Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 24
Текст из файла (страница 24)
хХ в 1'. Напомним, что отображение П(х„..., х„) называется похилинейным, если прн каждом 1 отображение х,и-иП(х„..., х, „х„х,е„..., х„) линейно. Если Х и т' нормированы, то непрерывность П равносильна ограниченности, т. е. конечности числа !~П!/= зпр !!П(хы ..., х„)//. (10) 1к,Ц< Ц,зхн1С 1 В этом случае .У" (Х, )') является нормированным линейным пространством с нормой (10) и выполняется 142 неравенство 1П(х„..., х„)1«())П)Яхт)...))х„(.
(11) Функция Я„(х)= П(х, ..., х) называется формой степени и (при а=2 квадратичной, при а=3 — тернариой), отвечающей полилинейному отображению П. Из определений вытекает, что и 0„(х+й)=1~„(х)+~~' П(х, ..., й, ..., х)+о(!й))'), (12) а потому (;)„( ) дифференцируема по Фреше в каждой точке х и Г); (х) )й~ =,~ П (х, ..., й, ..., х) (13) (в обеих формулах (12) и (13) в 1-м члене суммы аргумент й стоит иа г-м месте, а остальные аргументы равны х).
Если отображение П симметрично, т. е. П(х„..., х,) не меняется при любой перестановке аргументов х„то (13) превращается в Я„' (х) (й1 = пП (й, х, ..., х). В частности, если Х вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением ( ) ), А Е.У(Х, Х) и П (х„х,) = (Ах, ) х,)„то Я, (х) = (Ах (х) — квадратичная форма оператора А — дифференцируема и Я; (т) [й) = (Ах ~ й) + (Ай ( х) = (Ах+ А*х ) й), так что (;);(х) естественно отождествляется с вектором Ах-1-А*х. НапРимеР, дли Яа(х)=",а(х)х)= — т/а))х~)' пРоизводная Я'(х)=х. Упражнение 2 Покажите, что Яа(х)=П(х, ..., х), где ПЕХа(Х, У) строго дифференцируеиа при всех х Более сложный пример доставляет Предложение 3.
Пусть (т'<=.У(Х, У) — множество непрерывных линейных оператпоров А: Х вЂ” У, для которых суи(ествует обратный оператор А т Е.У(У, Х). Если хотя бы одно из пространств Х или 1' банахово, то (У открыто и функция Ф(А) = А-' дифференцируема по ФрешевлюбойточкеА Б(), причемФ'(А) 1Н1= — А 'НА '. )43 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если пространство Х бакаево, то ряд,'5, '( — А 'Н)" сходится в Я(Х, Х) прн '1Н/~< а=а <1А-т1-т н, как нетрудно проверить непосредственно, (А+Н) ~ ~~", ( — А-'Н)" т(-т =1„, 1 а=о ! Ф ~~.'~ ~( — А 'Н)"А ' (А-(-Н)* 1». а=о Следовательно, (А+Н) '= ~ ( А-гН)аА"-а (14) а=о при 1Н1<'1А т( ', 'так что В(А, 1А '~/ т)~П н П от- крмто. Если пространство )г баиахово, то (!4) следует заме- нить на (А+и)- =А'- ~ч"„( — НА- )и. а-в Далее, нз (14) имеем $(А+ Н)-~ — Х-'+ А-'НА-' ~~= (~' (1А-'Ц~Н1)а//А т'й = ( — А- Н)аА- 1А-т (а т у)в ! — 1А-'11н1 прй Н вЂ” О, а следовательно, функция Ф(А)=А ' дифференцируема и ее производная трреше Ф' (А) (.1 = = — А- ( )А'-'.
° Уп р аж и еи и е 3. Докажите, иго Ф(А) строго ииффереиии. руана в любой точке АЕУ. 2.2.2. Теорема о суперпоаиции дифференцируемых отображеиий. Теорема о супе рпозиции. Пусть Х, )', Я— нормированньге пространства; (I — окрестность точки х и Х, У вЂ” окрестность точки у в 'и'; гр: (г Р, гр(х)=у; ф: У- Я; ~=фи ср: (( — Х вЂ” суперпозиния отображений фиф. 144 Если ф дифференцируема по Фреи«в в вояке у, а «р в точке х дифференцируема по Фреи«е (дифференцируема по Гата, имеет первую вариацию или имеет производную по направлению й), то ) обладает в точке х тем же сво«1стеом, что и «р, и при атом ( (х) = «)«(у) о «р (х) (1) или 1'(х й) =ф'(у) Ь'(х; й)1.
(2) Если 9 строев ди4ференцируема в у, а «р строео дифференцируема в х, то ( строев диф4еренцируема в х. До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подробно дв» крайних случая — производную по направлению и строгую ди ренцируемость. ) По определению производной Фреше ф(У) = «Р(У)+«Р'(У) 1У вЂ” У)+а(У)1У вЂ” У1,' где Игп а (у) а (у) О. е у Если существует ~'«д В) И вЂ” « — — =Ы вЂ”.' — —, «г (х+ М) — «г (х) . «г(х+ )е«)-в х)о х«о то 1пп ( (х+ Ха) — ( (х) .
«) («(«'(х+ )«(«)) — «) (««) =у~в х)о х«о «(«'(у) («г(х+Хь) — у)+и(«г(х+Ы)1«р(х+И) — у1 Ь)е «.пь <~«««.м>>н Хеф?="~«- =ф'(у) [«р'(х й)1+с«(уИ!ж'(х' )«П~ = ф'(У)(«Р'(х; й)1, что и доказывает (2). Б) Обозначим для краткости А«=«р'(х), А,=ф'(у). По определению строгой дифференцируемостн для любых 145 е, > О, е, >О найдутся такие б, > О, б, > О, что ) х,— х!)<б„,((х,— х), '< б,=О) гр(х,) — гр(х,) — А,(х, — х,))( (е,!!х,— х,!!, (3) ))у,— у(! < б„$у,— у) <б, ~И(у,) — ф(у,) — А, (у,— у,Н!( (е, (/ у~ — у,(.
(4) Для любого е > О подберем в, > О н е, > О так, чтобы выполнялось неравенство е,) А,)+е,) А„)'+е,е, < е; по этим еп е, найдем б, >О, б, > О так, чтобы имели место соотношения (3) н (4), и наконец положнм б Ш1П ~б1 (А ) Если теперь ) х, — х ~! < б н ~( х, — х ( < б, то в силу (3) ) р(х,) — р(х.и~-= (/~<р(х,) — ф(х,) — А, (х„— х,)//+!/А,(х,— х,)//( (е,(х,— х,!!+!!А,Цх,— х,//=()А„'!+е,)~/хт — х,).
(5) Полагая в этом нераденстве поочередно хт — — х н х,=х, получаем ((гр(х~) — <р(х)(=(~<р(х~) — у) < ЦА~()+е1)б((б„ так что для у; = ~р(х,) справедлнво (4). Используя теперь (4), (3) и (5), получаем ~~(х,) — ~(х,) — А,А,(х,— х,)!1( ((/ ф (ср (х,)) — ф (гр (х,)) — А, (<р (хт) — ~р (х,)) !!+ + !! А, (~р (х,) — (р (х,)) — А,А, (х~ — х,К! (е,!!~р(х,) — <р(х,) 1/+$~А,~Ц<р(х,) — гр(х,) — А (х,— х,)~~( ( е, (~/ А, !!+ е,) !/ х, — х, ~!+(/ А, )) е, ) х, — х, !(= =(е,!/А,~,'+е е,+//А,!/е,)(х,— х,//:е!)х,— х,~, что н означает строгую днфференцнруемость р в точке х. Полагая в этих рассуждениях х,=х, х,=х+й, мы получим доказательство теоремы для случая днфференцнруемостн <р по Фреше. Остальные утверждения получаются анализом уже доказанного равенства (2).
° Следующий контрпрнмер показывает, что теорема о суперпозиция не имеет, вообще говоря, места, если ф днфференцируема лишь по Гато. 146 П р и м е р. Пусть Х = У = К', Я = й; ср(х) =(<у,(х,, х,), ср,(х„х,)) =(х,', х,); 1 при у, = у'„у, > О, ( 0 в остальных случаях (ср. с контрпримером в доказательстве предложения 1 и. 2.1.1). Здесь ~р дифференцируема по Фреше в точке (О, О) и даже строго (проверьте!), ф дифференцируема по Гато в (О, 0), однако функция 1 прн х,=)х,~>0, ( 0 в остальных случзях не дифференцируема по Гато в (О, О) (и даже не имеет в этой точке производных по направлениям Ь=(1,1) и Ь=( — 1,1).
Следс та не. Пусть Х и У вЂ” нормированные про- странства. (7 — окрестность точки у в У, ~: У- К диф- ференцируема по Фреше в точке у и ЛЕ.2Г(Х, У'). Тогда ~оЛ: Л-'(У) К дифференцируема по Фреше в точке х=Л-'(у) и (~ о Л)' (х) = Л' (~' о А) (х). (б) До к аз атель ство. В соответствии с определениями К о Л) (х) = )' (Ах) 7' (у) Е .У (У, К) = У' (~ о Л)'(х)=~'(Лх) о А=7"'(у) о А~Я(Х, К)=Х', Теперь имеем для любого Ь Е Х чЛ' ()' о Л) (х), Ь> = ((~' о Л) (х), ЛЬ> = )' (у) 1ЛЬ1 = = (~' (у) о Л) Ь = <~' (у) о Л, Ь> = Я о Л)' (х), Ь>, чем доказано (6). 2.2.3. Теорема о среднем и ее следствия.
Хорошо известно, что для числовых функций одного переменного справедлива теорема Лагранжа, называемая также те оремо й о среднем з паче ни и или формулой конечных приращений: если функция ): '1а, Ь1- Й непрерывна на отрезке (а, Ь) и дифференцируема в интервале (а, Ь), то существует точка с ~ (а, Ь) такая, что ~ (Ь) — 7 (а) = ~' (с) (Ь вЂ” а). (1) 147 Нетрудно убедиться также в том, что формула (1) остается справедливой н для числовых функций )(х), аргумент которых принадлежит произвольному линейному тополо- гическому пространству. В этом случае [а, Ь]=[х(х=а+1(Ь вЂ” а), 0((ч.1», аналогично определяется интервал (а, Ь), а диффереици- руемость можно понимать в смысле Гата. Полагая Ф(г) =Г(а+1(Ь вЂ” а)), мы сводим доказательство к случаю одного вещественного переменного. Совсем не так обстоит дело для векторнозначных функций.
П р и м е р. Пусть отображение )-: В В«определяется равенством Г(1) =(з!п1,— соз1). Тогда для каждого 1 существует (строгая) производная Фреше г' (1) (докажите!): Г (1) [а»=(созг, з)п1)а=(асов(, аз1п1). В то же время для любого с ~ (2п) — ~(0) = 0 ть Г (с) [2п — 0~ = (2л созе, 2п з1пс), так что формула (1) не имеет места. Можно заметить, однако, что сама формула (!) используется в анализе много реже, чем вытекающая нз нее оценка 1)"- (Ь) — /: (а) ( ( М ) Ь вЂ” а (, где М = зпр ) ~' (х) (. Мы покажем сейчас, что в этом более слабом виде утверждение распространяется уже на случай произвольных нормированных пространств.
По традиции оно сохраняет название '«теорема о среднем», хотя, конечно, должно было бы именоваться чгеоремой об оценке конечного приращения». Т е о р е м а о с р е д н е м. Пусть Х и У вЂ” нормированные линейные пространства и открытое множество П с: — Х содержит отрезок [а, Ь». Если функция Г: У вЂ” У дифференцируема но Гата е каждой точке хЕ[а, Ь», то Ц(Ь) — »(а)»( зпр»Г(с)»»Ь — а».
(2) ««пьЧ Доказательство. Возьмем произвольно у»~У и рассмотрим функцию Ф(1) =<у', Г(а+1(Ь вЂ” а))>. В каждой точке отрезка [0,1] эта функция имеет Левон правостороннюю производные: Ф' (() = 1(п) Ф (' а) Ф (0 = а)О 1(а+((-и) (Ь-в))-/(а+( Ь-а)) ) а]Π— Я ° 1- ((а ((Ь вЂ” а)-а(Ь вЂ” а)) — ((О+((Ь вЂ” а))) = — (у', 1т а(О а = — <у', г'(а+((Ь вЂ” а)) [ — (Ь вЂ” а)]>= <у', 1" (а+1(Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а]>, и аналогично Ф;(()=1(п] +" =<у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
