Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 16
Текст из файла (страница 16)
пения (12) с начальным условием х(т)=с). По теореме о зависимости решений от начальяых данных существует такое ез, что Х(с, с)) определено при ) с) — х(т)( < еь тчьгец Сс и является непрерывно дифференцируемой функцией. Согласно (8) и (16), а также в силу теоремы единственности х„(С) = Х (С, с) (ь)). Снова, как суперпозяция непрерывно диффереицяруемых функций, х .(С) непрерывно диффереи- цнРУема по (с, Ц пРЯ т ж;!~ с, и Оч й~)сз, где хз выбРано так, чтобы прн О~-)с~)сз выполнялось неравенство ) с)(ь) — х (т)( < е,.
Полагая )сз=ш!п()с„э,з), мм видим, что верно второе утверждение леммы. Переходя от уравнения (12) к эквивалентному интегральному уравнению, имеем с учетом (!6) с х „(С)» й (д) + ~ ср (а, ха (а), й (а)) с(а. дифференцируя это уравнение по )с и полагая затем )с=О и обо. виачая, как и в условии леммы, у(с)= а— ьха(С), находим !ь»о' у(С)=т)'(О)+$ !рз (а, х(а), й(а))у(а)оа, »91 Зто иитегралъиое уравиеиие зквивалеятио уравиеиию (9) с вачальиым условием у(т)=т!' (О), совпадающим с (1О) ввиду (21).
Если упрзвлеиие й(.) — кусочио-иепрерывиая фуикция, то поступаем следующим образом. Для простоты пусть точек разрыва две, скажем, а„и аз, и т (в которой й(.) должио быть иепрерывиым) расположеиа между иими: гз < а, < т < аз < Г,. В полосе Ге~!~аз системы (11) и (!2) (в котовых при !=аз иужио считать управлеиие 'рзвиым его предельному зиачеиию й(пт — О)= йщ й(Г))совпадают в,-о и по теореме едииствеииости хд(!) = х(!). Теперь перехпдим в. полосу а,щ; !~аз (своза полагая иа ее граиицах управлеиве равиым предельиым зиачеииям й(аз+О) при !=а, и й(аз — О) пРи !=аз).
здесь мм Решаем УРавиеива (!!) и (12) с иачальиым условием х-х(аз). Наши предыдущие утверждения примеиимы, и мы убеждаемся в иепрерывиой диффереицируемости хь(!) по д. Накоиец, в полосе аза !~ !, (с тем же соглзшеиием о зиачеиии упрзвлеиия при !=аз) решаем паши диффереициальиые уравяеиия с иачальиыми условиями хх(аз) в х(аз). Еще раз ссылаясь иа теорему о зависимости решеиия от иачальиых даииых, доказываем иепрерызиую диффереицируемость хь(!) по з при аз~ ! а; ! и вычисляем у(г)=о зх! (!)~ тем же способом, что и раиьше.
° !а=о Б) Лемма о приращении функционала. Положим )((Х) = Я (хь ( ), иь( )) и докажем, что эта функции диффереицируема справа в точке Х = О. Пусть р( ) — решение системы (6) с краевым условием (7). Тогда Х'(+О)-дтд(хь( ), иь( )1, „=и( ° о). еде а(т, о) ~(т, х(т), о) — )(т, х(т), й(т))— — р(т) [!р(т, х(т), о) — !р(т, х(т), и(т))). (23) До к а з а тел ь от и о. Поскольку 2(3~) — )((О) =) г(г, х1,(!), их(!)) Е! — ~ ! (г, х(!), й(!)) Ег= $ [! (г, хх(!), й(!)) — г'(г, х(!), й(!))1М+ 1 + ) [((!.
хх(!) ь) — ((!. х(!). й(г)1 Е!. 2' (О) Псп ~ ~) ~ С (С, «ь(С), и (С)) й ~ + х(х)-х(0) д Р т +Пгп х ( Р(С, х„(С), о) — С(С, х(С), й(С)1бС. ь)о Поскольку по лемме и. А) х (С) непрерывно диффереипнруема по Х, в первом члене применимо обычное правило дифференцирования под Знаком интеграла, а во втором воспользуемся теореюй о среднем, после чего с, Х'(+0)=~)х(С, ХЯ, И(С)) — ХЬ(С)~ й+ + Ипг [с(с, хь(с), и) — с(с, х(с), й(с)) ь)о сс ~ Сх (С, х(С), и(С)) р(С) с(С+С(т, х(т), о)-С(т,' х[т), й(т)) (24) (здесь мы воспользовались тем, что т — Х~с~т и потому с — ьт; хь(с) — -ьх(т) в силу первого утверждения леммы п, А); р(С) обозна.
чает то же, что и в этой лемме, далее, р(.) удовлетворяет системе (Б), ° р( ) удовлетворяет сиг стеме (9). Поэтому жрЯюЯ=рЯрЯ+рЯрЯ- -.— р(су~. (с) у(с)+). (с) р(с)+р(с) ф. (с) р(с)-7.(с) р(с). Интегрируя это равенство в пределах от т до Сг и учитывая краевое условие (7) для р( ) н условие (!О) для р( ), получаем с, ЙЯиЯбс= ( — [р(с) у(О) й=рЯрЯ~ пй = — р(т) [~р(т, х(т), о)-~р(т, х(т), й(т))).
(25) Сопоставив (24), (25) н (23), получаем, что Х'(+0)=а(т, и). ф В) Завершение доказательства. Если правый конец свободен, то в силу леммы и. А) всякая влемен- тарная вариация допустима (при достаточно малом Х). Значит, если (х( ), и( )) — оптимальный процесс, то при малых Х л(хь( ), иь( )) ~ Ю (х( ), и( ))ез)((Х)~)((0) =Ф)( (-[-0)а0. Применив лемму п. Б) получим, что условие а(т, п)~0 необходимо для оптимальности (х( ), и( )).
Но т~ 7, и и Е 11 были произвольны. Мы доказали, следовательно, что для любого 1, принадлежащего множеству точек непрерывности управления й( ), и для любого и ЕП выполнено неравенство РЯЧ(1 х(1), и) — 1(1, х(1), и)( ~~Р(г)ф(1, х(1), й(1)) — )(Е, х(Г), й(1)), равносильное неравенству а(1, и) ~ 0 и (11). Теорема полностью доказана. й 1.6. Решение задач Задачи, о которых говорилось в начале главы,— задачи, поставленные с разными целями и в разные времена,— здесь будут рассмотрены единообразно, по одной стандартной схеме, диктуемой принципом Лагранжа.
Эта схема состоит из шести этапов: 1. Запись формализованной задачи и обсуждение проблемы существования и единственности решения. 2. Составление функции Лагранжа. 3. Применение принципа Лагранжа. 4. Исследование возможности 1,=0. 5. Нахождение стационарных точек, т. е. решение уравнений, вытекающих из принципа Лагранжа. 6. Исследование стационарных точек, выбор решения и запись ответа. Во всех задачах, о которых пойдет речь, принцип Лагранжа является строго обоснованной теоремой либо уже доказанной, либо доказываемой в последукхцих главах. Применимость единой схемы к задачам столь разного содержания подчеркивает универсальность этого принципа. Разумеется, рассматривая другие задачи, исследоваТели могут столкнуться с ситуациями, которые не подходят ни под одну из известных конкретных схем (классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, линейное программирование и т.
п.). Тем не менее и здесь принцип Лагранжа в том или ином его понимании может оказаться верным или, по крайней мере, может быть полезным ориентиром. Понимание общих идей и ситуаций, в которых он применим,— о цих речь пойдет в гл. 1П и 1Ч вЂ” может помочь найти необходимые условия экстремума и в измененной обстановке. Впрочем, не менее важно отдавать себе отчет и в том, что принцип Лагранжа верен не всегда, и потому опасно применять его бездумно.
1.6.1. Геометрические экстремальные задачи. Здесь решены все задачи, поставленные в п. 1.1.2 и формализованные в п. 1.2.2. Первый этап предложенной схемы предполагает обсуждение вопроса о существовании реше'ния. Геометрические задачи этого пункта конечномерны, и существование решения в них обеспечивает следующая теорема. Теорема Вейерштрасса. Пувть функция 7': К"- 11 непрерывна и для некоторого а множество .У ~=(х~~(х)(сс) непусто и ограничено. Тогда решение задачи 1 (х) 1п1 суи1ествует. Дока з а тельство этой теоремы очевидным образом следует из классической теоремы Вейерштрасса о существовании минимума непрерывной функции на ограниченном н замкнутом подмножестве в Кн [14, т.
1, с. 176, 370), [9, т. 1; с. 234), ибо множество х„7', очевидно, замкнуто. Переходим к решению задач. Задача Евклида о вписанном параллелограмме. Эта задача была формализована так (см. (1) п. 1.2.2): 1. ), (х) = х (х — Ь) — (п1, 0 ( х < Ь. Мы опустили несущественный множитель Н1Ь и свели задачу к задаче минимизации. Функция 7', непрерывна, отрезок [О, Ь) ограничен и замкнут. По теореме Вейерштрасса решение задачи существует.
Пусть это решение х. Ясно, что х чь 0 и х ~ Ь, ибо ), (0) =1, (Ь) = О. а функция принимает и отрицательные значения. Значит, хЕ(0, Ь). Функция 7,— гладкая. Поэтому надо искать стационарные точки в задаче 1,(х) (п1. 2 — 5. Д (х) = 0 ~ х = Ы2. 6. В силу единственности стационарной точки х= =Ь,26[0, Ь] есть решение задачи, т.
е. искомый параллелограмм АЬЕР характеризуется тем, что ! АР(=( АС р2, т.е. Р есть середина отрезка [А, С). Этот факт и был установлен в п, 1.1.2 геометрическим путем. П р и м е ч а н и е. Наша задача оказалась элементарной гладкой задачей. Поэтому функция Лагранжа не 95 Я„, = 0 =о Х, ( х,— $,) + Х,х„'а,' = О, .У„, О~ Х«(х,— $,)+ Х,х,(а«= О. 4. Пусть й«0. Тогда Х,чьО (множители Лагранжа не равны нулю одновременно!). Значит, из 3-го этапа следует, что х,=х,=О~~,(О, 0) 1,(х„х,) Очь1. Итак, 1,чь0, и можно положить ь«=*1. Обозначим прн этом А =А. 5. (Для простоты ограничиваемся случаем, когда йд,чьО). 1=1,2иОХ, — ', 1 1, 2, М («1+А) (х, — $,) + Ах~~а«, О, Подставляя в уравнения эллипса, получаем выписывалась и пп.
2 — 5 «слилисыь Была использована теорема Ферма (п. 1 3.1). Задача Ар хи меда об изопифанных сегментах шаров (и. 1.2.1). Решение здесь совершенно аналогично задаче Евклида и поэтому приводится без комментариев, 1. 1,(А)=на/2 — па«(3 зпр; 0(й()гса~л. 2 — 5. )1 (Ь) = 0 ио й = ~' а/2л. б.
Значение 1«в нуле равно нулю, а в точке 1~нот меньше, чем значение в стационарной точке )' а!2л. Значит, Ь=)'а(2я есть решение задачи. Вспомнив, что а= 2пЯ, получаем А=Я, т. е. искомый шаровой сегмент является тлуи«аром (высота равна радиусу). Задач а А полл они я о кратчайшем расстоянии от точки до эллипса. Она была формализована так (см. (5) и. 1.2.2): 1. 1,(х„ х,) = (х, — а,)' + (х, †,)« - ш1; 1, (х„ 'х,) (х,Га )«+(х,(а,)«=1. Эллипс — ограниченное и замкнутое множество, функция 1, непрерывна, значит, решение х=(х„х,) по теореме Вейерштрасса существует.
Функции ), и 1,— гладкие. 2..У = А«((х, — $,)'+(х, — $«)')+ Х, ((х„(а,)'+ (х«(а«)' — 1). 6. Число стапионарных точек задачи (т. е, точек, соответствующих тем Х, которые удовлетворяют уравнению'(1)) не больше четырех (см. рис, 26, неравенство !р(О)=Ц~а»-~-Ц~а1) 1 показывает, что ф(Х) изображена для точки ($„$э), лежащей вне эллипса), Для р/Я) полного решения задачи надо решить уравнение (1), получить Х„ найти со- 1 ответствующие точки ! ! х (Х/), подставить этн точ- ! ки в / и найти наимень- ! ! ! шее нз полученных чисел.
П р н меч а н н я. 1. Задача 1 — это гладкая зада- ! ча с ограничением типа ра- к« ./г/ 0 А т венства. В пп. 2 — 5 применялось правило множителей Лагранжа (п. 1.3.2). 2. Соотношения (х/ — $/)+ьл,/а»,=О имеют очевидный геометрический смысл: вектор $ — х, соединяющий точку $ с минимальной точкой х, пропорционален вектору-градиенту функции ~, в точке х, т.е. вектор $ — х лежит на нормали к эллипсу. Этот факт был установлен впервые Аполлонием. 3.
Выведем из полученных нами соотношений уравнение кривой, «разделяющей» те точки $, к которым можно провести две нормали, от точек, к которым можно провести четыре нормали. Очевидно, что это разделение происходит для Х, удовлетворяющих соотношению (1), для которых й»а» »» $ ф'(Х)= — ' — — « — ' — =О.
ХЕ( — а,', — а»). (2) (а»»+Х)» (А+А)~ Из (2) имеем а,'+ Х А (й,а,) /', /4+ Х вЂ” А ($»а») /', где А = (а, '— а»»)/(($,а,) /*+ Д»а,)'/'). Подставляя в (1), получаем уравнение разделки»з1ей кривой (э»а») /'+(а»а ) /'= (а»» — а1) /' 4 в. и. а»»««»е» ° аэ. 97 Это — уравнение астроиды (см. рис. 7 в $ 1.1). Вне астроиды каждая точка имеет две нормали, внутри нее — четыре, на самой астроиде — три (за исключением вершин', где имеется две нормали).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
