Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Остановимся на частном случае общей задачи, которая допускаег разложение общей системы разрешающих уравнений на ряд систем для отдельных гармоник. Это накладывает ограничение на распределение механических характеристик материала, которые не должны изменяться в окружном направлении. При этом предполагается, что зоны взаимодействия между телами охватывают полную окружность, т. е. не зависят от координаты 8. Будем также предполагать, .что рассматриваемая задача имеет хотя бы одну мерндиональную плоскость симметрии, чтобы при разложении в ряды Фурье радиальных и осевых компонентов объемной и поверхностной нагрузки, заданных перемещений и„и„температуры оставить только члены разложения по косинусам, а для компонентов перемещений и нагрузки в окружном направлении — по синусам.
Для нулевой гармоники удержим и окружные компоненты перемещений и нагрузки, чтобы можно было рассматривать осесимметричную задачу с деформациями типа кручения В этом случае общая система уравнений (7.8) расцадаетсн на и отдельных систем более простого вида: При этом существенно упрощаются выражения для коэффициентов системы (Ч.10), так как коэффициенты А~";, С,"," не будут содержать интегралов по 0 ввиду того, что свойства материала можно вынести за знак интеграла и упростившиеся выражения могут быть легко проннтегрированы в замкнутом виде.
Существенно упрощаются и выражения для правых частей, за исключением членов, содержащих деформации пластичности или ползучести. 2. Особенности реализации алгоритма на ЭбМ Упрощенный вариант расчета тел вращения при действии неосесимметричной нагрузки, допускающей разложение системы по гармоникам, реализован в программе КОТОц-г1 для ЭВМ серии ЕС на языке РЕ/1. В качестве конечного элемента выбран простейший выпуклый четырехугольник. Г!ринципы задания исходной информации и полуавтоматической дискретизации области на конечные элементы такие же как и в программе КОТОВ-К. Кроме задач термоупругости с помощью программы предполагается решение нестационарных задач термопластичности и ползучести. Внешние воздействия при этом могут изменяться во времени пропорционально заданным функциям Ф; (1) (! =- 1, 2, ..., по), как и в программном комплексе КРОК.
Задача решается методом шагов по времени, на каждом из которых допускаются итерации. В пределах |нага деформации ползучести должны изменяться незначительно по сравнению с упругими, чтобы перераспределение напряжений не было очень большим. Приращения деформаций ползучести на каждом шаге вычисляются по формулам теории течения, описанной в главе 1Ъ', а приращения деформаций пластичности — согласно деформационной теории. Они воспринимаются как остаточные. Полные деформации пластичности н ползу- чести получаются путем суммирования приращений на каждом шаге. Для решения задачи термопластичности применяется схема метода упругих решений, Упругие свойства материала предполагаются зависящими от температуры нулевой гармоники, т. е. могут изменяться только н радиальном и осевом направлениях, и задаются в виде таблиц для фиксированных значений температур.
Каждый материал может иметь свою температурную сетку. Для вычисления свойств при промежуточных температурах используется линейная или квадратичная интерполяция. Свойства материала в отношении свойств ползучести, влияние температуры на которые более существенно, зависят от температуры в полной мере и могут изменяться в теле во всех трех направлениях. Программой предусмотрен учет действия объемных сил для нулевой и первой гармоники, обусловленных вращением, осевым и угловым ускорением конструкции, а также силой веса в радиальном направле- ' В разработке программы йОТОВ-Г и расчетах на ЭВМ примеров по данко» программе принималв участие Е. К.
Руденко. !70 нии; Е,а = рй'г; Е.о = р)Р: Раз = рег; Гн = распай; Гм = 0; Ры = рдз1пй, где д — ускорение свободного падения, Для вычисления произвольных объемных сил предусмотрено подключение специальной подпрограммы. Компоненты поверхностной нагрузки могут быть заданы как в глобальной, так и в местной системе координат, связанной с нормалью к поверхности. На части поверхности, где не заданы усилия, могут быть заданы перемещения. При задании граничных условий следует обратить особое внимание на обеспечение определенности задачи относительно смещений как твердого целого для нулевой и первой гармоники. Опишем кратко порядок вычислений.
На первом временном шаге решается упругая или упругопластическая задача. При наличии пластических деформаций должно быть осуществлено несколько итераций для сходимости метода упругих решений. В каждой итерации процесс формирования систем линейных уравнений для каждой гармоники совмещен с прямым ходом метода квадратного корня. Это позволяет существенно уменыпить количество обменов с внешней памятью. Число удерживаемых гармоник задается в исходных данных, которые должны обеспечить точность аппроксимации упругопластического решения, а в дальнейшем— и решение задачи ползучести.
Для этого число гармоник должно примерно в 2 раза превышать то, которое необходимо для описания упругого решения. Приращения упругопластических деформаций и деформаций ползучести определяются в таком числе точек в окружном направлении, которое обеспечивает разложение нх в ряды Фурье для заданного числа гармоник с необходимой точностью методом трапеций.
Интегрирование по меридиональному сечению конечного элемента осуществляется численно с использованием двухточечных квадратур Гаусса. Если изменение температурного поли не влияет на упругие свойства материала, пересчет и преобразование к треугольной матрице коэффициентов систем уравнений МКЭ не производится, что существенно экономит время расчета. Вариант программы в случае нераспадающейся системы уравнений будет реализован в ближайшее время на базе программного комплекса КРОК, где предусмотрено формирование систем с произвольным числом неизвестных в узле конечного элемента. 3.
Анализ внедрения штампов сложного профиля в упругий слой Рассмотрим упругий слой, лежащий без трения на жестком основании. На слой воздействует круглый штамп сложного профиля. Расчетная схема показана на рис. 6. Меридианальное сечение слоя !71 -ооо -ооог а,/а оооо о„,моа о Рис. 55 в виде ряда Фурье и,(г, 6) =,; 1,(г)созй Е. -аоот Ряс. 55 173 ог об Об Об 1о 17 /б гга б7 занимает область 0(г(4а; 0(г(а. Дробление области на конечные элементы осуществляется прямыми, параллельными оси г, пересекающими ось г в точках г7а (0,01; 0,03; 0,06; 0,105; 0,17; 0,25; 0,35; 0,45; 0,55; 0,65; 0,75; 0,82), а также прямыми, параллельными оси г, пересекающими ось г в точках гIа (0,01; 0,03; 0,06; 0,105; 0,17; 0,25; 0,35; 0,45; 0,55; 0,65; 0,75; 0,83; 0,895; 0,94; 0,97; 0,99; 1; 1,01; 1,03; 1,05; 1,1; 1,17; 1,25; 1,35; 1,45; 1,55; 1,?; 1,85; 2; 2,2; 2,4; 2,6; 2,8; 3,0; 3,3; 3,6).
Между штампом и слоем трение отсутствует. Перемещения точек штампа в нацравленни оси г можно представить 172 Ог ол об об 1о Ы И гга с Будем считать, что нагружение производится таким образом, что контакт между штампом и слоем происходит по всей поверхности штампа или же слой жестко скреплен со штампом и основанием. В этом случае решение задачи можно представить в виде суммы решений задач для каждой гармоники в отдельности. Приведем картину НДС лля нулевой, первой и второй гармоники в отдельности, чтобы, комбинируя результаты в определенных пропорциях, можно было получить различные случаи загружения слоя. Результаты приведены в табл.
10, 11 и на рис. 55 — 58 по сечениям гlа = 0,005; ва = 0,02; а?а = 0,0825; х!а = 0,21; х7а = 0,5; о!а = = 0,935, которые соответствуют на рисунках кривым ! — б, Материал слоя имеет следующие свойства: Ап = 26920 МПа; Ао — — 11540 МПа; 6 = 7692 МПа, что соответствует Е = 20000 МПа и т = 0,3. Для нулевой гармоники внедрение штампа определялось выраже- нием и,(г, 8) = 0,01а; ио(г, О) = — 0,1г?а. О» «О СЧ оо очи»с» де»л асс м а" о м о м о сч а»лс омл СЮ АВОСЮ Э" О" Р" сч Ф 1 «О СО СЧ3 Ч' «О ыа сч «3 — л «а ю Сч С4 3' Я СЧ 11 ~~ЯЯ Яйф ФЗ ооЯ а»«»сч 3 С4 ф О 3 «Р «» счо «ю сч СЧ 1 ОО Я 3 О» 3 1 «ОВ« 3 Яо 1 1 1 11 СЧ«О« 3 СЮ «О 'С'О»3 СЮО»3 ДД \' СОЧ' О О 3' -«а ! С'4 Ч' С»3 «'» 1 111 и» | 1»сч 11 с'» 1 1 1 «» «О— сю Я ™- 1 ! сч ! 9 Я я а» ояо ясчи» о 1 с3сО 1 сч 1 ,Оа» 3.
3 3» »О Р ЯВВ ЗЗВ Ос4 ! сю 11 1 са м о ооФ Сч Р С4 3 ЯОО с41 'ОЯС3 СО«О«О «О 3'С» О «а \'«О СО 3 Ч' «О ! счсо ! с3 1 3 О 3' «» \' сч 111 ЯЗф ммфГ !! «О«.ОС» \' «О С»ЯФ «О« Й ОР а«ч' О С4«ОС» ФС3 о «а 3О "!11 111 СО $ «О л со а 'О З 1сч 1 В со с«а я«а «О в с яс'4 3 сч 3' ! сч «3 с3 1 111 «Ю СЧ С» л о «ю «О О» «О Л 3 а «О СЮ О а» вЂ” со 3 «Ю и» С» 111 1О4 ! 1 Оо«О О«Ю О«ОЛ и»с'4:О ясч я " 1'!'1 111 1 с'4 1 оо мм»а «-.Очи»»- сч Во \О «О с4 Сч С'4 С'3 и» 1сч ! 1сч ! счс» д 1!! ЗВЯ ЗВЯ 111 ч' ОР ч' О 3 О»-о «О «О Я «О СЧ С4 Сч С'» а« о- ооо 1 Сч "3 ЧФ Ььь ЬЬЬ Ф Ь'ЬСЬ Ф 3 О 3 Р О» Ф Ф 3 Р ,»3 Ф Ф 3 Ф Ф 33 Рн «н «О о о «Ю о а»" СР «а о о 1О о Ес о о о а»" н и и й и! «» а к Р «» к а н Ю Й н й а а 3 а й! с а О «аов «О«аа о лом счоФ мо- О СО, " О Р " Ес СО; Ф СЧ „" О СЧ," л М"о 1 оои» «а 3 сю «юм яро сч с.
Яосч сч«'» сч ! сч ! сч са "В сОсч 3 сч с4 О»с'4 " 1 сч 1 1 оч д а»м яо«О «О«ая — $а «» 1 СЧ«о 1 С'4 3' 1 1е4 11 сча«ю со со «Оа»3 счо а»3 сч счл- очи»а» а»;с-со и»» сч Ос»сю ч с»со 3 Р - сои»л 1 ! 1!! оС'4'О О»О О»«ОС'» С»СЧ«О 04«» ОС'4 Сса» СЧО» ЯВ " «Ю« а»СЧ 3 «ОС'» " О» О " О» а» О» «О а»«о а» со йсч 1сч ! 104 1 1 1 3 О43 ОРЯ«Ю 3 «» фОСЧ Ло«О Я« «ЧВо в™В З Зл" -оо оям «Ояса 003 а иъо( яс»«» оа «» фо а,о Ва»" а»ЯФ" и!и» ' 'ас» «» ОΠѻѻ СЬ ,'»С» ЬС» н»н»»«ни»ннЗМФФ СЮР ОЮ"Р ООРР" ОЬР Оанн' Оа«' Ььна ЬЬЬ Ьана -гоо -боаб -боо -Во моо "бо -7гоб -бо т„,В па *г 00 -гоо ВОО "бо Ф Рис. 57 О Рис. 58 1Я В вЂ” ВЗВВ !77 176 е,Вила аг аб об об го бг ГВ, ВВ **'О В табл.
10 приведены данные о распределении относительных перемещений и,lа, и,/а 10' и касательных напряжений т„вдоль радиуса г по сечениям слоя. Судя по радиальным перемещениям, материал выдавливаетея из-под штампа, за исключением малой области у его кромки. В этой же таблице приведено распределение радиальных оВо окружных аээ и осевых о„напряжений. Усилие Р, действующее на штамп для его внедрения, определялось Ог ОД об Об 10 Д М ои 'ПВ.
ОО численным интегрированием:. Р = 2п~ оВВ(г, О, О)Мг= 314па~. Поворот штампа вокруг оси г приводит к появлению касательных напряжений тВВ и т,э и не влияет на остальные компоненты переме- ВСЧЭ О ОЮ аэоиэ аоою ! ! со о о-" О О ! 3'Со аэ и»3 ==О 03- О о о О и» вЂ” о сч сО Ю$3 СОЛЮ 3 Ю!Ь сэ и»оо «СО 4" 403 СЬ СО3»3» СЭ ! со СО:О О 3' Са 30 оо сч- О ! ! 'э«» 3' О с"э я~ »30 ФО3 '"о! ! ! С'Э о юСО СЧ ! О СЧ ф иэ СЧ Й С'4 ! !ю! «!со ! 3О- СО о о ОЭ 'О С'»СО СЬ Оса О СОСЧ О сч о с'э о !! ! )! СЧ .О «- СО 3 С»40 Оса 3' — л Й СЧ са ! ! СЧ ! сО 3 СО О СО СЧ Са !! ! !!~! 3' ! ! — 30 Я 3 04 !!! :а сь о — -«о ооа са ОФО с-о « ! ! 3 ЯОъ аэ ! ! 03 Д 3 (с4 ! сО О СО ! ! 3 -Оо ч'са сь '4'с'э СО,ь са и» 3 30 сч С'Э С 3 о" Са !!!!! О О ОДО 03 ч' ч' иэ ф с'э ! 3 СЧ:О иэ с» 3 и»3 О И ЭО СЧ Сас СЭ ! ! О са О „."о ! ! соса со са— ! С'Э С'3 О СЧ ! соСЧ ю а ю с- О 30 О -с»в СОЧ«О О ОЮ са са Ю !Ьа са ! и» са 03 л «иэ ! ! ! С4 ! СЧЯ О ! ! О СЧ -3 О ЭОО СО 30 04 О- Π— и» С'3 СЧ СЧ с СЧ ! ! ! 30 С'Э 30 ! с-оо !!! «с 3 СО сч д о ФО с э — О «- ! С4 ! сО са — ОЭ иЭ СЭ!!! — и» са О «юю « аэ О4 30 С'4С4 С4 „ЧСЧ !!! !! Ю СΠ— С-,СЬ 3 Л О СО ю СО о Сч О СЧ со !"! ! ! !!~! юю-о сч со са О.Э 3 3 С 3 '« а'Э Ос с» СЧ С'Э Ч' с О з.
СЧ О ФСЧ :О со О\ 00 счсч ! СЧОЮ СО са и» "Чй= !!! о ФСЧ Ф СЧ3 ! ю а» о -Т! 04,» О сои» а а»3 О»с'»3 !!! !!! аа.с о СЧ О 3 СО С'Э са— 2 о сО иэ са О Ю— )! !! Ч' ° 3' С'3 с» ! СЧ ! ° 3 ! ю-~ до~ !ФО сЮ !»3 ~ )сэ ! ! 3'Я 3' !!! Даоса !!! с"Э са О аэ сь 03 С'4 СО Яг» си и» а! о ! юа ! ! 3' ! 3' ! Э 30 О иэ со ю а«3 '«. — иэ 30 са сО 40 О са СЧ О о ~! а» ! ! оа» сч 3 „сьл о 3' О !! !! ььь ььь Ф Ф ььь ььь ььь ььь Ф 3 Ф Ф ь ььь ьь - -ФФФ О О О Ф Ось Ф Ф Оьь «$ О О О $ Ф Ф » Ф Ф 3 Ф Ф 3 »ФФ са Н 3-«3 4 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
