Лекц_упр_3 (1055132), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

., dn-1y/dtn1=(dn-1y/dtn-1 ) при t= 0. Формула (III.7), справедливая в момент t =0, дает нам0первое из уравнений системы, а дифференцируя ее (п—1) раз по t, мыполучим и остальные уравнения системы для определения значенийпроизвольных постоянных общего решения. На этом решение уравненияклассическим методом заканчивается. Отметим, что нам потребовалось решить при этом алгебраическое уравнениеп-го порядка и что полученное решение довольно сложным образом зависитот начальных условий.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа В современной инженерной практике линейные дифференциальные уравнениячаще всего решают одним из так называемых операционных методов (Фурье,Лапласа или Хевисайда).

В частности, метод преобразований Лапласа сталнеотъемлемой частью теории автоматического регулирования. Когда требуется решить одно дифференциальное уравнение п-го порядка спостоянными коэффициентами, у этого метода нет никаких конкретныхпреимуществ перед классическим методом (скажем, оба эти метода требуютрешения алгебраического уравнения п-го порядка), но для решения системуравнений с несколькими зависимыми переменными он значительно удобнее. Кроме того, поскольку этот метод позволяет выделить отдельный член,учитывающий влияние начальных условий, он дает возможность подойти канализу и синтезу систем, используя понятие передаточной функции.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа В основных чертах решение линейного обыкновенного дифференциальногоуравнения методом преобразований Лапласа состоит в том, чтодифференциальное уравнение с вещественной независимой переменной tпреобразуют в алгебраическое уравнение с комплексной независимойпеременной s (прямое преобразование Лапласа & ), затем решают полученноеалгебраическое уравнение и, наконец, преобразуют полученное решениевновь во временную область (обратное преобразование Лапласа &-1 ). На практике как прямое, так и обратное преобразование Лапласаосуществляется с помощью специальных таблиц для операций и функций.

Мыне будем пытаться подробно излагать здесь теорию этого метода, а простопокажем, как его можно применять, и отметим некоторые его полезные черты. Возвращаясь вновь к уравнению (III.1), начнем с того, что вычислимпреобразования Лапласа от обеих частей этого уравнения, что символическиможно записать следующим образом:РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований ЛапласаСвойство линейности преобразования Лапласа позволяет переписать уравнение(III.8) в следующем виде:Затем из таблиц преобразований Лапласа для операций найдем, чтогде через у0 и его производные обозначены начальные условия при t=0.Например, если п — 3, тоРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований ЛапласаПодставляя выражение (III.10) в уравнение (III.9), объединяя члены, содержащие&{у), выделяя в отдельную группу члены, зависящие от начальных условий (bi), ивводя новые обозначения [&(у)≡у(s); &F(t)=F(s)], после необходимыхпреобразований получим, чтоРешая уравнение (III.12) относительно y(s), получаемРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Наконец, если вычислить обратные преобразования Лапласа от обеих частейуравнения (III.13), то это завершит полностью решение поставленной задачи,в том числе и учет влияния начальных условий.

Однако, прежде чемпытаться сделать это, исследуем уравнение (III.13) более внимательно, таккак это поможет понять, почему метод преобразований Лапласа стал такпопулярен среди инженеров-автоматчиков.В соответствии с уравнением (III.13) преобразование выходного сигнала у (s)равно произведению двух сомножителей. Первый из них инженеры называютпередаточной функцией системы, а второй — входной функцией.В передаточной функции содержится вся необходимая информация осистеме; входная функция содержит всю необходимую информацию овоздействиях на систему, в том числе о преобразовании внешнего воздействияи о преобразовании функции влияния начальных условий (начальныевозмущения). Если все начальные условия равны нулю, то произведениепередаточной функции и преобразования входного сигнала определяетпреобразование нормальной реакции системы, т.

е. реакции системы,находившейся в состоянии покоя, на внешнее воздействие F (s).РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Теперь должно быть очевидным, что если в уравнениях (II.8) и (II.15)положить, что у в действительности равно у(s), что F в действительностиравно F(s) и что все начальные условия равны нулю, то окажется, чтоиспользованная при выводе этих уравнений система обозначений равнозначнаиспользованиюпрямогопреобразованияЛапласаисходныхдифференциальных уравнений (II.5) и (II.3). В теории автоматического регулирования обычно интересуются именнонормальной реакцией системы, а это позволяет весьма эффективнопользоваться схемным методом представления систем.

Так, если F(s) естьпреобразование внешнего воздействия, G(s) — передаточная функциясистемы, а у(s) — преобразование ее выходного сигнала, то принципиальнаясхема такой системы будет иметь вид, показанный на фиг. 22, гдеy{s)=G (s) F (s).Фиг. 22. Блок-схема в символах преобразования Лапласа.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Такой метод представления позволяет без всякого труда исследоватьболее сложные системы, составленные из нескольких звеньев.Рассмотрим, например, последовательное соединение двух систем (фиг.23). Легко показать, что в этом случае у2(s) = G1(s) G2(s)F(s).Фиг. 23.

Последовательное соединениеПри параллельном соединенииy3(s)=G1(s)+G2(s)+F(s).двухсистем(фиг.Фиг. 24. Параллельное соединение.24)очевидно,чтоРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Наконец, для системы с обратной связью (фиг. 25) должно быть ясным, чтопередаточная функция разомкнутой системы — у0(s)/ye(s) — равна G1(s)G2(s),передаточная функция замкнутой системы — y0(s)yi(s) — равнаG1(s)G2(s)/[1+G1(s)G2(s)], a передаточная функция для сигнала ошибки —уе(s)yi(s) — равна 1/[1+G1(s)G2(s) ].Фиг. 25. Система с обратной связью.Отмеченные свойства передаточных функций делают их весьма удобнымсредством описания систем, содержащих много звеньев, соединенных междусобой различным образом.

Подробнее этот вопрос будет рассмотрен позднее, асейчас вернемся к задаче вычисления обратного преобразования Лапласа длявыражения (III.13).РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований ЛапласаСимволически эту операцию можно представить следующим образом:Отметим прежде всего, что знаменатель передаточной функции всегда будеталгебраической функцией s. To же самое относится и к возмущающемувоздействию при условии, что F(t) может быть только такой, какая встречается втабл. 2.Поэтому правая часть уравнения (III.14) всегда будет алгебраической функциейs, которую можно преобразовывать, как и всякую другую алгебраическуюфункцию.

Цель таких преобразований заключается в настоящем случае в том,чтобы свести ее к такому стандартному виду, для которого обратноепреобразование во временную область известно. Существуют различные способыдостижения этой цели, но мы расскажем здесь только об одном наиболее общемиз них. Этот метод опирается на следующие факты:РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа 1. Функция у(s) ,для которой нужно вычислить обратное преобразование,всегда может быть представлена в виде неприводимой рациональной,правильной дроби A(s)/Q(s), в которой коэффициент при высшей степени ввыражении Q(s) равен единице.

Поскольку Q(s)—полином п-й степени, егоможно записать в виде произведения п линейных сомножителей(s—s1)(s—s2).... . . (s — sn), где s1, s2 . . .— n корней уравнения Q(s)=0; заметим,что некоторые из этих корней могут быть одинаковыми.2. В связи с этим дробно-рациональную функцию A(s)/Q(s) можнопредставить в виде суммы простых дробей.

При этом, если только одинкорень уравнения Q(s)=0 равен s1, то ему соответствует в этой суммеслагаемое С/(s—s1), где С=(s— s1)A(s)/Q(s)]s=s1, или С=A(s)/Q's1(s)]s=s1,, гдечерез Q's1{s) обозначено произведение всех линейных сомножителей изразложения Q(s), кроме(s— s1). Если же т корней уравнения Q (s) = 0 равны s2,то им соответствуют т слагаемых суммы простых дробей следующего вида:РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласагде[через Q's2(s) обозначено произведение всех линейных сомножителей Q(s),кроме (s — s2)m].РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Таким образом, обратное преобразование Лапласа, фигурирующее вуравнении (III.14), вычисляется в результате следующей последовательностиопераций; 1) приведения у(s) к стандартному виду A (s)/Q (s); 2)разложения A(s)/Q(s) на простые дроби, как показано выше, и 3) вычисления обратных преобразований каждой из простых дробей, врезультате чего получаются экспоненциальные слагаемые типа 3 или 4. Отметим, что при использовании преобразований Лапласа, так же как и приклассическом подходе, для вычисления корней уравнения Q(s)=О, приходитсярешать алгебраическое уравнение n-го порядка.

Однако, в настоящем методе,в отличие от классического, начальные условия входят в решение задачипростым и естественным образом.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ (III.1)Метод преобразований Лапласа Отметим еще некоторые важные и тесные аналогии между классическимметодом решения однородного уравнения (II 1.3) и методом, использующимпреобразования Лапласа. Если в уравнении (III.13) положить Fs = О и не фиксировать начальныхусловий, то & -1у(s) по форме совпадает с первым слагаемым классическогорешения, а показатели в экспоненциальных членах определяются значениямикорней одного и того же характеристического уравнения, т.е. уравнения ansn +an-1sn-1 + .

Характеристики

Список файлов лекций