Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 31
Текст из файла (страница 31)
По индукции находим, что из (1) вытекают неравенства в(() (Ь+Ь ~сс(в) с(в+... ю-1 т ... +, ) а(в)с(в + ~, ) а(з)дв . (3) т Действительно, при т=О (3) верно, а если (3) верно при некотором т, то, подставив зту оценку в (1) и вос- 189 пользовавшись равенством [1 ()~~ +1 убеждаемся, что (3) верно для и+1. Переходя в (3) к пределу при т — оо, получаем (1). .
При 1«т рассуждаем аналогично, надо лишь везде поменять местами пределы интегрирования. (Заметим, что функция и( ) не обязательно иитегрнруема, так что правая часть в (2) может оказаться бесконечной.) ф~ Теорема единственности. Пусть функция Р: 6- 11" удовлетворяет условиям А) — В) и. 2.5.1 в открытом множестве 6~%:к й"; Ло 1= 1, 2, — интервалы в (с и х,( ): Ль -11" — два решения задачи Коши (2) п. 2;5.2, графики которых содержатся в 6. Тогда х,(1)= — х,(1) для всех 1 Е Ь, П Л,. Доказательство.
Множество Ь=(1~х,(1) =х,(1)), очевидно, замкнуто в Л,0 Ь, и непусто, поскольку 1,бЬ. Остается проверить, что оно открыто, и тогда утверждение теоремы будет следствием связности интервала Л, П Ь . Пусть 1 Е Л, так что х, (1) = х, (1) = х. Выберем такие 7~0 и ~) >О, чтобы уу=((1; х)) (1 — 1(~~у, )х — х((Я<=6 и чтобы (1, х;(1))Еус при (1 — 1)»у; функция й(1) от,вечает зс в' силу условия В) п. 2.5.1. Применяя теорему о среднем (п. 2:2.3) и неравенство (1) п. 2.5.1, находим, что (х,(1) — х,(1)(( ~1г'(з, х,(в)) — Р(з, х,(з))1с(з ( 1 ~ ~й(з))х,(з) — х,(з)(сЬ ! Если теперь к функции о(1)='(х,(1) — х,(1)( применить 190 на (à — у, 1+у1 только что доказанную лемму (а(1) = я (1), Ь=О), то, согласно (2), х,(()=х,(8).
Следовательно, (1 — у, (+у)шЛ,и Л открыто. ° 2.5.4. Лннейные дифференциальные уравнения. В этом пункте Л вЂ отрез числовой прямой, А: Л- .У(К", К"), Ь: Л- К" и с: Л-- *К"' — интегрируемые матрнчная функция и две веКтор-функ- ции; х=(х„..., х„)5К", р=(р„..., р„)ЕК"'. Мы будем рассматривать линейные системы дифференциаль- ных уравнений х= А (() х+Ь(1) (1) и р = — рА (1)+с(1) (2) (иногда систему (2) называют сопряженной системе (1)). Хорошо известно, что для линейных систем существование решений удается доказать нелокально, в нашем случае — на всем отрезке Л. Лемма.
Если функции А: Л- .У(К", )(л), Ь: Л- и с: Л вЂ” К"' измеримы и интегрируемы на отрезке Л, то. иобая задача Коши для уравнений (1) и (2), поставленная в момент 1,5Л, имеет единственное решение, и это решение продолясается на весь отрезок Л. Д о к а за те льс та о. Поскольку все рассуждения аналогичны, ограничимся уравнением (1).
Для удобства продолжим функции А( ), Ь(.) и с( ) на все К, положив их равнымн нулю вне Л. Тогда функция Р(1, х) =А(1) х+Ь(8) будет удовлетворять условиям А) — В) п. 2.5.1 в области б = К Х К', и потому к дифференциальному уравнению (1) применима теорема единственности п. 2.5.3 н локальная теорема существования п. 2.5;2 в каждой точке (1, х), так что решение уравнения (1), у которого х(г) =х, заведомо единственно и определено на некотором отрезке (г †, 1 +51. Заметим теперь„что если (х((М, то ( Р ( 8, х)) ~ !) А (()1 М + ( Ь (г)(, '1Р„((, х)(/=~А (1)1. Вернувшись к доказательству теоремы -и. 2.5.2, мы можем выбрать достаточно произвольно константы у, р, 0 и е, например, положив 0=1/2, р=4, с=у=1, и тогда неравенства (с) и (8) п.
2.5.2, определяющие б, приобретут вид с+а г+ь М $ !!А(з)!!с(з+ $ !Ь(з)!сй(1, с-а с-а с с4 (0) !! А (з)!! с(з ««1/2. Поскольку !!А( )!! и !Ь( )! интегрируемы, то мы можем выбрать Ь > 0 столь малым (и не превосходящим у=1)*, чтобы неравенства (3) выполнялись при всех / [КФ, стр. '8011. Следовательно, решение уравнения (1), у ко- торого х(с)=х, определено на отрезке [/ — б, 3~-Ь1 с га- рантированным б, одним и тем же для любого 1 и лю- бого-х, такого, что !х!«М.
Пусть теперь заданы /,~б и х, и ищется решение уравнения (1), у которого х(/а) хс (4) Положим ~ 1М(си~ М-(!х,$+1!Ь(з)! Ь)~ / (б) Задача Коши (1), (4) эквивалентна интегральному уравнению с х(/) ° хс+ ~ А (з) х (з) с(з + ~ Ь (з) с(з, откуда с 1 1' ~,ус<~~~~. 1ссс ~ ~с*!~.!1~| >с !< са «(!хс(+5 !Ь(з)Из)+! 5 !!А( )!!!х(з)!А !. (0) а 1 се Ъ Решение х( ) задачи (1), (4) заведомо определено на отрезке гс,=[1,— Ь, 1,+Ь~. Применяя на этом отрезке ИЙ лемму и. 2.5.3 к функций э(()=1х(1)(, (а(1)=1А(1)(, Ь 1х,(+ ~ (Ь(з)(аз), получаем неравенство ь зл< Нл (х(1)((~(х,(+ $ ~1Ь(з)(йз) е( и 1 (7) ь и, в частности, )х((, ~8)(~ М согласно (5). Поэтому в точках (1, ~ 8, х(1, +.
8)) снова можно воспользоваться локальной теоремой существования и продолжить решение х( ) на отрезок Ь,=(1,— 25, 1,+261. Дальше процедура повторяется. Неравенство (6) справедливо на Ь„а значит, на Ь, верно (7) и ~ х(1, ~ 28)((М и т. д. За конечное число шагов мы продолжим решение задачи Коши (1), (4) на весь отрезок Ь.
° Явные формулы для решений систем (1) н (2) выражаются через фундаментальную матрицу решений одна- родной системы х= А(()х. (8) Оп ределение, Фундаментальной матрицей Й(1, т) решений системы (8) называется матричная функция Й: Ь х Ь- .У(1(", 11"), являющаяся решением задачи Коши ~(' =А(Г)Й(1, .), (9) Й(т, т) =Е. (10) Другими словами, Каждый столбец матрицы Й(1, т) является решением системы (8), а при 1=т эти и столбцов обращаются в набор единичных векторов стандартного базиса в й" е,=(1, О, ..., 0), е, (О, 1, ..., 0), ...
е„=(0, О, ..., 1). Теорема. Если матричная функция А( ) интегрируема на отрезке Ь, то фундаментальная матрица Й(1, с) системы (8) суи(ествует и непрерывна на квадрате Ь х Ь, причем: 1) Й(1, з)Й(з, т) Й(1, т) для всех 1, з, тЕЬ; (11) 2) Й(1, т) при каждом 1 является решением дифференциального уравнения — Й(1, т) А(т), (12) 7 В.
м. Алексеев п яр. Кроме того: 3) Если функиия Ь: б- )т" интегрируема на отрезке б и х( ) — решение системы (1), то для любых (, т ЕЬ х (!) = й ((, т) х (т)+ ~ й (1, я) Ь (я) дя. (13) 4) Если функция с: Л вЂ” 14"' интегрируема на отрезке б и р( ) — решение системы (2), то для любых 1, т Е Ь х р(т)=р(т)й(т, !) — ~с(я)й(я, !)с(я. (14) 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственной подстановкой с использованием (9) проверяется, что для любого 9 Е Й" функции х,(()=й(1, я)й(я, т)$ и х,(()=й(1, т)$ являются решениями системы (8), а так как в силу (10) х„(я) =й(я, я)й(я, т)9 =й(я, т) $=х,(я), то по теореме единственности й((, )й(, )~=.,(!)—= ,(!)=й(1, Л Поскольку $ любое, должно выполняться (11).
Фиксируя в (11) я, мы представляем функцию пары переменных й(т, т) в виде произведения двух функций одной переменной, а так как обе они непрерывны, то й непрерывна по (г, т) на Ахб. В частности, она ограничена. Полагая в (11) ( = т, получаем й((, я) й(я, !) = Е, откуда й((, Я)=(й(Я, ()]-'. Согласно предложению 3 п. 2.2.1 матричная функция ~(А) =А ' непрерывно дифференцируема на множестве обратимых матриц и !' (А) 1Н')= — А-'НА (15) Множество ос=(А ~ А =й(я, 1), я, ! ЕЛ) является образом компакта ЛхЬ при непрерывном отображении й; Лхб — .У(й", К"), а потому это компакт и на нем функция ~ ограничена; ) ~(А)~ ~ М вЂ” и удовлетворяет условию Липшица, так как Ц(А) — ~(В)((=))В ' — А-')(=',,— В '( — А)А ')(М*)( — А!.
194 Согласно предложению 1 п. 2.1.8 функция <р(в) =Й((, в) =Й(в, () '=)(й(в, 1)) абсолютно непрерывна, и в силу (15) и теоремы о супер- позиции п. 2.2.2 почти всюду ,",''= — [а(, И-"",";" [а(, И-'= = — [й (в, 1)Д-' А (в) й (в, () [й (в, 1)~- ' = — й (1, в) А (в), чем доказано (12). Представив правую часть (13) в виде с (1' .1 мы убеждаемся в ее абсолютной непрерывности. Действительно, Й (т, в) Ь (в) ннтегрнруемо (как функция в) иа Л, а интеграл от интегрируемой функции абсолютно непрерывен (и.
2.1.8). Следовательно, квадратная скобка в (16) абсолютно непрерывна по (. Остается заметить, что произведение двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывно (предложение 1 п. 2.1.8). Равенство (14) доказывается аналогично. ° 2.5.5. Глобальная теорема о существовании и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров. Вернемся к рассмотрению задачи Коши: х=г((, х), (1) х ((о) = хо (2) для дифференциальных уравнений, правая часть которых удовлетворяет условиям А) — В) п. 2.5.1.
Используя локальную теорему существования и теорему единственности, мы можем, как это и делается ц курсах дифференциальных уравнений, продолжить решение Х (, („х,) задачи Коши (1), (2) на максимальный интервал его существования (а, Ь). При этом из теоремы п. 2.5.2 следует, что при 1(а и при (1Ь это решение должно покидать любой компакт УУ~:6, ибо, пока ((, х(()) ЕУУ, решение гарантировано продолжается на интервал (1 — 5, (+8), откуда а+8 < ( < Ь вЂ” 5 ввиду максимальности интервала (а, Ь). Следующая теорема показывает, в каком смысле Х(, („х,) непрерывно зависит от (г„х,). Теорема 1. Пусть на открытом множестве 6~=Кх Х К" функция Г: б — й" удовлетворяет условиям А) — В) тэ 195 По лемме п.
2.5.3 (п(я)=й(я), я)(я)=!хс(я) — хс(я)!, Ь=!хс(т) — хс(т))) имеем ] ео)ив ( х, (с) — х, (Ф)( ( / х, (т) — х, (т)! е) ', р «= с ( у. (4) В) Выберем теперь е) О так, чтобы ]е(.)сь ея~ «- е, и пусть ((„х,)Е6. Поскольку 6(=2(', решение х( ) = =Х(., я„х,) определено на [(), у]=[с,— Ь, с,+Ь]()Ь. Покажем, что оно останется на этом отрезке в 2(".
Действительно, пусть Т=япр(с) г,<г<ш)п(г,+Ь, (с+8); (я, х(я)) Еря', )(сяЕРс я]). (6) На отрезке [с„Т] к решениям х( ) и х(.) применимы рассуждения п. Б) доказательства и в силу (4) г й (о Йъ ] я (оя5 (х (Т) — х (Т)) е=) х,— х (7,)~ я' < ее Но тогда (Т, х (Т))Е(п(й' и точка (с, х(с)) остается в Ю и при" с > Т, близких к Т, что противоречит определению (6).
Аналогично рассуждаем н для Я(Я,. Поскольку (р, х (р)) Е Ю и (у, х (у)) Е М решение х ( ) определено на отрезке [с,— 2Ь, с,-(-26]ПЛ. К этому отрезку снова применяем те же рассуждения и убеждаемся, что (с, х(с)) остается в М. Продолжая эту процедуру, убеждаемся, что х( ) определено на Л. Г) По доказанному любое решение Х(, с„х,) остается в з);, если (с„х,) б6, Вспоминая о функции х( ), получаем неравенство (Х((„я„х,) — Х(7, Г„х,)(= 197 Возьмем теперь два решения, у которых (г„х,) Еб и ((м х,) Еб. Тогда ввиду (4) и (7) ~ Х((, 1„х,) — Х ((, (ю х,)~ «» » ~ Х ((, Е„х,) — Х (Е, Е„х,)~+ ( Х ((, Е„х,) — Х ((, („х,)~ » Г ( ь(нлв » ~к(в)((в~+/хь — Х(г„(„х,))е~" 1» = $к(з)((з~+ ~!х — х,(+~) ~с(в)((зЦел (3) с (« что,очевидно, стремитсякнулю при г' г, г, г,,х, х„ доказывая непрерынность Х((, („х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
