Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть относительная угловая скорость вращения цилиндров 42 = 10 рад/с. Центробежными силами в расчете пренебрегаем. Свойства материала шпиндров: Е = 208 . 105 МПа; т =- 0,3. Коэффициент износа К = 1О ~ 1/МПа. Шаг по времени примем равным 100 с. О 9П ОЛ5 ГП5 ОВ5 Рис, зз д=ампа На рис. 54, а показано увеличение износа по шагам во времеви за первые пять шагов. С каждым шагом износ на внутреннем радиусе растет, а на внешнем падает вследствие перераспределения давления, сохраняя свое максимальное значение на внешнем радиусе.
Характер изменения контактного давления показан на рис. 54, б. Контактное давление возрастает иа внутреннем радиусе и уменьшается на внешнем, так как повышенный износ происходит на внешнем радиусе в результате большего пути взаимного трения поверхностей. Очевидно, что в этом примере происходит установление контактного давления и процесс износа будет иметь стационарный характер. Если в начальный момент напряженное состояние было однородным, то с течением времени оно приобретает сложный характер.
Вследствие деформации форма поверхности цилиндров огклоняется от цилиндрической, помимо о, появляются другие компоненты напряжений. -и сг ом ОО5 Ряс. 53 рис. 54 ЙО5 5~н ~:~ Ч5 О5 ОО5 а ° Глава е' РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией мерндпонального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды.
Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении ап зроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещеаий в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, !34], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами.
Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. Если свойства материала изменяются в окружном направлении, решение трехмерной задачи не распадается на отдельные двумерные задачи для каждой гармоники в отдельности. Изменение свойств материала в окружном направлении может быть вызвано переменной температурой, от которой зависят свойства материала, упругопластическими деформациями, анизотропией материала общего вида [241], конструктивной неоднородностью [135], а также вырезами или выступами, нарушающими осевую симметрию тела [62, 63, 101, 189].
В этом случае система разрешающих уравнений МКЭ составляется для всех гармоник одновременно. В каждом узле конечного элемента число неизвестных равно утроенному числу удерживаемых гармоник. Как известно, число операций при решении линейной системы уравнений с ленточной матрицей примерно пропорционально Р М [70], где 1 — ширина полуленты матрицы коэффициентов; й! — порядок системы. Если при удержании и! гармоник задача распалась на и отдельных двумерных задач, то число операций для решения всех систем будет примерно в т' раз меньше. Если учесть, что при густой разбивке основное время занимает решение системы разрешающих уравнений, то ясно, почему случай с постоянными в окружном направлении свойствами заслуживает отдельного внимания [25 — 27, 81, 89, !90, 269].
Поэтому в некоторых работах [!73, !88) при решении упругопластических задач предпочтение отдано медленно сходящемуся методу упругих решений, так как другие методы линеаризации (переменных параметров упругости, касательных жесткостей) приводили бы к связанной системе уравнений. Ортогональность координатных функций а окружном направлении приводит к хорошо обусловленным системам разрешающих уравнений и, как показали численные исследования для некоторых задач, — к более точным результатам при том же порядке системы разрешающих уравнений, чем при трехмерной дискретизации на конечные элементы.
1. Постановка задачи к основные соотношенкя лолуаналкткческого метода конечных элементов для тел вращения и,(г, г, О) = ~ и~(г, г) соей!оО+ ~„и,(г, г) Нпйо!О; (в'.2) л Ю ив(г, г, О) = У иве(г, г) ып й!оО+ ~, ив(!, г) соз й!оО+ ив (г, г); в ! ~! !57 Рассмотрим систему неоднородных тел вращения с общей осью в цилиндрической системе координат ггО, взаимодействующих посредством контакта. Контакт между отдельными телами осуществляется только по поверхностям вращения, занимая произвольную область поверхности. Между телами может быть установлен зазор или натяг по произвольному закону.
Так как деформации и перемещения пгедполагаются малыми, то отклонениями тел от цилиндрической формы вследствие меняющихся в окружном направлении зазоров или натягов пренебрегаем. На части свободной поверхности могут быть заданы компоненты внешней нагрузки, имеющие размерность напряжений, на остальной — перемещения или смешанные граничные условия. Кроме того, конструкция может быть нагружена объемными силами и неравномерным температурным полем. Решение задачи осуществляется в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа ( ~ ~ [оибв/, + оевбввв + аг7бег~ + т~гбуг~ -!- т~ебу,е + тгвб!ье— — Р,би, — Рвбие — Р,би,) Ф'— — ) ) (Р,би, + Ребие + Р,би) !1о = О.
(!7.1) о Решение по окружной координате представим рядами Фурье и и и,(г, г, О) = Х~'„и~ (г, г) соей!оО + ',~„и~ (г, г) з!и ЬоО; «-о в=! Геометрия тела вращения представляется меридиональпым сечением, которое разбивается с помощью топологнчески регулярной сетки на подобласти в виде четырехугольников, стороны которых могут быть прямыми или дугами окружностей. Некоторые подобласти могут быть пустыми. Для определения геометрии мерндионального сечения задаются координаты вершин подобластей, а для криволинейных сторон — координаты дополнительной точки на стороне или ее продолжении для определения дуги окружности. Расположение подобластей и их тип задаются двумерной матрицей целых чисел.
На месте нулей предполагаются пустые области. Каждому типу четырехугольника соответствует набор признаков, которые определяют номер 'материала, номер функции, определяющей неравномерность свойств в окружном направлении и имитирующей, например, вырезы, признак контактного слоя и т. п. Вторичная дискретизация мериднонального сечения на простейшие конечные элементы в виде произвольных выпуклых четырехугооьн2тков осуществляется ЭВМ на основе информации о числе и неравномерности дроблений сторон подобластей И61!. Если перемещения для некоторых узлов известны по всей окружности от 0 до 2и, их можно представить отрезком ряда Фурье и считать заданными в этих узлах.
Поскольку решение задачи представляется ограниченным числом гармоник, точно удовлетворить заданным перемещениям невозможно. Если для узла в части окружности известны перемещения, а на остальном отрезке окружной координаты заданы усилия, мы не можем задать перемещения в данном узле. В этом случае граничные условия можно свести к силовым с помощью упругого слоя 2юльшой жесткости, которые будут выполнены естественным образом. С этой целью для граничной поверхности (.„элемента, дпя которой на части окружности 9, заданы перемещения ио по нормали к поверхо ности вращения, в выражение (У.1) должны быть добавлены сла- гаемые ) С„(и„— ио) Ьи„тг(9»(1 т.тт е„ о где ф— жесткость фиктивного упругого слоя; и„— заданное перемещение на участке дуги 9» по нормали к поверхности, составляющей с осью г угол а. Чем больше жесткость упругого слоя, с тем большей точностью будут выполнены заданные перемещения. На остальной части угла, дополненном до 2и, вычисляется работа поверхностных сил.
Следует отметить, что прием с фиктивным упругим слоем можно использовать на всей поверхности тела, где заданы компоненты перемещений. Однако, если хотя бы на части поверхности этот слой распространяется не по всей окружности, задача не распадается на ряд самостоятельных зада~ для отдельных гармоник.
Введение упругого слоя там, где без него можно обойтись, позволяет сохранить порядок системы разрешающих уравнений, кратный числу узлов конечных элементов. Упругий слой будем использовать также и для удовлетво- ъ-» ди, (т, г) г-2 ди»(т, г) = 2 сов)гтоО+ ~„' ' Ы~ (го!9; »=о »=-! =Х ди» (т, г) х.2 ди»(т, г) соз )г»о9+ 7„д з[п )гв9; дг дг »=о »=! д22, дт диг е 22 1 дие ит ! ъ2 еее = — — + — ' = — д, [и",(т, г) — )гви»(т, г)] соз lгвО+ ' ь=о е 2 + — ,'2„. [и»(т, г) — )гвие~(т, г)! з[п йвО; »=! ди дит ъ 2 [ ди,2,т, г) ди,"(т, г) ) »:=о 2 »=! 159 рения контактных условий взаимодействующих тел, где зона контакта заранее не известна. При этом в зоне контакта каждое тело имеет свои узлы конечных элементов, разделенные упругим слоем. Равенство перемещений в зоне контакта также будет выполняться приближенно в зависимости от жесткости слоя.
Следует отметить, что чрезмерно жесткий слой, который при вычислении матрицы системы будет давать слагаемые слишком разных порядков и, таким образом, приводить к потере точности некоторых слагаемых, может быть причиной ошибочных результатов. Анализ зоны одностороннего контакта производится по знаку деформаций контактного слоя. Если слой сжимается, в этом месте происходит взаимодействие тел, а там, где он пытается растягиваться, для следующей итерации назначаются нулевые жесткостные параметры слоя, чтобы тела деформировались незавксимо друг от друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
