», или «полюсы», передаточной функции.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Остановимся еще, наконец, на интересной связи между нормальной реакциейсистемы на импульс единичной мощности δ(t) и поведением невозмущеннойсистемы.

Прежде всего, отметим, что преобразование Лапласа от δ(t) равноединице. Поэтому, очевидно, что правая часть уравнения (III.14) оказываетсяодной и той же в следующих двух случаях: 1) F (s) = & δ(t) при нулевых начальных условиях и 2) F (s) = 0 и все начальные условия нулевые, кромеусловияn-1n-1n(d y/dt )0 =1/a . Таким образом, нормальная реакция системы п-го порядка на единичныйимпульс совпадает с поведением невозмущенной системы, координатакоторой вместе со всеми своими производными, кроме (п — 1)-й, в начальныймомент времени равна нулю, а (п—1)-я производная равна 1/ап. Более того, становится ясным, что реакция системы на единичный импульс спроизвольными начальными условиями совпадает с невозмущеннымповедением системы, у которой почти все начальные условия такие же, как и впредыдущем случае, и только начальное условие для (п—1)-й производнойотличается на 1/ап. Все эти соображения связаны с вопросом об устойчивости систем, кобсуждению которого мы и переходим.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость Один из важнейших вопросов, волнующих инженеров, связан с выяснениемустойчивости системы.

Система называется устойчивой, если ее выходнойсигнал при отсутствии входного всегда возвращается к нулю. Если на вход такой системы подается сигнал конечной длительности(например, один импульс), то ее выходной сигнал также будет иметь, вопределенном смысле, конечную длительность, а именно при t→∞этотвыходной сигнал будет спадать до нуля, так что при достаточно большом t онбудет пренебрежимо мал. Если же импульсное воздействие подать на вход неустойчивой системы, то,наоборот, выходной сигнал при сколь угодно больших t будет либо сохранятьнекоторое постоянное значение, отличное от нуля, либо непрерывноколебаться с постоянной амплитудой, либо даже неограниченно возрастать (сколебаниями или без них) до тех пор, пока это не приведет к выходу системыиз строя. В связи с этим становится ясно, почему инженеры стремятся к тому, чтобыконструируемые ими системы были устойчивыми.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость На языке математики условия устойчивости системы формулируются крайнепросто: система устойчива, если общее решение соответствующего ей однородногоуравнения, т.е.

уравнения свободного движения (III.3), имеет характерпереходного процесса, т.е. если решение этого однородного уравнениядействительно оказывается затухающим. Как уже отмечалось, решение,соответствующее свободному движению, можно рассматривать как реакциюна некоторый сигнал конечной длительности, например на импульс. Но решение однородного уравнения будет иметь характер переходногопроцесса только в том случае, когда все корни характеристическогоуравнения {т. е. все полюсы передаточной функции) имеют отрицательныевещественные части. Посмотрим, как можно прийти к такому выводуРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость Мы уже описали вид решения однородного уравнения в формулах (III.4) и(III.6) и установили связь этих решений с корнями характеристическогоуравнения (III.5). Вообще говоря, эти корни, или нули, могут бытьвещественными, чисто мнимыми или комплексными числами, причемпоследние охватывают остальные два типа как частные случаи.

Поэтомунапомним, что комплексным числом s называется числогде вещественное число α называется его вещественной частью,вещественное число ω — его мнимой частью, a i≡(—1)1/2 . Если ω=0, тоs=α, т. е. вещественному числу; если α= 0, то s=iω, т. е. чисто мнимомучислу; если же α=0 и ω=0, то и s=0.Выясним, как выглядят различные члены решения однородного уравнениядля различных типов корней характеристического уравнения.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость На каждый однократный (встречающийся только один раз) вещественныйкорень, скажем α1, в выражении для решения однородного уравненияприходится один член типа затухающей экспоненты, Се-α1t если этот кореньотрицателен, один член типа возрастающей экспоненты, Сеα1t, если этоткорень положителен, или некоторая постоянная Ce0t=С, если этот кореньравен нулю.

Только первый из этих трех случаев соответствует переходномупроцессу. Чисто мнимые корни всегда встречаются сопряженными парами, т. е. ± iω. Накаждую такую однократную пару, скажем ± iω1, в выражении для решенияоднородного уравнения приходится пара членов С помощью методов, которые не обязательно здесь рассматривать, можнопоказать, что такой паре экспоненциальных членов с чисто мнимымипоказателями соответствуют гармонические колебания с постояннойамплитудой и постоянной угловой частотой Acos ω1t или Asin ω1t. Таким образом, наличие чисто мнимых корней приводит к появлению вформуле для свободного движения колебательных членов с постояннойамплитудой. Такие члены не могут описывать переходный процессРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость Комплексные корни также встречаются только сопряженными парами видаα±iω .

На каждую такую однократную пару, скажем α1± iω1 в выражении длярешения однородного уравнения приходится пара членов видаЕсли вынести за скобку общий для этих двух слагаемых множитель еα1t, тополучим выражение,характер которого очевиден.Действительно, нам уже известно, что выражение в скобках соответствуетгармоническому колебанию с постоянной амплитудой и что е-α1t— затухающаяэкспонента, если α1 отрицательно, и возрастающая экспонента, если α1положительно.Отсюда, вычисляя произведения этих двух множителей, получим, что каждойоднократной паре комплексно-сопряженных корней соответствует гармоническоеколебание с угловой частотой ω1 и амплитудой, возрастающей поэкспоненциальному закону, если α1 положительно, и убывающей поэкспоненциальному закону, если α1 отрицательно.Последний случай соответствует переходному процессу,РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость Наконец, нам осталось еще рассмотреть влияние повторяющихся (равных, или«кратных») корней. Ключ к исследованию этого случая содержится в выражении длявидоизмененного экспоненциального члена из уравнения (III.6). В соответствии с этим уравнением для каждого кратного корня, скажем r1соответствующий экспоненциальный член в выражении для решенияоднородногоуравнениянужноумножитьнакоэффициент(C1+C2t+……… + Ck tk+1), где к — кратность этого корня. С точки зрения анализа устойчивости важно только одно: наличие кратногокорня в нуле приводит к появлению возрастающих членов (C2t + .

. + Cktk-1), аналичие кратных чисто мнимых корней — к появлению колебаний свозрастающей амплитудой. Случай кратных отрицательных вещественных корней или случай кратныхкомплексных корней с отрицательными вещественными частями по-прежнемусоответствует наличию переходного процесса, так как можно показать, что lim tke-αt = 0. t →∞РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Решение уравнения свободного движения и устойчивость В табл. 3 перечислены различные типы членов, встречающихся в решенииоднородного уравнения для корней характеристического уравненияразличного типа. В среднем столбце этой таблицы графически показано положение корнейхарактеристического уравнения на плоскости комплексных чисел, илиs-плоскости. На этой плоскости комплексные числа изображаются в прямоугольнойсистеме координат, в которой вещественные числа откладываются погоризонтальной оси, а мнимые — по вертикальной. Используя понятие s-плоскости, мы можем сказать, что все корнихарактеристического уравнения некоторой устойчивой системы лежатслева от оси мнимых чисел, т.

е. в левой полуплоскости. В последующих главах мы будем пользоваться понятием s-плоскости оченьчасто.Решение уравнения свободного движения и устойчивостьРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)Нормальная реакция и единичный импульс Нормальная реакция линейной системы на произвольное входное воздействиеинтересным образом связана с реакцией этой же системы на единичныйимпульс. В терминах преобразования Лапласа нормальная реакция напроизвольное входное воздействие F (t) описывается следующим уравнением:y(s) = G(s)F(s)и(III.16)Iy(t) =&-1(G(s)F(s)].(III. 17)В частности, если F (t) — единичный импульс, то F (s)=— 1 иy(s) = G(s)(III .18)y(t) = &-1G(s).(III .19)Таким образом, обратное преобразование Лапласа передаточной функции G(s)представляет собой реакцию системы на единичный импульс.

Характеристики

Список файлов лекций