Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда, если х Е Кег А, то <х*, х> = <А*у*, х> =- < у', Ах> = О, т. е. 1ш А* с (КегА)'-. Б) Пусть х*Е(КегА)~-, т, е. Ах=О~(х', х>=0. Рассмотрим отображение С: Х вЂ” й хУ, Сх=((х*, х>, Ах). Образ ядра А при отображении х' есть нуль, т. е. замкнутое множество, и по лемме о замкнутости образа (п. 2.1.6) 1ш С вЂ” замкнутое подпространство в й х 1'. Оно не совпадает с 14х1', г(оскольку, например, (1, 0) (1'гп С (действительно, если (а, О)=(<х', х>, Ах), то Ах=О=Фа= = (х", х) =0). По лемме о нетривиальности аннулятора замкнутого собственного подпространства (и. 2.1А) существует ненулевой линейный непрерывный функционал Л б (1ш С)г = ~: (й хУ)* и, вспоминая лемму об общем виде линейного функционала на произведении пространств (п.
2.1.2), находим число 1, ~ К* =- К и элемент у' Е У* такие, что <д,х'+А*у', х> =Л,(х', х>+<у', Ах> = =- <Л, Сх>=0, тх. Случай ь, = 0 невозможен, ибо !ш А = У н, значит, <у', Ах> — = 0 =Ф у* =- 0 =!> Л = — О. Следовательно, х*=-А*( — у ~10), т.е.
х Е1шА*и(КегА)~-с ~= !ш А'. ° 2.1.8. Абсолютно непрерывные функции. В теории оптимального управления постоянно приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями вида х = <р (1, х, и (1)), (1) где и(.) — заданная функция, называемая управлением. При этом, хотя функция ф(Г, х, и) достаточно хорошая (непрерывная или даже гладкая), управление и( ) таковым, вообще говоря, не является. Оно может быть ку!зо Наиболее естественно считать (мы так и поступим), что дифференциальное уравнение (1) вместе с начальным условием х(1,) = х, эквивалентны интегральному урав- нению х (1) = х, + )г ~р (з, к (з), и (з)) пз. Для тогЬ чтобы это было справедчиво, х( ) должна быть неопределенным интегралом своей производной, т.
е. необходимо, чтобы имела место формула Ньютона — Лейб- ница х(1) — х(т) = ~ х(з)«(з. 1 (4) Функции х( ), для которых выполняется (4), в лебеговской теории интегрирования называются абсолютно непрерывными [КФ, гл. Ч1, ~ 4]. Важно, что этим функциям можно дать другое, эквивалентное и эффективно проверяемое определение. 5* ~з~ сочно-непрерывным, а иногда даже удобно считать и( ) всего лишь измеримой функцией. Поэтому правая часть уравнения (1) может оказаться разрывной, и следует уточнить, что понимается под его решением.
3 а и е ч а н не. В этом пункте «измеримость», «интегрируемость», «почти всюду» и т. д. понимаются в обычном лебеговом смысле [КФ, гл. У, Я 4, 5]. То же правило сохраняется и в остальной части книги, за редкими исключениями, оговариваемыми особо: например, в формулах следующего пункта интеграл понимается в смысле Стилтьеса илн Лебега — Стилтьеса [КФ, гл.
71, й 6]. Если речь идет о векторнозначных или матричных функциях, то соответствующими свойствами должна обладать каждая их компонента. Например, функция х(.) = =(х,( ), ..., х„( )): [с«, Я К' измерима и интегрируема, если каждая из числовых функций х, ( ): [а, р] — 11 обладает тем же свойством, и по определению Определение. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, и = [а, р1' — отрезок числовой прямой. Функция х( ): Ь- Х называется абсолютно непрерывной, если для всякого е > О найдется такое б > О, что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (а», р») ~= [и, ()1, к=1, 2, ..., Ф, сумма длин которых ~~~~ (р» — а») < Ь, выполняется неравенство Х (х(()»)-х(и») [< а.
» 1 (в) Пример. Функция х( ): й- Х, удовлетворяющая условию Липшица 1хт — х(1~) [<К! 8 -4Г 1, го с ЕЬ„ 132 абсолютно непрерывна. Действительно, здесь б = е!К. Непосредственно из определения видно, что абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна на о (берем У=1). Предложение 1. Пусть Х и У вЂ” линейные нормированные пространства, Г» — отрезок числовой прямой. Если функции х,( ): й — Х, (=1, 2, абсолютно непрерывны и с, ЕЙ, то и функция с,х,(.)+с,х,(.) абсолютно непрерывна. Если функции х( ): а- Х и А( ): Л вЂ” .У(Х, У) абсолютно непрерывны, то и функция А( )х(.): с»- 1' абсолютно непрерывна.
Если функция ©( ): 6 У удовлетворяет условию Липшица на множестве уй~6, а функция х( ). "Л- 6 абсолютно непрерывна и 1т х(.) = (у ~ у =к(1), 1Е й) ~Ус, то функция Ф(х( ° )): й- У абсолютно непрерывна. Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из определения (см. также [КФ, стр.
3431). Для доказательства второго заметим, что х( ° ) и А( ), будучи непрерывными, ограничены, так что Теперь для любой системы непересекающихся интервалов (а-, ()„)сЬ, Й=1, ..., Аг, имеем Х~~Аф) ф) — А( ) (.Н< В ! < ~~~ ! А ф„) х (Цл) — А фл) х (а„) ) + + ~ ',! А ф„) х (ал) — А (ал) х (а„) (( < л=! в;. ~ /!А(иля)5(хЮ вЂ” х(ал)~+ ~~~~ ')А(Ц) — А (ах)(~х(а )!/~ л=! л=! Мл х,' !, 'х фа) — х(аа)!~+М„~л.", !)А фл) — А (ая)~. л=! л= ! Выберем б > О так, чтобы из (6) следовали неравенства К (х ф ) — (а ),:~ <,—,;, ° Е!, А Ы-А ( А <,— „', .
7огда и ~, ) А ф„) хфь) — А (аа) х(ал)~~ < — Мл+ — М,=а, л=! 2Мл так что А ( )х( ) абсолютно непрерывна. Аналогично, если ~|Ф(х!) — Ф(х,) (/ < К)!х! — х, ~!, 'Ч!х„х, Едь', ,т( ~~Ф(х(йь)) — Ф(х(ал))>/ ~~Р ~!~хфя) — х(ал)(/ < е, лю л=!" если Ь > О выбрано так, чтобы из (Ь) следовало (6) с заменой е на е4. ° Основную теорему этого пункта мы сформулируем только для конечномерного Х„чтобы не определять операцию интегрирования в произвольном нормированном пространстве (для Х=)т" достаточно иметь в виду (2)). Только этот случай иам в дальнейшем и понадобится.
Теорема Лебега [КФ, стр 346] Если функция х( ): А — й" абсолютно непрер!явна, то она диффереи- 133 цируема почти всюду, ее производная х( ) интегрируема на б и для всех 1, тай имеет место равенство (4). Если функция $( ): с«- М" интегрируема на Ь и « таей, то функция х(1) = ~ $(з)дз абсолютно непрерывна а ~ х (1) Ж ~ ч-. ~ ) х (1) ) д1.
ь 1 ь (7) 2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в пространстве С. Формула Дирихле. Определения функции ограниченной вариации и интеграла Стилтьеса мы будем предполагать известными [КФ, гл. Ч1 Я 2 и 61. Функцию ограниченной вариации о (. ): )а, р1 — 11 будем называть канонической, если она непрерывна справа во всех точках интервала (с«, р) и о(а) =О. Теорема Ф. Рисса 1КФ, стр. 3691.
Каждому непрерывному линейному функционалу х* ~С ((а, Я)* соответствует каноническая функция ограниченной вариации о( ): 1а, Я К такая, что для всех х( ) ч С(1и, р)) 134 и х (1) = $ (1) почт и всюду. В соответствии с этой теоремой мы будем в дальнейшем функцию х( ) называть решением дифференциального уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и удовлетворяет (1) почти всюду. Действительно, по теореме Лебега этого достаточно, чтобы из (1) следовало (3).
Обратно, если х( ) удовлетворяет (3) (т. е., в частности, 1 — «р (1, х (1), и (1)) — интегрируемая функция), то по теореме Лебега х( ) абсолютно непрерывна н почти всюду имеет место (1). В заключение этого пункта приведем еще одно утверждение, числовой аналог которого хорошо известен в лебеговской теории интегрирования, и доказательство которого предоставляется читателю в качестве упражнения. П р е дл о ж е н и е 2. Измеримая функция х ( ): Л 11' интегрируел«а тогда и только тогда, когда ~х( )) интегрируема. При этом и такое представление единственно: если для всех х( ) Е ЕС([а, Я) и для канонической о(.) а ] х(1)до(1) =О, а то о(1) — = О.
Эта теорема легко обобщается на векторный случай. Пусть е,=(1, О, ..., 0), е,=(0, 1, ..., 0), ... — единичные векторы стандартного базиса в К". Произвольный элемент х(.) =(х,( ), ...„х„( )) ЕС([а, р], К") представляется в виде х ( ) = ~ х„(.) е„. Если теперь х» Е С ([а, б], К")*, то <х', х( )> = ~л' <х*, х» ( ) е»> =,с, <х», х„( )>, »=! »=! где функционалы х» Е С ([а, р])* определяются равенствами <х», $( )>=<х', 5( ) е„>.
Применяя к х» теорему Рисса, получаем представление „в <х', х ( ) > = ~ $ х» (1) йо (1). (2) Набор функций ограниченной вариации о ( ) = (о,( ), ... ..., о,( )) естественно назвать векторнозначной функцией огранйченной вариации (значения — вектор-строчки) о( ): [а, р] — К"*. Тогда формула (2) может быть переписана в виде а <х', х ( )> = ~ !й! (г) х (1), (3) а бпвпадающем с (1) с точностью до порядка сомножителей. Как и в теореме Рисса, соответствие между х* и о( ) будет взаимнооднозначным при соблюдении условия «каноничности» функции о(.).
Каждая функция ограниченной вариации о( ): а, Я вЂ” К определяет обобщенную меру (или «заряд» КФ, гл. Ч!й 5]). Интеграл Стилтьеса (1) и есть интеграл по этой мере, Аналогично векторнозначная функция ограниченной вариации о( ): [а, р]- К"' определяет на 135 в наше время более полно Фреше, Гата, Леви и другими математиками. 2.2.1. Производная по направлению, первая вариация, производные Гата н треше, строгая дифференцируемость.
Хорошо известно, что для вещественных функций одного вещественного переменного два определения — существование конечного предела Е (х+ Ь) — г" (х) Иш в- о и возможность асимптотического разложения при й- О р(х+Ь) = р(х)+ р'(х) А+о(Ь) (2) — приводят к одному и тому же понятию дифференцируемости. Для функций нескольких переменных, атем более для функций с бесконечномерной областью определения дело обстоит не так просто. Определение (1) и обобщающее его определение частной производной приводят к понятиям производной по направлению, первой вариации и производной Гато. В то же время обобщение определения (2) приводит к производной Фреше и строгой дифференцируемости. Пусть Х и 1' — линейные нормированные пространства, () — окрестность точки х в Х, Р— отображение изивГ. О п р е д е л е н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
