Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Наконец, функции, удовлетворякяцие условию (11), дифференцируемы почти всюду, причем (х(1), у(1)) Е А. На эту ситуацию оказывается возможным распространить принцип максимума, и, следовательно, к решению (х(.), у(.)) применимы приведенные выше рассуждения. 1.6.6. Задача о браяистохроне и некоторые ааздчи геометрии. Рассмотрим следующую серию простейших задач классического вариационного исчисления: 1. ч Ю(у( )) = [ уч)' 1+у'*г(х 1п1; у(х,)=у„у(х,) =у,.
(1) 11В В нее попадает несколько интересных задач: при с!=О получается задача о кратчайших линияХ на плоскости, прн а= — 1/2 — задача о брахистохроне (см. п. 1,2.4), при сс 1 †зада о минимальной поверхности вращения; Х и и а= — 1 — задача а кратчайших линиях на плоскости ббачевского в интерпретации Пуанкаре (полуплоскость Пуанкаре [13, с. 131 — 132!). Интегрант ~„у4 1+у" взадачах(1) не зависитотх. Поэтому уравнение Эйлера (п. 1.4.1) имеет интеграл энергии, из которого мы и находим все экстремали, лежащие в верхней полуплоскости. 2 — 4. у~ „— ~ =сопз! ~ у-"" (1+у") 0'. (2) 5. Сначала разберем случай отрицательных вк а — (1, (!>О. Тогда = Ь=> — С,=~ 'а" .
(3) за лу рй эз ЕР— уч Делаем замену р ~В у'в =!)'з!и' ! ~ у = !амза!пмз ! с~ ау=-а-з!п~Ф-~!созтб!. Подставляя полученные выражения в (3), приходим к следующим соотношениям (бмз = С)." у=Сз!поз 1, х=С,+ — ~ з)пмзз~(з. С г в В частности, если р= 1/2 (брахистохрона), получается семейство циклоид, заданных в параметрической форме (т=2!): у(т,С, С,)= — (1 — созт), х(т, С, С,) =С,+ — (т — зщт).
Если р= 1 (полуплоскость Пуанкаре), получаем семейство полуокружностей у(1, С, С,)=Сз1п(, х(т, С, С,) =С,— Ссоз! =~ с~ (х — С,)'+ у' = С'. Из серии и) О решим лишь пример о минимальной поверхности вращения. Из (2) имеем ну = дх. УР~д~ — ! 113 С помощью подстановки Ру =сЫ => Рбу = зЫЖ, )'Р»у» — 1 =-зЫ находим двупараметрическое семейство цепных т!иний: р =,—, сй,(Рх+Р,) ! Получив во всех случаях двупараметрическое семейство экстремалей (решений уравнений Эйлера), нужно теперь подобрать постоянные интегрирования так, чтобы удовлетворялись краевые условия у(х,) = у;, и перейти к этапу 6 — исследованию найденных решений и записи ответа. Это, однако, здесь сделано не будет. Вспомнив, что вдобавок мы снова уклонились от обсуждения вопроса о существовании решения, читатель с еще большим основанием, чем в предыдущем пункте, вправе заявить: «Неладно что-то в оптимальном королевстве!» И действительно: При а > О задача (1) может не иметь обычного решения.
Например, если в задаче о минимальной поверхности вращения (а=1) граничные условия симметричны (у( — х,)=у(х,)), то надлежит искать симметричную экстремаль, т. е. у=сЫ)АР. Все экстремали этого вида рис. зо. получаются из экстремали у=сЬх гомо- тетией, и в совокупности они заполняют только угол, а не всю полуплоскость (рис. 30). Поэтому при достаточно большом х, задача, скажем, с условиями у( — х«) =у(х,) =1, неразрешима. При и < О интегрант в задаче (1) стремится к бесконечности при у- О. Поэтому, например, задача о брахистохроне а= — 1/2 с обычными краевыми условиями у (х,) = О, у (х,) > О (п. 1.1.4) вообще не укладывается в стандартные рамки. Для того чтобы получить полное решение задач серии (1), нужна дополнительная работа.
ГЛАВА !! АППАРАТ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Читатель познакомился с различными постановками экстремальных задач, с основными понятиями и общими идеями, а также получил представление о некоторых приемах решения этих задач. Теперь мы переходим к последовательному и достаточно формальному изложению соответствующей математической теории. Общность развиваемой теории и ее сравнительная простота оказались возможными за счет свободного нс. пользовация фактов и понятий, относящихся к смежным разделам математики, в первую очередь функционального анализа. Здесь они изложены в нужной нам форме.
Значительную часть главы составляет то, что можно было бы назвать «Элементами дифференциального исчис. ленин». $ 2,1. Предварительные сведения из функционального анализа В этом параграфе рассказывается о тех фактах функционального анализа, на которые мы далее опираемся при построении теории экстремальных задач. Доказательства, которые можно прочесть в учебнике А.
Н. Колмогорова и С. В. Фомина !КФ1, мы, как правило, опускаем. 2.1.1. Линейные нормированные и банаховы пространства. Напомним, что линейное пространство Х называется нор»«ированным, если на Х определен функционал Н: Х вЂ” П, называемый нормой и удовлетворяющий трем 115 условням: а) 1х//)О, ттх~Х н 1х1=0 Фрх=О, б) '1ах'(=~а)1х!~, чЪЕХ, ч'сс~)1, 1х, +ха//~(!~х,))+1ха), тУх„ха Е Х- в) Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно в Х, мы пишем 1 '1л.
Всякое нормированное пространство становятся мептрическила, если ввести в нем расстоянне Р(х„х,) =1~х,— хз'1. Полное (относнтельно введенного расстояния) линейное нормированное пространство называется банахоеым пространством. Упражнения. Пусть Х=де. Какие функцир из перечисленнык ниже и при каких зивченияк параметров задают норму в Хр 1. М(х)=О хйл+~хэ)Р)т(л, О < Р <ю; 2. )У (х)=)ат1хэ+птаха ~+) ажхз+аюха й 3. Ф(х)=так Цаых,+птаха), )аз1хт+аазхз)). 4. Описать все нормы в йа., 5.
Доказать, что все нормы в й' эквивалентны. (Нормы )т', и Фе называются акеаааленжнмми, если существуют такие с) О и С > О, что сл1д(х)~Фа(хрж;СМт(х), тхЕХ.) У пр аж не и не б, Найти нормы в пространствах, сопряженным к описанным в упражнении 1 — 4. Для нас важнейшую роль будут играть следующие банаховы пространства.
П р н ме р 1. Пространство С(К. ж") непрерывных вектор-функций х( ): К- 11",, заданных на компакте К 1!6 Совокупность Х' всех линейных непрерывных функцноналов на Х (сопряженное к Х пространство) является банаховым пространством, если задать в Х' норму !(х'))х.= зпр Сх,х>, 1')х< ' где <х', х> означает результат применения к х функцнонала х'.
Подробнее об этом см. 1КФ, гл. 1Ч, $21. с нормой '1 х ( ) ,'1, = т ах ! х (7) !. !ек Пространство С(К, К) мы обозначаем просто С(К). Пример 2. Пространство С" ([г„1г1, й") г раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций х ( ): (8е„ст) Й', заданныд на конечном отрезке (г„7Д~К, с нормой '1 х ( ) (, = тах Я х ( ) 1„.. „~ хьо ( ° ) 1е).
Пространство С'((1„Я П) мы Обозначаем С" ()г„(„1). У п р а ж н е н и я. 7. Доказать, что всякое конечномерное нормированное пространство является банаковым. 8. Доказать, что единичный шар конечномерного нормирован. ного пространства является выпуклым, замкнутым, ограниченным центрально-симметричным множеством, для которого начало координат является внутренней точкой, и наоборот, для любого выпуклого замкнутого ограниченного центрально-симметричного множества,, для которого начало координат является внутренней точкой, существует такая норма, в которой зто множество является единичным шаром. 9. Привести пример новмярованного, но не банакова пространства. 2.1.2, Произведение пространств.
Фактор-пространство. 11усть Х и У вЂ” линейиые пространства. Их произведение ХусУ, т. е. множество всех пар (х, у), хЕХ, уЕУ, преврагцается в линейное пространство, если операции сложения и умножения на число определить по- координатно: (х„у,)+(х„у,)=(х,+х„у,+у„), се(х, у) =(ах, ау). Если Х и У вЂ” нормированные пространства, то и в произведении ХмУ люжно ввести норму, например, тзк: 1(х у)1ххг=тах(1х1х '1уЩ. (1) у п р аж не н не. проверьте, что )х1х+1УЙ' ий х1х+(р(у также некоторые нормм в Хху, эквивалентные норме (1).
Имеют место следукнцие очевидные леммы. Лемма 1. Если Х и 1' — балахоны пространства, то и ХхУ банахово. Доказательство предоставляется читателю. ь17 Лемма 2. Всякий линейный функционал ЛЕ(ХхУ)' однозначно представим в виде <Л, (х, у)> = <х', х>+(у', у>, (2) где х'Е Х' и у'Е К*. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим (х', х> = (Л, (х, О)>, (у', у>=<Л, (О, у)>.
Линейность этих функционалов очевидна, а непрерывность (еэ ограниченность) вытекает из оценок: 1<х', х> ) (() Л11(к, О) 1=1Л11х 1, (<у', у>!~Р(И(0 у)П=Р!~ЬМ Однозначность представления (2) также не вызывает сомнений. ° Поскольку при любых к*ЕХ' и у'Е)" формула (2) определяет некоторый функционал Л Е (Х Х У)*, то мы получилн полное описание пространства (ХхУ)". Кратко оно дается следующей формулой: (Х х1')'= Х'Я) У". Пусть теперь Х вЂ” линейное пространство, 1.— некоторое его подпространство Положим хжх', если х — х' Е В. Введенное отношение будет отношением эквивалентности (ибо очевидно, что хьь х, к,т~ х, ~ х, л~ х, и х,тч х„ хаоо ха=> х,оо ка), а значит (КФ, гл. 1, 5 21 опРеделецо разбиение Х на классы.
Класс эквивалентных элементов по введенному выше отношению называется классом смежности по подпространству В. В совокупности классов смежности естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число (КФ, гл. 1П, $ 1, п. 4); при этом выполняются аксиомы линейного пространства. Таким образом, совокупность классов смежности превращается в линейное пространство, называемое фактор-пространством Х по 1. и обозначаемое Х~С. Классом смежности п(х), которому принадлежит элемент х Е Х, является класс х+В. Отображение и: Х вЂ” Х/1.
является линейным (докажите!). Его называют каноническим отображением Х на Х(1.. (Отображение и является, разумеется„эпнморфизмом ').) Очевидно, что В = Кег и. Пусть теперь Х вЂ” нормированное пространство и В— его подпространство. Положим )В~;хуь = 1п11х)к «а Ь т) То есть отображает Х аа асе Х/Г.. !!з!!х(с= 1п1 !!х!!х= (п1 !!х,+х').
(3') пх=е лк, =е А еЬ Из определений (3), (3') сразу следует, что оператор и непрерывен (!!пх(~(!!х!!) и для любого 5Е Х(Ь найдется хЕХ, для которого их=а, !,'х)|(2,'!4()хт. (4) Теорема о фактор-и рос тра нет не. Пусть Х— нормированное пространство и Ь вЂ” его замкнутое подпространство. Тогда функция !! )хдь задаваемая соотнотением (3), является нормой на Х/Е. Если пространство Х является банаховым, то фактор-пространство Х/Л с нормой Як~с также является банаховым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
