Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку х, можно выбирать произвольно, доказанное неравенство означает, что при х х, Чу (ха Уа) Чав(хо Уо) (х «а)+Ч) (х) Уо = о(х Ха) или р(х) = Уо+1 — Ч','(х., Уа) Ч'. (Ха, У)Я(х — х.)+о(х — .), а следовательно, су(цествует производная Фреше (р'(х,), н равенство (3) имеет место при х=х,. Чтобы доказать диффереицируемость ф при остальных х, напомним, что множество операторов Л, для которых. существует обратный, открыто в Я (Х, У) (предложение 3 в п.
2.2.Г). Поэтому„уменьшив, если нужно, Ь, мы можем считать, что Ч'„'(х, ф(х)) существует при ((х — х,) < Ь. Теперь можно повторить все доказательства, заменив точку (х„у,) точкой (х, (р(х)), где )(х — х,(< Ь. В силу доказанной выше единственности мы получим ту же 1еа самую функцию ф(х) (по крайней мере, если 1~х — х«до. статочно мало) и для нее формула (3) будет верна при х=х.
Так как х было произвольно, то утверждение г) имеет место прн всех хЕВ(х„б). Наконец, производная ф' (х) непрерывна, так как, согласно (3), она представляется в виде суперпозиции непрерывных отображений х«-ь(х, «р(х)), (х,у)«-«Ч"„(х,у), (х, у)«-ь Чг„(х, у) и А + А-' (последнее непрерывно, поскольку ойо дифференцируемо по Фреше согласно предложению 3 п. 2.2.1).
° Замечание. Если в дополнение к условиям теоремы Ч'~ С'(%')«г > 2, то ф ЕС'(В (х„б)). Действительно, из формулы (3) и теоремы о супериозиции можно вывести, что ф" (х)= — «Ч'„(х, ф(х))-'о Ч',(х, ф(х)))' существует и непрерывна. Далее рассуждаем по индукции. Теорема об обратном отображении. Пусть У и Х вЂ” банаховы пространства, Ж вЂ” окрестность пючки у, в У, Ч'.
Ф' — Х вЂ” отображение кв оса С' ($Г), г, = Чг(у ). Если существует обратный оператор Ч«'(у«) ' Е.гг(2, У)« а) существует такое е > О, что В (у„е) ~ Ж а У=«г~г=Ч«(у), «у — у««<е)=Ч'(В(у„е)) — окрестность г, в г,; б) существует отображение Ф: У вЂ” 1' класса С'(У), обратное к Ч'~В(у„е), т.
е. такое, что у=Ф(г)евг=Ч'(у), (у, г) Е В(у„е)хУ; (9) в) Ф' (г) = ГР' (б) (г)Н-'. (10) Д о к а з а те л ь с т в о, А). Отображение Ч' ~ С' (М7) строго дифференцируемо в каждой точке В', в частности и в у,. Поэтому для всякого х>0 найдется е(х) >О такое, что «у,— у,«< е(х), 1=1, 2, ~ еФ«Ч" (у,) — Ч'(у,) — Ч" (у,) (у,— у,) «<х«у,— у, «. (11) Выберем е > 0 так, чтобы для всех уЕВ(у„е) существовал обратный оператор Ч'(у)-' (см. предложение 3 п. 2 2 1) и чтобы было е < е(х,), где х,='««~1«Ч'(у«)-'«-«, 169 Последнее обеспечивает инъективность отображения Ч" на В(у„е): у„уеЕВ(у„е), Ч" (у,) =Че(у,)~ "о'!!Уе Уе!!=!! 1 (Уо) 1 (Уо)(уе Уе)!~~~ пп ~~!! 1 (уо) о!!!! 1 (уе) Ч (уо) 1 (уо) (уе уе)!!~~ (Уо) "гу~(~,)- (р!У Уе!! — З !!У Уе!!~у — У Далее мы докажем, что шар В(у„е) — тот самый, о котором говорится в и.
а) теоремы, а пока положим У=Ч'(В(у„е)). Ввиду инъективности отображения Ч'!В(у„е) оно обратимо, так что существует Ф: У— В (у„е), обладающее свойством (9). Б) Для любой точки У~В(у„е) применим теорему п. 2.3.1 к отображению Че(у) (не зависящему от х, так что пространство Х может быть любым) в окрестности точки у. Условие 1) этой теоремы здесь тривиально; условие 2) превращается в условие строгой дифференцируемостн в точке у и„как было отмечено, выполнено, причем Л = Ч"' (у); условие 3) выполнено, поскольку уЕВ(у„е) н в соответствии с выборам е существует Ч'(у)-. По теореме п. 2.3.1 существует окрестность (7 тачки г=Ч'(у) и отображение ор: с7 — У такие, что Че(ео (г)) = — г, (12) !! ор (г) — у !! ( К !! г — г !! (13) для некоторого К > О.
Возьмем Ь > О столь малым, чтобы В(г, Ь) ~ ее' и чтобы было Ь ( (е — !!у,— у!!)/К. Тогда пз> )!.—, !!<Ь' '!! () —.!!<К('-!!Уо-У!!) = =Ф /! ор(г) — у, !! е =Ф г = Че (ор (г)) Е Че(В (у„е)) = = У=а В (г, Ь) е= У. Таким образом, каждая точка г Е У имеет окрестность В (г, Ь) <= У,: так чта У открыто. Кроме того, для г ~ В(г„Ь) (ее) Ч'(ер(г))=г=Ч'(Ф(г))=еьор(г)=Ф(г) (14) в силу инъективностн Ч'. 170 В) Докажем теперь диффереицируемость отображе- ния Ф и формулу (10). В силу строгой дифференци- руемости Ч'вточкеу=Ф(г) имеет место аналог (11): для всякого х) 0 найдется е(х) ) 0 такое, что ((у) — у(~ < е (х), ) = 1, 2, =)) =!2 (! Чг (у)) — Чг (у)) — Ч" (у) (у, — у,) ))) ( х !) у) — у) ().
(15) Полагая здесь у,=Ф(г), у,=у=Ф(г), имеем ) 413) 114) 112) 1)г — г )< — =чЬ )1)'Ф(г) — у ) < е(х)=О К =о 1 Ч) (Ф (г)) — Чг (Ф (г) ) — Ч)' (у) (Ф (г) — Ф (г) ( ( (13) (12) (х!)Ф(г) — у(((хК,),г г(=е ~)/г — г — Ч' (у) (Ф(г) — Ф(г))1(хК(г — г,))=)2 =6!!Ф(г) — Ф(г) — Ч) (у) '(г — г))!= = !/Ч'(у)-" (г — г — Ч' (у) (Ф (г) — Ф (г))) )) ( (( Ч)' (у) -' )) хК '1 г — г )), н потому Ф (г) — Ф (г) — Ч' (у)-'(г — г) = о (г — г) при г — г, так как х произвольно.
Поэтому существует производная Фреше Ф'(г)=Ч'(у)-', так что (10) дока- зано. Производная Ф'(г) непрерывна на Р, так как, согласно (10), она представляется в виде суперпозиции непрерывных отображений г ~Ф(г), у)-+Ч)'(у) и А +А-) (последнее непрерывно в силу предложения 3 п. 2.2.1).
2.3.3. Касательное пространство и теорема Люстер- ника. В этом пункте Х вЂ” нормированное пространство, М вЂ” некоторое его подмножество. О п р е де л е и и е. Элемент й ~ Х называется касао)ель- ным еектором к М в точке х,ЕМ, если существуют такие е) 0 н отображение г: 1 — 'е, в1- Х, что: а) х4+ай+г(а)~М, б) г(а)=о(а) при а — О. Элемент Ь ~ Х называется односторонним касательным вектором к М е точке х, ~М, если существуют е ) 0 н отображение г: (О, з) — Х такие, что выполнено а), и б) имеет место при а10. Множество всех касательных векторов к М в точке х, обозначается Т„,М, множество односторонних касатель- 17! нык венторов-Т„',М.
Очевидно, что То,М ~ Т~М и что Т М = Т+,М О ( — Т+ М). Если множество Т„, М является подпространством в Х, то оно называется каса>пелькмм пространсввом к М в точке х,. Рис. 33 Рис. 34. 3амеч ание. В геометрии обычно касательной прямой, плоскостью и-т д. называют не Т„М, а аффннное многообразие х,+Т„М (рис. 33). Рис. 35. Рис. ЗЗ Примеры (подробные доказательства предоставля>ется читателю).
1) Х = 14 и, М = ((х, у) 1 х ) 01 (рис. 34); Т+,,>М = М, Т>о,о>М =((О, Ь)!ЬЕЙ), Ти. вМ=Тй,щМ=14'. 2) Х=Ко, М=((х, у))х~О, у)0) =Ко+ (рис. 35); Т»,о>М=((а 0)М 6 1~). Т>о, о>М=Я> Т>о,»М=((0>Ж Е Ь()> Т»,о>М =((а> Ь)(або, Ь) 0), Т>и о>М =М, Тоо,цМ = = ((а, Ь)! а ) О, Ь Е К). 173 3) Х = )гх (х, где )г — нормированное 'пространство, М ° ((у, г) $ г = ) у() — конус (рис, 36). Т<е, е<М= Ю Т<в АМ= М.
Уп рамяенна. ! Предполагая, что У вЂ гильберто пространство (например, )г=нг), найдите Т „1„<ЗМ и Т<+ С а<, М в примере 3) при у ге 0 (рис. Эб). 2. Найдите Т,М и Т,+М, где: а) М=(2 "(п=!, 2,, ) () (О) с Й, а:0', б) М=( — „~л=1, 2, ...~()(О)с-й, =О; 11 в) М=((х, у)<ха=ее) с-йс, а=(0, О) и а=(1, 1); г) М ((х, у)~ х' П ув) с: И', а =(О, О) и а =(1, 1); д) м=((х, у))ха~уа) ~ ит, а=(0, 0) и а=(1, 1); е) М=((х, у, г) )х=<, если х и у рапиоиальиы, а=о а осталь. ных случаях), а=(0, О, 1) Во многих случаях, в том числе и представляющих интерес для теории экстремальных задач, множество касательных векторов может быть найдено при помощи следующей общей теоремы. Теорема Люсте рника. Пусть Х, 2 — банахсвы пространства; (1 — окрестность точки х, в Х, Р: П- Я, Р (ха) = О Если Р строго дифферент(ируемо в пючке х, и Р'(х,) является эпиморфизмом, то множество М=(х~ Р(х) =0) имеет в точке х, касательное пространство Т,,М = Т~М = Кег Р' (х,).
Доказательство. А) Пусть йбТ„,М. Тогда, если г(.) — отображение из определения одностороннего каса- тельного вектора, то в силу строгой дифференс(ируемобти О = Р (х, + сс)с+ г (а)) = Р (х,) + ссР' (х,) Ь + о (сс) = =аР' (х,) й+о(сс).
Значит, Р'(хе)А=О и Т+М с" Кегр'(х,). Б) Применим теорему и. 2.3.1 к отображению Ч'(х, у) = Р (х+ у). Вследствие строгой дифференцируе. мости Р отображение х <-и Ч' (х, 0) непрерывно в точке х и <)гр (х, у') — Ч'(х, у") — Р' (х,) (у' — у")(~ «< е /(у' — у" !~, если 1х — ха/!< 6, )У'<) < 6, $У'/~ <6. Условие 3) теОРемы п. 2.3.1 также выполняется, ибо Р'(х,) отображает Х 173 на Я. В соответствии с этой теоремой существует отображение ф: У Х окрестности У ~ Х точки х, такое что Ч~(х, ф (х)) 0 ФФ Р(х+ ф (х)) ~ О, 1ф(х)((~(К))Ч'(х, 0)1=К1Р(х)1. Остается лишь положить г(а) =ф(х»+сй). Тогда, Р(х,+сй+ г(а)) =Р(х, +сй+ ф(х, +сй)) = О, '1 ( )'1=И(~,+ йП!(К1Р(~,+ Ь)1с= =К~~Р(х»+ай) — Р(х«)~' К~~Р'(х«)ой+о(1сй~!И~= ' = К ,'/ аР' (х,) й + о (а) 1, и если 7с~КегР'(х,), то 1г(а)1=о(а).
Следовательно, Кег Р' (х,) с Т„,М с Т+М. ° На уровне геометрической интуиции теорема Люстер- вика выглядит весьма прозрачно. Пренебрегая стро- гостью, можно определить касательное пространство Е к множеству М в точке х, тем, что «с точностью до бесконечно малых высшего порядка» М аппроксимируется аффинным многообразием х,+1„Но «в бесконечно малой окрестности» точки х, функция Р аппрокснмируется своей линейкой частью: Р(х)ж Р(х,)+Р'(х,)(х — х,)=Р'(х,)(х — х,) (1) (точка х,ЕМ, и потому Р(х,)=0), а множество М = = (х~ Р(х) =О) аппроксимируется множеством М =(х~ Р'(х,) (х — х,) =О) =Кег Р' (х,)+х,.
Таким образом, «с точностью до бесконечно малых высшего порядка» М совпадает с аффинным многообра- зием М=х,+КегР'(х,), и, следовательно, КегР'(х,)— касательное пространство. ф 2,4, Дифференцируемость некоторых конкретных отображений 2.4,!. Оператор Немыцкого и оператор дифференци« альной связи. Пусть У вЂ” открытое множество в 1(;с(с", и пусть функция 7(1, х): У 11" и ее частная производная 7 ((, х) непрерывны в У. Зададим равенством й'( ( ))(()= — И (()) (,- ( 1 (1) !74 отображение ФГ: ."11- С([Е„(т[, К"), определенное на множестве Я=(х( ° )~С([Е„ЕД, 11в)(((, х(Е))б(Е, Ее(~(~(ЕД.
(2) Это отображение- мы будем называть оператором Немвецкого. У п р в ж н е н н е 1. Проверьте, что множество (2) открыто в С((Ее, Ет1, И"). Предложение 1. Оператор Немыцкого, заданный соотношением (1), непрерывно диЯжренцируем на множестве (2) и при этом Г(х( ))[Й(.))(Е)=~„(Е)Й(Е), (3) гд Е.(Е)еь(,~' (Е, х(Е)); 1' ' " „') (4) — матрица Якоби. До к а з а те л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
