Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если же жесткость слоя настолько большая, что разность перемеще ний противоположных берегов слоя меньше нли соизмерима с погрешностью решения системы разрешающих уравнений, нарушится работа алгоритма поиска зоны контакта, В этом случае, как правило, наблюдается частое чередование контактных и свободных участков в пределах предполагаемой зоны контакта, которые меняются беспорядочно от итерации к итерации. Однако изменение в допустимых широких пределах жесткости контактного слоя (до нескольких порядков) практически не влияет на результаты расчета.
Как следует из предыдущих рассуждений, контактная задача допускает разложение на ряд отдельных задач для каждой гармоники только в том случае, если для всех элементов эоны контакта и зоны проскальзывания будут в окружном направлении занимать полную окружность, что возможно только для сравнительно узкого круга контактных задач. Выразим деформации через перемещения с помощью зависимостей Коши, которые в цилиндрической системе координат имеют вид ! и Ет А1, = — (т„+ т»»тм); тт О ! ди, 'У О = —, — —, + —, — = ~о д. ° ° дз = ~о »=1 а Т + ер + зр еннн = «»ОТ + ернн + 888 »=1 и Чз й«о» — Г,— и,(г, з) г ди» (г, г) дз ЬОО е"„= а,Т + е„+ е'; Угг ггг +)М' Угн = У»8+ )Ро' УО»н =- т',н+ т",н. чз т»от 3!и ЬОО + ~ — и» (Г, т) сон йо»9.
»-1 ( »Г.7) Аи —— р (1 — т»,тг»); 81 !Во !! з-ззвз 1В! див (г б ин (г з) ~ дин!г М ио!г, г) О » !» — — — 1 соз ЬОО— дг г ' Г1( дг ».=1 п — — !и,(г, е) гйпЬОΠ— и,(г, е)созЬоО); хи»вт -» г и дин ! ди, ки дин(г, г) т»8 = — + — — —, дг г де ' г дг з!и ЬоО + »=-1 Связь между напряженными и упругими деформациями для трансверсально анизотропного тела выражается законом Гука [!18, !751: о„= А,„(е„— е,',) + Атз (е„— е,',) + А!в(ено — ено) + + А„(у„— у,',); о„= А„(е,„— з,",) + А„(е„— е'„) + Азз (888 — е'8) + А (.. О).
онн = Атз(е" — е',„) + Азв(е* — е'„) + Азз(ен, — е, ') + т„= А„(егг — е' ) + А„(егг — е,',) + Аз»(еон ензн) + + ВВ(угг угг)' го вз (Уго Угн) + вв (Уго ) »8)! т, = А,„(у, — у~о) + Авв(т, — т!!8), где А„— упругие постоянные материала, зависящие от температуры, выражения для них через технические постоянные определяются формулами (П.5). В случае ортотропного материала, оси ортотропии которого совпадают с осями цилиндрической системы координат, А,г = О (1 = 1, 2, 3), А»в=О. Выражения для А„через технические константы материала существенно упрощаются: 0 = 1 — риз„— ОМ»»1 — О»тт»» — 2тптцмы, 1 = 1, 2, 3 (по повторяющимся индексам суммирования нет). Компоненты остаточных деформаций, обусловленные обратимыми деформациями температурного расширения материала, мгновенными, накопленными в процессе нагружения деформациями пластичности и ползучестн, можно представить следующим образом! е ! Выражения для приращения пластических деформаций и деформаций ползучести могут быть заимствованы из предыдущей главы.
Полные компоненты деформаций получаются накоплением. После дискретизации области на простейшие конечные элементы в виде произвольного выпуклого четырехугольника объемные и поверхностные интегралы в выражении (Ч.1) могут быть представлены в виде суммы интегралов по отдельным элементам. Выражение ((».2) для перемещений в пределах конечного элемен: та Я„с узлами 1, ); 1+ 1, 1; 1, ) + 1; ! + 1, ] + 1 представим в виде и ии (Г, е, 9) = '„! и»ифрр(С» т!)созЬоО+ + т! и, фрр Я, т)) ып ЬОО; и!(Г, 3, 9)= 2 и ф ($, т))5!пя«ОО+ »-! + З, и»8«рр,(Х, т!) созЬОО+ ифр„ф, т!); »=1 р=г, гх р=1, 1+1; «)=1, !+1, 1 где д и «) — индексы, по которым проводится суммирование; и ', »н и„— амп.титудные значения перемещений в узлах конечного элемента; ф,„(е, т)) — координатные функции конечного элемента лть Связь между глобальными и местными косоугольными координатами $т), переводящими элемент в единичный квадрат, осуществляется через те же координатные функции: Г = Гррфрр (е, т))' е = еррфрг (е, т)).
По индексам т, ч, р, д проводится суммирование. Коэффициенты системы уравнений определяются зависим А~ О~ (ьл «Ри «Рре + (ьл' и «Рр! + и Фре ~+ Яц ь»1 дФи дФре дФи дФре ) ь Чи «Рре + А««( — — + — — ) + Азз — — + дг дг дг дг г г , д«Р «Р «Ри йР ) ь дфи д«Р + '4з« ~ дг г + г дг ) + А«« дг дг + + Аьь ( —,)«Ри«Р,!«««(Ю+ ) «.л з1п аФиФре««И;, — рт( ртт«1 ) ь ~ц д А = ц «А«г — — +Ам — — + ьт„ГР( ьл дФи Фре ь дФи дФре в;, ьт д«Ри дФре ьт Фи дФре ь 'Ри д«Рре + Аг«д — + Агз — — т= + Аз« вЂ” д + рт дФи дФре ь» Ьзть + А — — + Аь — Ф ! Фр ~)««(В + дг дг оста ми + ~ С" сова.
в(паФиФре««К; ь«т вц + Азе — — ) л«о« + Аьь — «Ри « — — )~ ««(8; „дРи Р ьр !«««о дФре Рре дг г ) г (, дг г ) ь,, Г('( ь дФи дФре ь дЧи ~Ь» Аиро ц [А«з дг — у — + Аи д д + в«!. +Ам д, дг +Азз д, —,+Аз -ь — —,+ ь д«Р«! дФре ь дФи Фре лт дФи Фре Подставляя в уравнение (Ъ'.1) выражения (Ч«,5), а затем (Ч«.4), (Ч«.7) и выполняя обычную процедуру метода конечных элементов, получаем систему 12п уравнений для конечного элемента 5««относительно амплитуд узловых перемещений: и, ие ««преп и , '+ А«,„и„= йи,. (ь,««=«,г,й; 1,р=«', «'+1; 1,«1=1',1'+1; ь» дФи дФре -ьл ьт«оь + 4««д ) + Аьь ь «Ри«рр ~ ««(Л + + ~ С, в(пасоваФиФ г«В; ьц зц + А«! дг дг + Аоь гь ФиФ е~ ««(В + ь дФи дФре ь„йище + ~ С„созьаФиФре««И.; !.ц льт«ь ( ( ( ллт тт дч!«льт р«о«дФи 3«! льл Ео«1 дФре Фре « -ь» ««о«дФре 1« — Ам — «Ри « — — — ) — Ам — «Ри — «««Б; дг г ) г дг лтьг ( ( ( ьт ЙО> дФре, ьт ««о« А«ре = — ) ) ~А«з —, Фи д, +Азз —,, ФиЧ«ре+ з«! ьл ««о«дФре -ьл тт 1 дФи Фи 1 + Азе — «Ри — ' + Ам — ( — — — ) «Р 11 ««(Ю.
г дг (, д. ль»92 ( ( ( лье л«о д«Рре ьл Зи дФре лире = Ц (г«гз Ч«и д + Ам Фи 3«! — ь» т«е дФи — А — — 1лВ; дг з«! -ь дФи ! дФре Фре 1 -ьл дФи дФ»! ) + Аьь — ~ — — — 1+ Аьь — — ) ««(8 д (дг г) д д. лтт нтьг ( ( ( ьт Фи дФре ! I дЧи Фре Вире —— Ир«и — — ц «А«« — — + А" « — — + дг дг «3 ( дг г Зц 162 "ь Ч'и фрд ьл ( Дфи фра, фи Дфра '1 + Аьз — — + Азд ! — — -1- — /+ Г Г дг г г дг ! -!- А44 + Аьь фиф 1 ссгпо + »гп И рд т» тйдз + ~ С„' зйпгафиф„Г431'.; С!1 -.Ьп фи фра, льл фи ~Ьч, л»т ДЧ'и Дфра + ьи дфи дфрд ле тйвр + А44 дг д — Аьь,г фи%од~ Гсге + + ~ С„соьа ьйпафифрдгсЫ:, 1.;1 ь»гв -тьв ! й ! — ь тв дфи -ь те Вирд = Врди = — ! ) !А13 — — 1ррд+ Азз — 1рисррд+ за'! ьл «иО дЧ1и тй »01 ! дфрд фрд + Азг —,— ф + Аьь фи!, — — )~ Гс!В, дф Ви = В « = ц ~А!2 — + Ал — — + ьпт т»гг ! ьл ~и рд»т и фрд 1РГ дг 511 -,„афи %„-»„Дфи Дф - „Дри + Азд — — + Ав — + Азз — — + дг аг аг дг ьи дфи дЧ1рд тй «4»вй + А44 Дг Дг + Аьь Гг фифод1 Гс'3 + + ~ С» соус! 31п афифр Гсйг; си » 22 ог»22 ьп %1! 1 Рра ьл дфи дфрд 5,1 +А""~ " р' + " ра) дг дг дг дг -тй Ьпе' ! ь — Ась — ь — фи%Од! рсЮ+ ! Сп соьзафифрдрйЦ; 1.,1 -мте — йгв 4« Г! ьи «по дфи ьп,т»1 дфи '!!' льп»е ! ~Ьа 'Рра 1 т» йв дфра 1 — Аьь — Чги ~ — — — ! — Аоь —, 1Р1 — 1 ГсЖ г й дг г ! ° ' дг ! ььпег гэтйег 1 ! ! льп йог Д1рра льп йв Дфрр Ира = ~раи — ! ! ~ 13 г 1РИ дГ + ~34 фи д "! 5;у 22Ьлвг ! ира в ирд А»тгг итг А» ирд йтге Аи ьп йв тй тв / Д%и %« +Ам —,!риф + Аж —,4 —, — —,) !р 1Г445; — »в.
('~!;ь йе дф, й»в =,!,! ~гйзз г 'ри дг + Аз' г фи дг 511 ьл тдг ДЧ1и ьп те 1 ДЧЬ 1Ри + Ааь — — !Рр + Аьь — ~ — — — гр Г4Ю: г дг а дг — »ее !'Г ! -Г тьо' -т. д'Ри дфрд = В"'и = ц !Абаз, 1ригр + Аьь д д + 511. т»! Дфи фи ~ Д%р, »Дфи ~Ррр фрд'4 дг г дг дг ' дг г 5,1 -» 1' Дфи + Аз4 »т фи 1 ра Дфи фрд 1 — ьи Дфи Дфра Г дг дг Г + — — )+ А44— дг дг + ьп Отер + Аьь,, фи%од! Гс!Ю+ ! С„""31пзсиРиф„гсй; С1! 5!- — ьи Ч>и ДЧ'рд -»т ДЧ'и ДЧгрд — »т фи ДЧ>рд + Азз — — + Ав — — + Азг —, — + г дг дг дг дГ -»т Д1ри д1Рр»т «!»вз + А44 дг д, — Аьь Гй 'Ри'Ррд ~ Гио + + ! С» ьйпасоьафифрдГН:, си !4 !»л! Д1Р11 тго — й!и тв 5,! лЬ Дфи йе 1 Дфад % + '134 1ро '433 фи ! — )! Гсг'2, дг д г ' г ! дг Г (Ч|.9) | ае Аи "= ц ~А|о — — +Ам — — + Аоа — — + -ь„,г ('('Г-от дфи дфтг -от дфи фоа ат дфи ~ба да г й дг ьц -|и дфи 'Рра -ьа дЧ'и дфаа — от дфи дфра + Ам — — +Ад — — + Аи — — + дг г дг дг дг дг ь те|о' 1 | — ь + Аво в фифра~ г|!'с + ) Са ь|п а соь аф|гфааг||1;, ац 5о| ьи дЧ и дЧ~ра от тат + Ааа д, —, + Аоо —,, |Рифаа1г||З+ + ~ С„соьвафиар агй.; Ец Аггаао — о ~ — (А2з дг фю+ А,"т д фа ~ — + 5ц аа фаа оа| вт Раа Ф Аьо — ф|г | — — — |+ Аоо — |р|, — 1 г||Я; |, д г г дв Аиоа'= — ) ) ~ '||3 —, |Ри д + Авв — |Ч|ифаа+ 5ц -ь |га д'Рра ь тт | дфи фи ) + Аз| — фи — — Аьь — | — — — / фаа)~гЖ; дг г (, дг г / ьц ьо I дфи фра | т|о ьп т|о дф|г + Аоо | — — — ) — фаа+ Ат — — |р 1г|(3; дг ) г г дг автее Апра = 5ц + Ат — — 1 г|И; ьо дф» дфра 1 дг дг Ьи = и ~А> —, +Аз —,+ Аа-~-,— + Авфи+ ь ГГГ одфи офи одф|г о ьц + ~ Р,(г, 5, 0) соь ИтОг(Вф| ~ ~го|о + о +' ) ) Р, (!., 0) соь Ь50|(Оф| пП.
+ |цо +' ~ ~ С„и„'((., 0) соь)ггоО||0 ь(паф|гг|П:, 5 |во т ( ('Г дР о дфи Фа Ьи = ) ) ~А~ва — + Ао — — Ао — |ри + ,|,) ! дг дг г 5;| +~ Р,(г. г, 0)соьйгоО||Офира г<Б+ + ~ ~ Р,(!., 0)соьйгоО||Офиг|Ы + гцо + ~ ~ С„и„(1., 0)соьйаО||ОсоьагЖ; |ц ео ае (( Г о вт о| дф|г |Ри | о дфи Ьи = ) ) ~ — Ав — |ри + Ав( — — — /+ Ао — + дг г / а ьц +'~ Ре(г, г, 0)ь|и 1|50|)Оф|г~ г|Ю+ оь + ) ') Ре(|-, 0) ь!п И|50||Вфигг|~.; ьцо -ь ГГГ-о д'Ри о фи о дфи о Фт Ьи =, и [Ав — + Ав — + Ао — + Аоо — |ри + дг г дг ' 5|! ')гт + ( Р,(г, г, 0)ь|пйаеВ|(Вф||1г|(8+ Ч( +'~ ~ Р,(Ь, 0) |~ 0||Вф (~+ |.ц о + ~ ~ С иа(1., 0)5|и ЫЫОь|иафигг)!.| М» -»* Ьн = 1 = 1, 2, 3, 4; »О ь где ) Ац(г, г, 0)соз/гввсозтв84(0; О А»44 ц А»".
4! ') Ац(г, г, В) созйвОяптв04(0; о А ". ц ) Ац (2, г, О) яп йвв яп тв04Ю; о С„(У., 0) соз йвО соз тв0410; С (2, В) соз лвО 51п тв0426; СО4 »Р ~ 444. Ац,ри„= Ьп ' 1», 44 = Г, г, О; 1,,0 =- 4, 4 + 1; 1, д=-1, 1+1; й = О, 1, 2, ..., и. (Ч.)О) ) С„((., О) 51п явОяп 4по>04(О; Д ~А2 — + А4 — + А» — ррп + зц ~ Р,(г, г, О)япяв04(04рп|г4(5+ О ') ') Р, (Л, 0) зш явЫ04р44грУ. + гцо ~ ~ С„ио ((., О) яп йвИО соз арра грЫ.", Д ~ — Аз»в ч4п + Аз ~ ~" — ™ ~ + АОΠ—" -1- зц ( РО(г, г, 0)созйв84(О~рп1г»13+ а ~ ~ Ро((., 0)созЫВЖрр44гг(й; Ъцр Ар = ~ (А пер -1- А взо -1- А»зо 1- А4 ро ) соз ав04(0; о 1=1,2,3,4; А; = ) (Апео + А4252 + Аве'+ Апуо ) 51п йв0410 о Ар = 14 (Ар»у~~о + Арвурв) соз»в04(0~ о АО = ~ (А»ОУОО+ А»ОУОО) с Ь 0(0; А = ~ (А„у,', + А„уоо) 51п йвО~В; о 244 АО = ~ (Арруо + Арруо,) япйо>84(В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
