Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1бв Предложение 2. Если ПЕЯ" (Х, У) и 9(х) П(х, ..., х), то (( (х)[ЬД= х1( П! (х; й ), в в 0" (х) [Й„Й»1=,'», '~ П(,(х; Ь„й,), (3) (вв» !е!»о(х)Р,, ..., (1,1= Х иа ° ° ° (в) Я(ю(х) =О при й > я (в формуле для !'„(!"» суммирование производится по всем перестановкам индексов). Доказательство этих формул получается непосредст- венной выкладкой (ср. также пример в п. 2.2.1). Заме- тим, что из (3) видно, что каждая производная Я(и является симметрической функцией от (Ь„..., Ь!). Ниже мы увидим, что это не случайно.
П р е д л о ж е н и е 3. Если отображен е П Е Яв (Х, У) симметрично и Я(х) =П(х, ..., х) — = О, то П= — О. Доказательство. Положим ц'(1„, 1„) = 9 (1»х(+... + („х„) —= ! (,... (,„П(х(,... хсв) = („ ..., (, — 1,*... 1"„вХ„'П(х(„..., хсв) = О ка(К в да =в ! »,'...
1"„'(1(а, вП (х„..., х„..., хв, ..., хв), О~а(Кв ха =в а, рва ав рвв ! -где в Х' собраны члены, у которых среди индексов равны единице а, штук, .... равны и — и„ штук, а Л(а,... „— число членов в этой сумме (в послед- нем переходе мы воспользовались симметрией П). По условию ц((1„..., г„)=О, пбэтому равны нулю все коэффициенты этого многочлена. В частности, равен нулю и коэффициент и!П(х„...', хв) при 1»1,...1„. ° Т е о р е м а о с м е ш а н й ы х п р о и з в о дй ы х. Если для функции !': с(' — У суи(ествует,вторая производная [" (х), то для всех $, т! ~ Х !" (х) [$ 11=('"(хс) [Ч Ч. 156 (4) определена и ~р'(х) = )' (х + Ч) — р' (х) = )'(х+ Ч) — )'(х) — (р' (х) — 7(х)) =(1')'(х) [х+ т1 — х)+а(х+ т))'~х+т( — х[— — (7')' (х) [х — х) — сс(х) ~/ х — х!~'= =()1)' (х) [Ч1+а(х+ т)) [х — х+ т)[ — а(х) // х — х).
В частности, тр'(х)=()')'(х)[Ч)+а(х+Ч)тЧ(!, (5) и потому ~р'(х) — <р'(х) = =а(х+т()[х — х+т1(,'— се(х) [х — х) — а(х+Ч)(Ч). (6) В силу (4) для любого е > О найдется такое Ь > О, что [х — х[< 6~)~а(х)1) < а, (7) откуда ввиду (6) ~(х — х[ < Ь!2, (!Ч!/<6!2~!/тр'(х) — тр'(х)1<2еЯх — х1'+1т11), (6) При достаточно малых $ и Ч вторая разность Л(ч, $)=~(х+$+ч) — 7(х+$) — ~(х+ч)+~(х) (9) имеет смысл и, используя (6), (7) и (8), мы получаем при ~~Ц<64 т'Чт'<Ь/2 ~Л(ч, $) — )" (х)[ч, ц/~= =11 р(х+5) — р(х) — ((Р')'(х) [Ч1) [ВП= = [ ~р (х+ $) — тр (х) — ср' (х) [ц + сс (х + Ч) [ц (/ Ч (ц < ( зцр ,'!тр'(х) — ст'(х)1'1$~/+1а(х+т))И$Ит)//<- кт[д д~-41 < 2а ()~ ц+1 ч ',~) 1 ц+ (цц1 ч1 < Зз щ+1 ч ц ц.
157, Доказательство. по определению второй производной 1'(х) — 1' (х) = (1')' (х) [х — х) +а(х) ',х — х//, где а(х) Е.У(Х, 1') и 11пт а (х) = а (х) = О. Прн достаточно малых ч и х, близких к х, функция ~Р (х) = 7 (х+ Ч) — 7 (х) Заменяя $ н Ч на г$, 1~), где теперь $ и Ч могут быть лэ?быми фиксированными, а ! Е К должно быть мало, мы получаем неравенство !)Л(ГЧ, гЧ) — г'1" (х)[т), Ц/)(Зег'(1$!+1Ч!!)))Ц. (10) Меняя местами в проведенных выше рассуждениях $ н ~), мы получаем наряду с (10) неравенство ))Л(г$, гЧ) — Р[" (х)[$, Ч~!(Зе(2(/)Ц+~,'Ч,'/)!)з)[, (!1) Но Л(гт), г$)=Л(!$, (т)), поскольку вторая разность (9) симметрична относительно $ н Ч и из (10) и (!1) выте- кает по сокращении на гч неравенство !! Р" (х) [Ч, Ц вЂ” Р" (х) [В, т1~ ~! ~ Зе (!! Б !1+ ! т) [)'.
Ввиду произвольности з это приводит к (3). ° Название, которое мы дали этой теореме„связано с тем, что в классическом анализе ей соответствует тео- рема о независимости смешанной производной от по- рядка дифференцирования: — = — (почему?). Следствие 2. Производная Г""(х) (если суи(ест- вует) является симметрической аолилинейной функиией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Г$ри п = 2 это утверждение только что доказанной теоремы. Далее рассуждаем по индукции, используя равенства а"-п)(х)[Ц)[),. "ч.— 1=1'"'(х)К,.
),. ", ),,1= =((~'"-и)" (х) [$, Ч11) [~)„..г, «)„„!. Воспользовавшись индукционной гипотезой, получаем из левого равенства инвариантность )'"'(х)[$, и„ ..., Ч„ 11 относительно перестановки аргументов т)„ а из тео- ремы 1 и правого равенства следует ийвариантность относительно транспозиции $ и и,.
Для доказательства симметричности )'"(х) этого достаточно, ° Переходя от симметрической полилинейной функции к соответствующей ей форме (см. пример в 2,2.1), мы получаем из производной дифференциал. Определение 2. й" [(хч! З) =)" (хч) [й, ...1 й~. Пример. Если Я(х)=П(х, ...,х),где ПЕ.2ч'(Х,У), то, согласно предложению 2, йл(е(0; й)=0 при йэьп 158 с(»Я (О; й) = й)Я (й).
Лемма. Если ~'»'(х) существует и 1'(х)=0, ~'(х) = О, ..., ~'»'(х)=.0, то Иш 1~( +„)1 =О. о о РЙ1" Доказательство. При а=1 утверждение ве)оно по определению производной. Далее рассуждаем по индукции. Пусть п > 1. Положрм д(х) =('(х). Тогда у(х) ='О, ..., д'»-о(х) =О, и по индукционной гипотезе для всякого в > 0 найдется такое 6 > О, что ()д(х+Й,)[<е)Й,1»-' при )Й,)(<6. Теперь по теореме о среднем при 1Й[ < Ь имеем )!~ (х+й) [=)~Ях+й) — ) (х) — ~ (хай) < зпр 11" (х+Й,) — 1'(х)11Й//= о со,ю зпр (д(х+Й Ц(й)( зпр е)й р (Й)=а[у», ° о, о ~о, о~ ' о1 .
Ео, Ч Теорема о формуле Тейлора. Если )»(х) существует, то 1 (х+й) =) (х)+с() (х; Й)-,'-... -1- — с(»~(х; Й).~ со (Й)1Й;р где 1ппос(й) =-со» (0) =О. о- о Доказательство. Рассмотрим функцию д($)=~(х+Ц вЂ” ~(х) — 4(х; $) —...— — 1д»~(х; $).
Воспользовавшись приведенным выше примером и равенством о(о~(х; $) =)ио(х) [ч, ..., Ц, ~м'(х) Е.У" (Х, У), получаем с(оу(О; й) =М~ (х, Й) — — (ЫМ~ (х; й)) = О. Применяя следствие 1, согласно которому доп(0)— симметрическая функция из .Уо(Х, У), и предложение 3, согласно которому симметрическая функция обращается в нуль, коль скоро обращается в нуль соответствующая ей форма, мы заключаем, что д(0)=О, ..., ф»'(0)=0. 159 По лемме Ц($)((=о(!~$~!х), и утверждение теоремы дока- зано, причем а„(Ь)=я-> — „при Ь~О.
° Уп ражнение. Если 1>">(х) существует в звездной окрестности точки х, то [) ~~1(х+ь)-1(х) — Я(х ь) — ° ..— — >[х-т1(х, ь)((~ (л — 1) > зпр ((ра>(с)1хй3"; хе[х, хтн) и[ 2) ~~1(х+Ь)-1(х)->[1(Х, Ь) — .. — —,>[х1(х, Ь)!~~ япр 11>а> (с)-рл> (х) 1 да >>Р се[х, х+а) Указание. Один из возможных путей решения. при л> [ производная 1'(х) непрерывна в окрестности точки х, н можно воспользоваться равенством > Пх+д)-1(х)=~ 1'(,+[л)а[1ь1 о (см. упражнение в п. 2.2.3).
Неравенства этой задачи являются обобщениями классической формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в то время как теорема дает нам ту же формулу с остаточным членом в форме Пеаио. Доказательство существования старших производных в смысле Фреше у конкретных отображений зачастую сопряжено с громоздкими выкладками. В то же время вычисление производных, а точнее, дифференциалов, т. е. соответствующих однородных форм, обычно можно произвести сравнительно легко. Чаще всего это делается с помощью понятия вариации по Лагранжу. Определение 3.
Функция 1=с) )'в некоторой точке х~(1 имеет п-ю вариацию по Лагранжу, если для любого Ь Е Х функция Ч> (сс) =1(х+>хИ) днфференцируема в точке с[=О до порядка и включительно. При этом п*й вариацией 1 в точке называется отображение Иь-еб"~ (х; Ь), определяемое равенством 6"1(х; Ь)=>р>х>(0) ° — „„~(х+аЬ)~ . (12) Следствие 3. Еслисуи~ествует~"'(х), тек ~ имеет и-ю вариацию по Лагранжу в точке х, причем бе~ (х; )с) = йк~ (х; й) = реь(х) Ре, ..., )е). (13) Доказательство легко получается по индукции из формулы Тейлора, так как, согласно последней, Г(х+а)е)=)(х)+ ~,йГ(х; й)+...
+ —,йрГ(х; й)+о(а"). Таким образом, если мы заранее уверены в сущест ° ВОВаиин ПРОИЗВОДНОЙ ~'л'(Х), тО ВЫЧИСЯИтЬ й"~ (Х;й) Можно, пользуясь формуламн (12) и (13) на основе дифференциального исчисления для функций' скалярного аргумента, что, конечно, много проще. Согласно предложению 3 дифференциалом для(х; й) производная)лк'(х) (т. е. полилинейная фуикция) однозначно определяется. Обратное, конечно, неверно: функция может иметь и-ю вариацию, не имея производной Фреше ~"'. Читателю предоставляется самостоятельно вйясннть, какими дополнительными свойствами должна обладать и-я вариация, чтобы был верен аналог достаточного условна дифференцируемости (следствие 2 п.
2.2.3). й 2,3, Теорема о неявной функции Доказываемое в этом параграфе обобщение классиче- ской теоремы о неявной функции может быть с успехом применено в различных разделах анализа. В дальней- шем мы будем иметь возможность в этом убедиться. 2.3.1. Формулировка теоремы о существовании не- явной функции. Пусть Х вЂ” топологическое пространство, У' и У вЂ” банаховы пространства, Чр' — окрестность пючки (х„у,) в ХхУ, 'Р— отображение из%' в Я, Че(х„уе) =г,. Если: 1) отображение х к Ч'(х, у,) непрерывно в тоюге х,, 2) существует линейньй непрерывный оператор Л:-1'- 2 такой, что для любого е)0 найдутся число б ) О и окрестность Е точки х„обладающие тем свой- ством, что из условия х ~ Б и неравенств,'~у' — у 1 с' б; '1'у" — у,( < б следует неравенство ~1Ч'(х, у') — Ч'(х, и") — А(у' — у")'ц ( е~у' — у'ф; 3) Лу =г, Ь а и. Алексеев к др.
то найдутся число К> О, окрестность Я точки (х„г,) в ХхЕ и отображение <р.Я- У такие, что: а) Ч'(х, ч (х, г))=г; б) Ц~р(х, г) — у,Ц(КЦЧ'(х, у,) — гЦ. 2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих ото- бражений. Л е м м а. Пусть Т вЂ” топологическое пространство, 1' — банахово пространство, У вЂ” окрестность точки (С„у,) в Тх Гг Ф вЂ” отображение из У в )'. Тогда, если существует окрестность У точки С, в Т, число р > 0 и число 8, 0<8<1, такие, что йз С~У, Цу — у,Ц<~ следует: а) (С, Ф(С у))Е~' б) ЦФ(С, Ф(С, у)) — Ф(С, у)Ц(8ЦФ(С, у) — уЦ; в) ЦФ(С, у,) — у,Ц<р(1 — 8), то последовательность (у„(С) Ц и в ОЦ, рекуррентно опре- деляемавС равенствами у.(С)=у, у.(С)=Ф(С. у.— (С)) при любом С Е У содержится в шаре В (у„б) = =(у(Цу — у,Ц<р) и равномерно по СЕУ сходится к отображению С +~р(С), причем Доказательство.
Доказываем лемму по нндук. ции. Пусть С вЂ” некоторый элемент из У. Обозначим через Г„утверждение: чэлемент у„(С) определен для 0(й(п н принадлежит В(у„р)э. Вследствие того, что у,(С) = = у, ~ В (у„й), утверждение Г, верно. Пусть Г, верно, Тогда для 1(Й(п имеем вм вм Цул+т(С) — уь(С)Ц=ЦФ(С, у„(С)) — Ф(С, уь,(С))Ц= =ЦФ(С Ф(С у — (С)) — Ф(С у -1(С))Ц = Йм (8ЦФ(С, у„,(С)) у„,(С) Ц =8Ц у,(С) у„,(С) Ц. Отсюда, продолжая проведенное рассуждение, получим Ц(у„„(С) у,(С)Ц(8Цу„(С) у„„(С)Ц( (8 Цу„,(С) у„,(С)Ц(...«8ьЦу,(С) — у,Ц= =8" ЦФ(С уь) — уьЦ. 1б2 Пусть теперь Й>1, А+1(~а+1; тогда вследствие неравенства треугольника ~Уа+~(1) Уа(1)~~= =1да+ю Я Уа«с-1Я+Уа+ю-1(1) ° а+Уа+1(1) уа(() К <(3"' '+ +Ва)(бз(1 у) — у (< < ~Д' В урр(1, д,) — д,(= —,,1а (1, д,) — у,!~ < Е р (1) 5=а В частности, полагая в (1) 1+1=а+1, 1=1, и используя условие в), получаем Ь.+ (1) — У (=Ь.+ (() — У (Г)+У (() — Уа(< <(у.„(() — у,(гн!+(У,(1) — у,(< 33+3(1 — Е)=3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
