В.Н. Алексеев - Количественный анализ (1054949), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Будет происходить тем большая компенсация ошибок взвешивания, чем идентичнее были условия этих взвешиваний. Выше говорилось также, что именно вследствие компенсаций ошибок (взвешивание на одних и тех же весах) можно во многих случаях не считаться с неравноплечестью весов, а также не вводить поправок на взвешивание в воздухе. $ 14.

Обработка результатов анализа Как уже указывалось ($13), для уменьшения вликния случайных погрешностей на результат анализа обычно проводят не одно, а два и более определения интересующего нас элемента в данном веществе. Как правило, нн при одном из этих определений не получается истинного значения определяемой величины, так как все они содержат ошибки, Поэтому задачей анализа ягллегсл нахождешш наиболее вероятного значения определяемой величины и оценка точности по-. лученного результата. При отсутствии систематических ошибои, когда число измерений (я) очень.

велико (стремится к бесконечности), наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по осн абсцисс откладывают значения определяемой величины (х), а по оси ординат — соответствующие вероятности получения их при анализе *. Из приведенной на рис.

12 ириной видно: а) наиболее " Вероятностью какого-либо события в математике называют отношение числа случаев, при которых зто событие имело место, к общему числу наблюдавшихся случаев. Так, если нз 20 проделанных определений данный результат (например, х = 1,50ей ) наблюдался в четырех случаях, то вероятность получения этого результата равна а = 4:20 = 0,2 (нли 20%). Вероятность и = 1 соответствует полной достоверности, а вероятность а = 0 показывает невозможность. данного события. Глаза А Введение б 14. Обработка резульгагоа анализа вероятным значением определяемой величины является среднее арифметическое х иэ и раз проделанных определений «1; отсюда х=Х«,/л! б) отклонения от среднего арифметического со знаком плюс и со знаком минус одинаково вероятны; в) малые отклонения более вероятны, чем большие.

Важное значение для суждении о точности определения имеют срелнее отклонение н среднее квадратичное отклонение единичного результата. Среднее отклонение (д,р) представляет собой среднее арифметическое отдельных отклонений от средней величины, причем знаки этих отклонений во внимание не прикипают. Следовательно, если абсолютные значения отдельных отклонений обозначить через [й1[, [дт[, ..., [до[, а число онределеннй — через и, то среднее отклонение равно: 2[«1 — х! [д![+ [дз]+ ". + [й.[ 2~ [д![ бор и а и Чем меньше полученное значение Нор, тем, очевидно, точнее выполнено определение, т.

е. тем меньше результат его искажен случайными ошибками. В математической теории ошибок доказывается, однако, что более правильное представление о значении случайных ошибок дает так называемое стандартное отклонение а, вычисляемое по формуле: а = — (2) Пользуясь этой величиной, можно вычислить вероятную случайну!а ошибку анализа.

В теории ошибок доказывается, что црн большом числе определений можно с вероятностью, или, как говорят, с надежностью а = 0,997, утверждать, что случайная ошибка определений не выйдет за пределы жЗ а. Другими словами, при очень большом количестве определений результат х, выхо- 1 1 дящий за пределы «~За, получился бы только в трех случаях из каждых 1 1000 определений. 1 ! 1 ! Если удовольствоваться меньшей 1 1 1 надежностью а, то значительно большее число результатов х выйдет за пределы границ, обусловленных ве- 1 1 1 личиной а.

Например, при а = 0,95 вероятность того, что значение кажу йг-ЗВ Х-В х+В хо,уд Х лого результата х будет находиться в пределах х ~ 2 а ранка 95он, иначе говоря, из !00 результатов уже 5 мо. тут находиться вне этих границ. Соответственно при а = 0,68 возможные колебания х составляют хж а, а при а 0,50 — х ж — а н т. д. Итак, 2 3 практически все случайные колебания определяются значениями х1, заключающимися в пределах хш За. Поэтому ошибки, превышающие За, следует рассматривать как промахи.

Приведенные выше выводы, основанные на классической теории ошибок, справедливы только тогда, когда число определений очень велико (а -ь оо). На практике при анализе всегда имеют дело с небольшим (конечным) числом определений, так что классическая теория ошибок здесь неприменима. Поэтому при учете влияния случайных ошибок на'результаты анализа приходится пользоваться новейшими методами математической статистики, разработанными для не- большого числа определений. При этом, как н в классической теории, ошибка оказывается пропорпиональной среднему квадратичному отклонению, обозначаемому буквой 8 н равному: ! ~я~! (х! — х)з 3 л — 1 (3) Относительное стандартное отклонение равно! 3 Зг « (4) Особый интерес представляет стандартное отклонение среднего результата х или, что то же самое, стандартное отклонение среднеарифметической величины х (5).

В данном случае имеется в виду, что если были бы проведены еше рзэ серии определений, для которых нолучнли бы средние значения хо хз ..., х„, то стандартное отклонение стало бы равным Вх; тем самым по одной серии определений величины х можно вычислить стандартное откчонение среднего значения х беэ проведения дополнительных серий определений. Но поскольку число а невелико, для установления доверительного интервала (е ) стандартного отклонения среднего результата Вл при заданной надежности а необходимо Вл умножить на г, зависящую не только от надежности а, но и от числа определений и! а' В е =Яхт = — г Границы, внутри ноторых может' заключаться каждая определяемая величина х! (границы доверительных интервалов), определяются формулой: «!=ха е =х ш Вхг (7) получим 8 [[/ — ' 0,022 ой — l 0,0019 4 Следует заметить, что с достаточной для практических целей точностью В можно вычислить также по формуле: 25дор ' См. Ро ыа новски й В.

И„Основные эвлачн теории ошибок, Гостехнздзт, 1947. о' Дымов А, М., Технический анализ руд и металлов, Металлургнздат 1949, стр. 36. Величины Г вычислены для всевозможных значений а н л; их можно найти в специальных таблицах *. Рассмотрим такой способ вычисления на конкретном примере**. Прн определении хрома в стандартном образце стали № 146 были получены результаты, приведенные н табл..2. При математической обработке этих результатов прежде всего находят среднее арифметическое х н отклонения отдельных результатов от среднего, а также среднее отклонение бор. Затем вычисляют квадраты отдельных отклонений и их сумму (Ед~!).

Подставляя зту величину, а также значение я в уравнение (3),. Глава Е Введение 57 у 74, Обработки результитон анализа Сакер. жанне крома. н Ко«кроты отклонения от срскнсго т и,-(кт — х)к Откнонсннс от с> с,>ного и (кс х) № онрскс- лсннн Срсяасе нрнфмстичсскос, я К=н — > о,эз элж> е.э е.т 1,12 1,!5 1,11 1.16 1,12 1,13 — 1,12 = — 0,01 1,13 — 1,15 = +0,02 1,13 — 1,11 = — 0,02 1,13 — 1,16 = +0,03 1,12 — 1,13 = — 0,01 0,01' = 0,0001 0,02> = 0,0004 0,02' = 0,0004 0,03' = !',0009 0,01т = 0,0001 1,96 1,34 1,25 1,19 1,16 1,13 1,12 1.11 1,10 1,09 1,06 1,05 1,04 1,04 5,66: 5 = 1,13% 636,62 31,60 12,94 8,61 5,60' 5,40 5,04 4,78 4,59 385 3,65 3.46 3,37 3,29 5,84 4,60 4.03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 2,84 2,75 2,62 2,58 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 226 2,23 2,04 2,00 1,98 1,96 1,00 0,32 0,76 0,74 0,73 0,72 0,71 071 0;70 0,70 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67 ! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ЗО 60 120 6,31 2,92 2,13 2,01 1,94 1.89 1,86 1,83 1,81 1,72 1,70 1,67 1,66 1,64 .

и = 5 ~~~~ кт = 5,66 ч; й'т = О 00 ! 9 й, =о,о!3>)!> 2,78 ° 0,022 во= Ш ' ' «с 0,027сй 5 Таблица 2. Содержанке хрома в стандартном образце стали !>й 146 Так, в данном случае 5 м 1,25 0,018 = 0,022тй Находим значение множнтеля ! по табл. 3. Прн польэованни таблицей нужно иметь в виду, что в ней вместо числа опрелелений даны величины К, которые на единицу меньше л: К = л — 1. Если задаться надежностью а = 0,95 (что вполне достаточно в большинстве случаев), то в соответствующем значению этой надежности вертикальном столбце на пересечении его с горизонтальным рядом, соответствующем К = 4, находим значение Г = 2,78. Подставнв его в уравнен нне (7), получим: Полученное значение вероятной ошнбкн е характеризует точность анализа, а т.

Характеристики

Список файлов книги