Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Р'(а+((Ь вЂ” а))[Ь вЂ” а]>. а]О Так как эти производные. совпадают, то Ф(() дифференцируема (в обычном смысле) на [О, 1], а потому и не. прерывна на том же отрезке. По формуле Лагранжа существует такое 8й(0, 1), что <у', Г(Ь) — )(а)>=Ф(1) — Ф(0) =Ф'(8) = =<у', Г(а+8(Ь вЂ” ))[Ь- ]Э. Воспользуемся теперь следствием 1 из теоремы Хана— Бенаха (п.
2.1.3), согласно которому для любого элемента у Е 1' найдется линейный функционал у' Е Г' такой, что )у"(=1 и <у', у>=')у). Выбрав именно так функционал у' для элемента у=((Ь) — $(а), получаем '1((Ь) — ):(а)1(=<у', ~(Ь) — ~(а)>= <у', 7' (а+8 (Ь-а)) [Ь-а]> чЯ ч-'1у'((1("' (а+8 (Ь вЂ” а)) (Ц!Ь вЂ” а(а зпр !~ ~'(с) ]1Ь вЂ” а [, гв(а, ь) что и требовалось доказать. ° 'Приведем несколько следствий из теоремы о среднем. Следств не 1, Пусть выполнены все условия теоремы о среднем и Л Е.У(Х, 1').
Тогда 11(Ь) — г(а) — Л(Ь вЂ” а)]~ зпр )/)'(с) — Л)((Ь вЂ” а~,'. (3) св(а, Ь] Доказательство. Применим теорему о среднем к отображению д(х) =( (х) — Лх. ° Следствие 2. Пусть Х и )' — нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки х в Х и отображение иа ~: У )' дифференцируемо по Гата в каждой точке х Е У. Если отображение х э(г(х) непрерывно (в равномерной операторной топологии пространства Ы (Х, У)) в точке х, то отображение г строго дифференцируемо в х (а следовательно, и дифференцируемо по Фреи»е в той же точке).
Доказательство. По заданному и ~ О найдем Ь >О так, чтобы выполнялось соотношение !!х — х]! <Ь вЂ”.ь!Уг(х) — 7г(х)!! < (4) Если !(х,— х! <6 и )/х,— х']<6, то для любого х=х»-1- + !(Ха — х,)Е[х„х»Д,О<!<1, и!! х — х !! = )$х, +» (х, — х,) — х !! = = ]!» (х,— х)+(1 — ») (х» — х) [< < !!!х„— х!!+(1 — 1))/х» — х!! <»Ь+(! — !) Ь = Ь, так что в силУ (4) !!)г(х) — 1'(х)/! и. Применяя следствие 1 для Л=уг(х), получаем !! 1 (х») — [(ха) — [г (х) (х,— х,) !! < ( ЗПР ))РГ (Х) — РГ(х)!!)!!Х» — Ха!!<Е!!Х» — Х,!!, ха !х„л,] что и означает строгую дифференцируемость 1 в х. ° Определение. Пусть Х н )' — нормированные пространства. Отображение Р: У- 1', определенное на некотором открытом подмножестве У»=Х.
принадлежит классу С'(У), если в каждой точке хЕ У оно имеет производную и отображение х «Р'(х) непрерывно (в равномерной операторной топологии). Следствие 2 показывает нам, что здесь можно не оговаривать, какая производная имеется в виду, Этим замечанием постоянно пользуются при проверке диффереицируемости конкретных функционалов: доказывается существование производной Гата и проверяется ее непрерывность, а это уже гарантирует строгую диффереицируемость (и, значит, существование производной Фреше).
Упражнения. Пусть в условиях теоремы о среднем У=Ка и отображение х — »г (х) непрерывно в»»с: Х. Тогда 1 !) ] (ь) — Ца) =~ »г (а+» (0 — а)) в» (ь — о'!. (5) о !оо 2) Существует оператор ЛЕЖ(Х, )'), принадлежащий замкнутой выпуклой оболочке (см. п.
2.б,2) множества ()г(х), х~[а, Ь)) и такой, что ) (Ь) — [ (а) = Л (Ь вЂ” а). 3) Обобщите !) и 2) нз случай произвольного бзнзховв прострзнствз 'т', определив подходящим образом интеграЛ в (б). 2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале. В этом пункте Х, )', 2 — нормированные пространства. Рассмотрим сначала случай отображения, значения которого лежат в произведении )')с2', Р: У )'хЕ, У<:Х.
Поскольку точкой )'хЕ является пара (у, г), отображение Р также состоит из двух компонент: Р(х) =(6 (х), Н (х)), где 6: У вЂ” г', Н: У- Е. Непосредственно изопределений выводится следую[цее Предложение 1. Пусть Х, 1', Š— нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки х в Х, 6: У )', Н: У-г. Для того чтобы отображение Р=(6, Н): У )'хЯ было дифференцируемо в точке х в смысле одного из определений 1 — 5 и. 2.2.1, необходимо и достаточно, чтобы этим ясе свойством обладали 6 и Н. При этом Р'(х) =(6'(х), Н'(х)), или Р'(х, )1) =(6'(х, й), Н'(х, й)).
Перейдем теперь к случаго, когда область определения отображения Р: У вЂ” Я лежит в произведении пространств У~Х ус)'. Определение. Пусть Х, )', Я вЂ” нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки (х, у) в Х х )', Р: У- Е. Если отображение хь-мР(х, у) дифференцируемо в точке х (по Гато, по Фреше или строго), то его производная называется частной производной по х отображебр ния Р в точке (х, у) и обозначается Р„(х, у) или — „(х, у). Аналогично определяется частная производная по у Р„(х, у) = — (х, у). Теорема о полном дифференциале.
Пусть Х, т' и Х вЂ” нормированные пространства, У вЂ” окрест- 151 ность в ХхУ, Р: У- Х вЂ” отображение, имеюи(ее в каж- дой точке (х, у) е ))Г частные п роизводныв Р„(х, у) и Р, (х, у) в смысле Гата. Если отображения (х, у) «Р„(х, у) и (х, у) «-«Р„(х, у) непрерывны в точке (х, у)~ У в равномерной оператор- ной топологии, то Р строго дифференцируема в той же точке и при атом Р'(х, у)та, Ч~=Р (х, у)а+Р„(х у)т).
Доказательство. Задавшнсь произвольным в ~0, выберем 6 > О столь малым, чтобы «ярямоугольная» окрестность У=В(х, Ь)хВ(у, Ь)= ((х, у)11х — х1< б, 11у — у'1 < б) точки (х, у) содержалась в У, н в ней выполнялнсь не- равенства '1Р„(х, у) — Р„(х, у)') < е, 1Р„(х,„у) — Р„(х, у)1< е. (1) Теперь имеем Л= Р (х1 у» ) Р (х» ~ у») Р»(хф у) (х«х») Р» (х1 у) (уд у»)«« =1Р(х„у,) — Р(х„у,) — Р,(х, у)(х,— х,)1+ + 1Р (х„ у,) — Р (х„ у,) — Р„(х, у)(у, — у,)1. Легко видеть, что если точки (х„у,), (х„у,) лежат в У, то и (х„ у,) Е У и, более того, оба отрезка 1(х„ у,), (х„ у,)1 н 1(х„у,), (х,', у»)1 содержатся в У~У.
Поэтому функ. цин х «Р(х, у,) и 'у««Р(х„у) днфференцнруемы по Гата: первая имеет производную Р, на 1х„х»1, вторая Р„ на 1у„у1. Применяя теорему о среднем к этим функ"- циям (в форме неравенства (3) п. 2.2.3 с соответствую- щими Л), получаем в силу (1) (х„, у,) ч У, (х„у,) ч У =г ~~~й~~< знр ЛР„($, у,) — Р„(х, у))1х,— х,11).( Е«1м,«,1 + зцр ЦР„(хм»)) — Р (х, у)Ц)у,— у»1) ч«1«, »1 < е ~,' х,— х,)+а~) у,— у,(. ° С л е д с т в и е.
Для того чтобь» Р ~ С' (У ), необходимо и достаточно, чтобы в У частные производные Р, и Р были непрерывны, 1Ы Как предложение 1, так и теорема о полном дифференциале без труда обобщаются на случай произведения любого конечного числа пространств. Остановимся еще на конечномерном случае. Пусть Р () Й"' определена на открытом множестве У~=(1". Поскольку естественным образом й"=Их...хц, й"=йх...х)1, ш раз х раз можно воспользоваться как предложением 1, так и тео- ремой о полном дифференциале. Если Р, (х) х,(х) Р,(хь ..., х„) Р(х) . г,(хд„., х,) Р~ (хр, ..., х„) Р„(х) л, Ь, и Ь= то ~ — ' (х)а / ( 1 / х1 (х) (х) Р'(х) Рр)= Рщ (х) [Ь) х дг 2.
„ д» (х) Ьг хт дР, — ' (х) дх, — (х) дР, дх„ = — (Х) й. ал — — (х) дх, дР, — (х) ах„ Матрица порядка тха — ',„'()=®()) называется хипприцеб Якоби отображения Р в точке х. Легко видеть, что это есть не что иное, как матрица линейного оператора Р'(х): К" Й", от))ечакацая стандартным базисам в )с" и К". 1И В классическом анализе обычно обозначают Нх, Нх„ и формула (2) имеет вид и с(г" (х) =.
~~'„~ '(х) с(ху. Доказанное в этом пункте утверждение является обобщением хорошо известной теоремы о том, что существование непрерывных частных производных является достаточным условием дифференцнруемостн функции нескольких переменных. 2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора. В этом пункте Х и )' — нормированные пространства, (1 — открытое подмножество в Х. Дифференцируемость всюду понимается в смысле Фреше. Если отображение (: (У вЂ” 'г' днфференцируемо в каждой точке хЕ У, то определено отображение )'(х): У— — .У(Х, )'). Поскольку У(Х, 1') также является нормированным пространством, можно ставить вопрос о существования второй производной 1" (х) = у')' (х) Е.У(Х, .У(Х, )')).
По индукции определяются производные высших порядков: если в (1 уже определена )'" "(х), то ('"'(х) = (('" ")'(х) Е.У(Х, ..., .У(Х, 1') ...). л раз Определение 1. Пусть ): У вЂ” 1'. Будем говорить, что 1'"' существует в точке хЕУ, если д некоторой окрестности этой точки существуют 1'(х), )" (х), ... )'" "(х) и существует ~во(х).
Если ~'"'(х) существует в каждой точке хЕУ и отображение х р1'"' (х) непрерывно в равномерной (по рожденной нормой) топологии пространства .У(Л, ...,.У(Х, )')...), то 1" называется отображением класса С" (У), В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства полилинейных непрерывных отображений (см. пример 2 в п. 2.2.1). 154 П р е д л о ж е н и е 1. Нормированные пространства .Ул(Х, Ул(Х, 1')) и .Ул' (Х, У) изометрично изоморфны. Доказательство. Если пЕ.Ул(Х, .У'"(Х, У)), то п(х„..., хл) Е.У'"(Х, У) и равенство П(х„..., хл, х„к„..., хл, ) =- = и (хм .., хл) [ха+„..., хл+ 1 (1) определяет полнлинейное отображение П пространства Хл'"=Хх...
хХ в У. Обратно, всякое такое отобрал.нл раз жение П определяет при помощи равенства (1) полилинейное отображение и пространства Х" = Х х... х Х л раз в пространство полилинейных отображений Хл в У Остается заметить, что ((П ~ = енр 1П (х„..., хл, )',/= !!к,!!< ! !! кл+ д 9 ~ ! — зпр зпр п(х„..., хл)[хл+„..., х„[= !!кз!!< ! !!хл+ !!< ! Зкл!!а ! !!х +л!!<! знр 1п (х„..., х„)() =(п~~. ° /! х, !! < ! !1кл!!~ ! Следствие 1..У(Х, .У(Х, ..., .У(Х, У) ...)) изол раз метрично изоморфно .Ул(Х, У).
Таким образом, можно считать, что ('"! (х) Е.9'л(Х, 1'). ' Значение этого полилинейного отображения на векторах ($„.а., $,) будем обозначать [!лз(х)[5„..., $„1. В соответствии с индуктивным определением )зл! (х ) 1$ Ищ ~ "( +~~!)1~ ., ~ 1 Рл ч(~а)1~ ...,~ 1 (2) лгр а Для произвольного П Е.Ул(Х, У) и произвольного набора различных индексов (з„..., зз), каждый из которых принимает одно из значений 1, 2, ..., и, обозначим Пн . (х;й„..., йз)=П(х„..., хл)~ х, саг з=з, г, .„з, х =х, а за!а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
