Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вычислим сначала первую вариацию по Лагранжу отображения евГ. По определению ЬК(х( ) Й( )) = 1пп а- а Слева и справа здесь стоят элементы пространства С([Е„(т1, К'"), т, е. некоторые функции от (~[(„(,1. При фиксированном Е имеем В оЦ'(х( )+аз )) ОΠ— е)(Г (х ( )) (Е) а-~0 Е (е, х (е) + аь (е)) — 1(е, х (е)) а-в' =Е„(Е, х(())Ь(()=~„(Е)й(Е). (Ь) Чтобы убедиться в том, что сходимость здесь имеет место также в смысле пространства С([Е„(т), К"), т. е. что она равномерна, заметим, что для некоторого а > О компакт У=((Е, х) ! /х — х(Е) ! <а, Е, <Е <Е[ с (Е и на этом компакте Е„равномерно непрерывна. Это значит, что Ув > О, БЬ > О, ) Е' — (х ) < Ь, ! х' — х" ) < Ь в~ =Ф1:,~х(1', х') — ~„(1", х")() < е.
17о Если )а~ < 67(~Ь( ))с, то по теореме о среднем (п.2.2.3) ~ е)(' (х ( ) + сит ( )) — еЬ' (х (.)) ~ 7 (б х (() + Л (()) — 7 (Д х (()) — 7„ (б "х (г)) а (г) )( н„п) ) шах ~~ а а:. ~щах шах 1))„((, х(~)+ОсеЬ(1)) — 7'„(7, х(())))(Ь(() ~ ( !арми) ее[0, ы ~~и!/Ь)с., (6) Поэтому скодимость е (5) действительно равномерна и доказано существование первой вариации по Лагранжу бФ(х( ), Ь(.))(() =6 (()Ь(7). Поскольку первая вариация задается линейным оператором ФГг(х(.)): С(((„Я тс")- С(~1„~Д, )с"), а именно тЛгг(х( )) — это оператор умножения на матричную функцию 7'„(() и этот оператор, ограничен: ~/е)рг(х(- ))// ' шах (7'„((, х(()))', (7) то а)в" (х( )) дифференцируем ао Гато. Чтобы доказать непрерывность производной Гато, оаеним норму разности Иг (х( )) — иу'г (х ( )) ~) = вцр )Фг(х( ))(Ь( )) — М"г(х( ))(Ь( )1)= .
ьа<мс<' — вцр Шах ))7„(Ю, х(())Ь(() — 7'„((, к(~))ЬИ)~(~ йв ( т1в~<! ~сна ьэ < 1пах '()„(т, х(8)) — 7„(Г, х(()))). 1ера о) Снова с помощью компакта У(,' и равномерной непрерывности 7„, убеждаемся в непрерывности 4'; (х( )) относительно х(.) Е Я, Применяя тлперь следствие 2 из п. 2.2.3, мы убеждаемся, что 4Г(х( )) имеет в каждой точке множества Я производную Фреше и строго дифференцируемо. Ввиду равенства 4''г =4Г' производная Фреше непрерывна в Ф.
Я Уп раж иеи ие 2. Докажите, по в (7) имеет место равенство. Пусть теперь (7 — открытое множество в Гсхй"х К', и пусть функция 7((, х, и): с) — Гс и ее частные пров 76 изводные 7„, 7, непрерывнь7 в У. Отображение 4'. Я- — С((1„11), й"'), определенное на множестве Я ((х( ) и( ))1(г х(() и(())ЕУ. 1.<1<() ~= С'([1„(,1, й ) ~ С (((„(,1, й ) (3) равенством вт'(х( ). и( ))(1)ь— м 1(1, х((), и(()), (9) мы также будем называть операпюром Немыцкого. Предложение 2. Оператор Немыцного, заданный соотношением (В) непрерывно дифференцируем на множестве (9) и при етом М" (х( ), й( ))Р (.), о( )1(О-Ь„(1)Й(1)+6(1)о(1), (1б) - вде ~ (()<о~в),(к (7), (~)), '=1, ..., т, й=1, ..., г).
(12) Доказательство. Как и в предыдущем случае, у отображения ьЦ' существуют частные производные й(;( (), ())Гй()1(()=Г.(1)й((), Ву;(х(). й())Ео( Э)(1)=Р.(1) (1» н отображения .Ц.: Ц(-.2 (С (1(„(,), й ), С(11„, 1„1, й-)), МР„: Я-.2 (С (Р„(,~. й ),' С(1(„1,1, й-)) непрерывны в Я. Остается сослаться на теорему о полном дифференциале нз п. 2.2.4.
ф~ Пусть даме У и % — те же, что и в аредьщущем примере, функция ц~((, х, и): У вЂ” й" и ее частные производные ~р„, ф, непрерывны в У. Отображение Ф: %— С(11,„711, й"), определенное равенством Ф(х( ), и( )) (7) =х(1) — <р((, х(7), и(()), (13) 'будем называть оператором дифференциальной связи. Предло же и не 3. Оператор дифференциальной связи, заданныи соотношением (13), непрерывно дифференцируем )77 (1) (д~р~(Д х((), и(()), . ) у ~р„(1) ( ~' ' „'", 1=1,...,п, Й=1, ..., ), (16) До к а з а те л ь с т в о.
Отображение Ф есть разность линейного непрерывного оператора (х( ), и( )) +х( ) и оператора немыцкого вз" (х( ), и( )) (() =ср((, х(1), и(()). Поэтому доказываемое утверждение следует внз общих свойств производных (п. 2.2.1) и предложения 2. ° 2.4.2. Интегральный функционал. Пусть У вЂ” открытое множество в К х К" х Й", и пусть функция (((, х,х): Ц- К"' и ее частные производные („, 7; непрерывны в У. Отображение У: 2В' — К"' зададим на множестве У'=(х( ) ЕС'ф„Ц, К") (((, х(1), х(()) б У, (,~~1(Я (1) равенством Ю(х( ))=11((, х((), х(()) и. (2) н Предложение 1. Интегральное отображение (2) непрерывно дифференцируемо на множестве (1) и при этом и д' (х ( )) ~Ь (.
Ц = ~ (~„(1) Ь (() + ~„(1) й Я) д(, (3) где рх (1) ев ( — ~ (г, х ((), х (()), 1 = 1, ° ° °, т, ~„(Ю) еа ( —.' ((, х(1), х (()), 1= 1,..., т, ~ дху ,Доказательство. Представим в виде суперпозиция У=1 оь9 оВ 1=1,...,п), (4) 1=1,..., и). (5) отображение (2) где Ю: СР„(,1,И-)-И- 178 на множестве (8) и при этом Ф' (х ( ), и ( )) ~й ( ), и ( )1 (1) = = 6 (() — <р„(1) й (() — р, (1) о (1), (14) где — линейный непрерывный оператор, определяемый равенством Р(х( ))=(х( ), х( )); йр: 24 С([1„1,1, йм) — оператор Немыцкого, определяемый равенством (9) п. 2.4.1 (при г=п), и 1: С([1„1,~, 11-) -11- — оператбр интегрирования ц 1(х( ))= ~ х(1)еЫ также линейный и непрерывный. Все эти операторы дифференцируемы (см. п.
2.2.1 и предложение 2 п. 2.4,1), причем производная линейного оператора совпадает с ним самим, а производная оператора Немыцкого дается формулой (10) п. 2.4.!. По теореме о суперпозиции 7'(х( )).=1.оД" (Рх( )) оР, (б) т. е. ( ())[ ()2 И( ())[ ()П = Г Ф'(х( ), ха( )) [й( ), й'( Л =1И. (1) й(1)+~. (1) й(1)) = и = ~ А(1) й(1)+~;(1) й(1)М1 Этим доказана формула (3).
Непрерывность 7' (х( )) сле- дует из непрерывности производной оператора Немыц- кого и равенства (6). ° У и р аж в е в в е. Найдите нормы операторов Р и Р В задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления рассматриваются также интег- ральные функционалы вида (2) с переменными пределами интегрирования 1, и 1,. Чтобы включить их в общую схему, поступим следующим образом. Пусть предположения относительно 1(1, х, х) те же, что и раньше, Л ~ К вЂ” некоторый отрезок, Ф=.((х( ) (е (т)(х( )ЕС'(Л й"). (1 х(1) х(1))ЕУ, 1 Е й, 1е, 1, Е 1п1 Л). (7) 179 Определим отображение Ю: Я- $Р равенством Ю(х( ), 1„1») 11(1, х((), х(»))с(».
(8) с» Предложение 2, Интегральное отображение (8) непрерывно дифференцирнемо на множестве (7) и при этом 2' («(') 1» 1») [й (') т» тД= 1=1 = ~ (Р. (1) й(1)+Р;(~) й(()) д~+Р(г,),, (8) 1=0 где (г„(() и 7„(() даются формулами (4) и (5), а Р(Е) =) (г, х(О, «(г)). (10) Доказательство. Воспользуемся теоремой о пол- ном дифференциале из и.
2.2.4. Частные производные существуют в соответствии с предложением 1 и класси- ческой теоремой о производной интеграла по верхнему и нижнему пределам интегрирования: д.о(«(.) 1» 1.)И( И=Я Ух(г)й(О+Р;(1)й(())д1» й» ды(х(.) 1 МЫ= — 1(1»)т" У, (х( )„1„1,) 1«,1=7(1,) т,. Приступаем к проверке непрерывности частных про- изводных, А) ~~Зп(х(.), 1„1„) — У,(х( ), )„У,)',) = зпр ~/7(е„х(е,),х(е,))т,— 7(1„х(г,), х(1,))тД< »»»» ~< 1 «~!РИо» «((о)» «(Ио)) 1(1»» «((») х((о))! (1 ) Кроме того, )х(г») — х(г,) ~ ='~х(г») — «((») ~+!х("») — х(г»)( ~:;!~х( ) — х( )/~+$х((») — х(1»)~» (12) 3 х (10)-« ((О) ! ( ! х (ГО)-« (10) 1 + ~ х (10) †((О) ! ( «1х( ) — х( )1с +(х(гэ) — х(Ф,)/.
(13) 180 Поэтому, если 1,— 1, и «( ) — х( ) в С'(Л, К"), то х(1,) — х(1,), «(1,) х(1,) и, значит, правая часгь неравенства (11) стремится к нулю. Следовательно, 5,,(«( ), 1„1,) непрерывно зависит от (х( ), 1„1,) (от 1, эта производная не зависит вовсе). Непрерывность Фь (х( )„1„(,) проверяется аналогично. Б) Выберем число а) 0 так, чтобы компакт зь= ((1, х, и)(!х — 'х(1)(е 'а, (и — х(1)(~а, (~ ц~" О. На этом компакте производные 1,(С х, х) и ~,(С х, х) равномерно непрерывны и ограничены.
Теперь при '1«( ) — х( )1с (а имеем: Иу., ((), „,) — -,( (). г.. 1,>и= с", зцр ~ ~ (Ц,Ь + 1, 6) сИ вЂ” ~ (1„л+ 1, Ц г(1! я' Га ' ' 1с'~ ' ь и ( зпР (~) (1„6+~„В)Л~+~ ~ (~А+)„Ь)Ж~+ 1 6 +~5 И.— Уй+(Ь вЂ” 1.) йИ(~~ ~ ~юах(1~„(1, х, и)1~+(11(1, х, и)Ц(( г,— 1,)+(1,— Е,()+ к + юах(~',~. (С х(1), х(Г)) — 1„(С х(Г), х(1))1 ( 1й, с,1 +~А(1 (1) (1)) — Ы (г) МИ. Первый член стремится к нулю при 1,— 1, и Г, 1,. Второй оценивается с использованием равномерной непрерывности так же, как в доказательстве предложения 1 и. 2.4.1, и тем самым стремится к нулю, когда х ( ) — х ( ° ) в пространстве С'(Л, 11").
Применяя теорему о полном дифференциале, полу. чаем (9). ° 2.4.3. Оператор краевых условий. Пусть функция $((„х„г„х,): (г'- К' непрерывно дифференцируема1В1 на открытом множестве йч~ К х й" х К х К', и пусть 2У'=((х( ). („1,)!х( ° ) ЕС'(Л, й"), (е г161п(Ь, (г„х(Е„), г„х(8~)ЕФ). (1)— Отображение Ч'.
2У'- й', определяемое равенством 1 (х(') (ю (е) =Ф((а х((е) (1 х(11))~ (2) называется оператором краевых условий. П р е д л о ж е н и е. Оператор краевых 'условий (2) непрерывно дифференцируем на множестве (1) и при етом (х(') Ее (1)Р~(')~ те М =Ф,та+Ф,1Ь((,)+х(1) й(+К,т1+Ф.„(ЬМ+х(11) 5 (3) где ФП=ЧЦ;(~о «(Гв) 11 «(Е1))~ 1=о~ 1> (4) р„.= р„,.(г„х(г",), („х(Е,)), (=О, 1. (б) Доказательство. А) Рассмотрим сначала простейшее отображение еч: С'(Л, К")х!п1Ь К", определяемое равенством еч(х( ), (,)=х(1,) (отображение значений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
