Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Кроме того, с=Ь,— а,(С, так как в противном случае Ь,— а,=а— — а,— Ь+Ь, для некоторых а~А и 6~В, откуда а=Ь~ ЕА /) В, т. е. эти множества пересекаются, вопреки условию. Б) Обозначим через р(х) функцию Минковского множества С. Согласно предложению 1 и. 2.1.3 р(х) — неотрицательная выпуклая однородная и непрерывная в точке О. Кроме того, р(х) ~41 для всех хЕС.
В) На подпространстве /.=(х(х=ас=а(Ь,— а,), а~ 1Ц определим линейный функционал 1, полагая <1, ас> = =ар(с). Тогда для а) 0 имеем (1, ас) =ар(с) =р(ас), а для а~(0 <1, ас)=ар(с)«0««р(ас), поскольку р( ) неотрицательна. Следовательно, для всех хЕ/. выполняется неравенство <1, х> ( р (х) и по теореме Хана— Банаха ! можно продолжить до линейного функционала Л такого, что <Л, ас>=<1, ас>=ар(с), аЕК (3) <Л, х>(р(х), х~Х. (4) Поскольку р( ) непрерывна в О, из (4) следует непрерывность функционала Л (предложение 2 п.
2.1.3). Г) Для любых а ~ А и Ь й В имеем <Л, а — Ь>=<Л, а — а,— Ь+Ь,>+<Л, а,— Ь,>« х=. р (а — а, — Ь+ Ьо) + (1, ( — 1) (Ьо — аб) > «1- — р (Ьо — ап), поскольку а — а,— Ь+Ь,ЕС, а на С функция р(х)«=1; кроме того, мы использовали (4). Но при 0(1 1 точка (Ь,— а,)/(=с/( не может принадлежать множеству С, ибо С выпукло и содержит О, а на 10, с/11 лежит точка с = =Ь,— а,(С. Поэтому р (Ь, — а,) = 1п1 (1 > 0 ~ — '" ~ С~ ) 1. (5) Следовательно, <Л, а — Ь> «! — р(Ь,— а,) «(О для любых аЕА и Ь~ В, Б нераденстве <Л, а> -<Л, Ь> аЕА и ЬЕВ можно выбирать независимо, поэтому зпр<Л, а> 1п1(Л, Ь).
ячл Ыв Кроме того, согласно (3) н (5) <Л, Ь, — а„> = р (Б, — а,) ) 1, так что Л~О. Значит, Л разделяет А н В. ° Замечание. В и. 1.3.3 мы уже доказали теорему отделимости в случае конечномерного пространства Х. Сравнивая ее условия с условиями только что доказанной теоремы, мы видим, что в конечномерном случае можно опустить условие открытости А (то, что в и. 1.3.3 одно нз множеств было точкой,— не существенно). Условна первой теоремы отделимости можно ослабить н требовать, чтобы [п1 А ~йз' н (1п1А)[)В=Э'.
Однако совсем обойтись без существования внутренних точек хотя бы у одного нз множеств нельзя. У и р а ж н е н и л. 1. !!усть А — выпуклое множество в линейном топологическом пространстве Х, 1п1 А Ф Я и х' Е Х'. Докажите, что аор <х, х>= апр <хь, х> (6) хел хе~а!А 2 Выведите иэ (6) теорему отделимости для случая выпуклых А и В, таких, что 1п1 А ~ я, В ~ я, В()!п! А = сн.
3, Докажите, что в пространстве Х= 1а компактный эллипсоид А= х=[ха) Е 1а ~ ~ч"., йа4~! [а=! и луч В=(х=[ха)[ха=1!й, 1 ) О) нельзя разделить никаким непрерывным линейвым функционалом. Втора я теорема отдел ям остн. Пусть Х вЂ” локально выпуклое линейное топологическое пространство '[КФ, стр. 1Б91, А — нвпустсе, замкнутое выпуклое подмножество в Х и хЕХ вЂ” точка, не принадлежащая А. Тогда найдется ненулевой линейный непрерывный функционал, строго разделякиций А и х. Доказательство. Поскольку хссА н А замкнуто, существует окрестность УЭх такая, что А О У=-д.
Ввиду локальной выпуклости Х существует выпуклая окрестность В ~ У точки х. Ясно, что ВПА =йз и по первой теореме отдеднмостн существует ненулевой функцноналх', разделяющий А н В: зпр <х', х>~ 1п1 <х'„х>. хел еез Остается заметать, что [п[ <х*, х> < <х", х>, хез ибо нижняя грань ненулевого линейного функционала х' не может достигаться во внутренней точке х множества В. ° 0 и р е д е л е н и е 2. А ннулятором Ах подмножества Х линейного пространства Х называется множество тех линейных функционалов 1 на Х, для которых <Е х>=0 для всех хЕА. Заметим, что Ах всегда содержит ОС Х'.
Лемма о нетривиальности а ниулятора. Пусть Š— замкнутое надпространство локально выпуклого линейного топологического пространства Х, причем Е~Х. Тогда аннулятор Ех содержит ненулевой злемент х'Е Х'. Доказательство. Возьмем любую точку, х(Е. По второй теореме отделимости существует ненулевой функционал х" ЕХ', строго разделяющий х и Е (Š— подпространство линейного пространства и, следовательно, выпукло): (7) зпр <х', х> < (х', х>.
«чс Если бы существовало х, ~ Е, для которого <х', х,> 4=0 то, поскольку их, ЕЕ для любого яЕ й, было бы зпр<х*, х>) зпр(х', ссх,>=+ оо, ««ь «еа вопреки (7). Следовательно, <х', х>=0 на Е, и потому х'ч Ех. ° 2А.5. Теорема Банаха об обратном операторе и лемма о правом обратном отображении. Вторым принципом линейного анализа является следующая теорема: Теорема Б а паха об обратном операторе.
Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л: Х У вЂ” непрерывный линейный оператор. Если Л является моно. морфизмом, т. е. Кег Л = ) х ! Лх = 0) = ) 0), и зпиморфизмом, т. е. 1гпЛ=)у)у=Лх, хЕХ)=К, то Л вЂ” изоморфизм между Х и У, т. е. суи1ествует ли'нейный непрерывный оператор М = Л-'.
У вЂ” Х пиисой, что МЛ=7х, ЛМ=7т. Доказательство [КФ, стр. 2251. В нашем курсе будет многократно использовано такое следствие теоремы Банаха: Лемма о правом обратном отображении. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л вЂ” непрерывный линейный оператор из Х в У, являющийся впиморфизмом. Тогда существует отображение М: 1' — Х (вообще говоря, разрывное и нелинейное), удовлетворяюи4ее условиям ЛьМ 1, 1М (у) () ~ С1у '1 для некоторого С > О.
Отметим, что в силу второго условия М вЂ непрерывное в нуле отображение. Доказательство. Оператор Л непрерывен, следовательно, его ядро Кег Л, являющееся прообразом точки нуль, будет замкнутым подпространством. По теореме о фактор-пространстве (п. 2.1.2) пространство Х~Кег Л банахово. Определим оператор Л: Х/КегЛ вЂ” У„положив Л$ =Лх на классе смежности $ = пх.
Это определение корректно: х„х,б$ >их, = пх,=$=ах,— х,~КегЛ~ м~ Лх, = Лх,. Оператор Л лннеен: если пхь = $п 1= 1, 2, то Л(а1$,+аь$,) Л(а,х,+а,х,) = =а,Лх, +а,Лх,=а,Л$;+а,Л$,. Онаратор Л непрерывен: для любого хЕ$ 1Л$1=1Лх ~~ < 3 Л Д х 1, ~Л$1а!;1Л11п11х1=1Л~1$1х/нег л Наконец, 'оиератор Л биективен (взаимно однозначен). Действительно, Л вЂ” эпнморфнзм вместе с Л: туб У йх а Х, Лх=у=Ф для $=п(х), Л$=у.
С другой стороны, КегЛ=О: Л$=0, пх=$~Лх=О~х~КегЛ=Ф$=0. Итак, доказано, что оператор Л есть непрерывный линейный биектнвнйй оператор из ХЯегЛ в У. Потеореме Банаха об обратном операторе существует непрерывный обратный к Л оператор М =Л-~, М: У вЂ” Х/Кег Л. Для элемента $ б Му найдем в соответствии с (4) п. 2.1.2 такой элемент х=мх($), что хЕ$ и ~х~~2Д~х(к гл. 126 Положим М(у) х($).
В итоге (Л о М) (у) = Лх ($) = Л$ = ЛМу = у, 1(М(у)(=(»(й)(ел 2(4(х)кесл 2(МУ(х~кеглк -2(М1'1у(. В 2.1.6. Лемма о замкнутости образа. Пусть Х, )' и 2— банаховы пространства, А: Х- 1' и В: Х- 2 — линей- ные непрерывные операторы.
Равенство Сх=(Ах, Вх) определяетлинейныйнепрерывныйоператорС: Х 1'хЯ. У и р а ис и е и и е. Докажите, что если иври а в УХ 2 определяется рааеиством (1) и. 2А.2, то 1С1=так(1(А1, 1В1). Лемма о замкнутости образа. Если подпро- странство 1т А замкнуто в 1' и надпространство В Кег А ') замкнуто а Я, то подпространстао 1щ С замкнуто в )л х Я. до к аз а тел ь ство. Замкнутое подпространство )л= =1щА банахова пространства К само является банахо- вым пространством и А: Х- у' — эпиморфизм.
По лемме нэ п. 2.1.5 существует правое обратное к А отображе- ние. М: г' — Х. Пусть (у, г) принадлежит замыканию образа оператора С. Это означает, что найдется после- довательность (х„~п) 1) такая, что у= 1!щ Ах„, г * л -е л 11го Вх„. Полож~м л -е ег $„= М (Ах.— у) (убей как предел элементов Ах„~)'). Учитывая свойства М, получаем А (х„— $„) = Ах„— (А о М) (Ах„— у) = у, (ф,(=(М(А»,— у)( =С(А»„— у( — ~О Поэтому В$„- О и 1пп В(х„— 3„) = 1пп Вхл=а, т. е. г л-еФ л-ел принадлежит замыканию множества Х = Д= В»~ Ах=у). Зто множество является сдвигом подпространства В Кег А: ~„~, Е 2' =Ф ~~ — — Вхо Ах; = у, 1 =- 1, 2 ~ — =В(» — х), А(х — «)=О г)гь =ь +(ь — ьь), ь,ЕЕ, ~, ьгЕВКегА. ') То есть образ ядра оператора А при отображаиии В.
5 В М. Алексеее л да. Но ВКегА замкнуто по условию, значит, замкнуто и множество г.. Следовательно, г, принадлежащий замыканию г, принадлежит и самому Х, что означает существование элемента х, для которого Ах= — у, Вх=г. Итак, (у, г) Е-1ш С. ° 2.!.7. Лемма об аннуляторе ядра регулярного оператора, Пусть Х, У вЂ” банахоеы пространства, А: Х вЂ” У— линейный непрерывный зпиморфизгл. Тогда (Кег А) х =-1гп А*. Доказательство. А) Пусть х*Е1ш А'ФФх*= А'у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
