Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2.5.2) и теорему. единственности (п. 2.5.3) можно заменить ссылками на любой учебник по дифференциальным уравнениям. Теорема. Пусть на открытоммножестве 6с йх)с" функция Р: 6 — 11" и ее частная производная Р„непрерывны, и пусть х: [Г„(,1- К" — решение уравнения (1), ерафик которого Г = «(С х(()) «(ь < Г < г,) содержится в 6. Тогда существует такое б ) О и такая окрестность 6 =>Г, что для любых ((ы х,) Е 6 решение Х((, („х,) задачи Коши (1), (2) определено на Ь=[(,— б, (, +Б«, является непрерывно дйфференцируемой функцией по совокупности аргументов в области (Гь — б, 1, +б)х6 и при этом Х((, т, х(т))=х(т), (3) ~~ (1 т х (т)) = " (1 х (()) (4) — (С („х(т)) ~ = — й(С ) Р(т, х(т)), (5) ах — (Ст, х,)~, =Я((, т), (б) еде Я (С т) — фундаменпшльная матрица решений системы уравнений в вариациях г = Р„' (С х (1)) г. Д о к а з а те л ь с т в о.
А) Применив локальную теорему существования в точках (Г„х((ь)) и ((„х((1)), продолжим х( ) на отрезок Ь= [с,— б, (,+б«так, чтобы график «(Сх(г)) «г'ЕЬ) по-прежнему содержался в 6. После итого выберем е)0 так, чтобы бй = «(С х) ! Г Е Ь, ~ х — х (1) «» (з) с 6. На компакте Уь"- функции Р(С х) и Р„(С х) равномерно непрерывны. Б) Теперь в области М = «(х ( ), („х,) ««х (1) — х (() «< (е, У(ЕЬ; (,Е(п(Ь, х,Ей")с С" (Ь, Я")хКхК" определим функцию К: $- С(Ь, К")х Й" равенством у вх (е) К(х( ), („х,)(1)=~ '~~ ' ). (7) х٠— х, / у ос $ (<о) о Уо (х( )> <„хо)(а1=(. ), Ух,(х( ) (о.хо)Ьо1=( ~). (8) (9) (10) В) Пусть х =х(1), так что (Е, х) ~Г.
Проверим обратимость оператора Уо < > (х ( ), 1, х). Равенство У.<,( ( ), 7, )[И( Н=(~(1) ~С(Л, 14")х(4" эквивалентно задаче Коши $ — Р„(1, х(<))3=1(г), $(г)=7, которая по теореме п. 2.5.4 имйет решение $(1) =Й(1, 7) у+) Й(<, з) ~(з)<(з.
о Таким образом, У'„,, отображает банахово пространство С'(Л, 14о) на все банахово пространство С(Л, (с")хКо. Поскольку прн Ь(.) =О н у=О, задача (11) имеет только нулевое решение, У'„,, взаимно однозначен. По теореме Ванаха (п. 2.1.5) оператор У,<'> существует н ограничен. Г) По классической теореме о неявной функции (п 2.3.4) существует такое 6 > 0 н такое непрерывно дифференцируемое отображение Ф ((<о хо)!(<о — 11<6,)х,— х((6» Со(Л, 14~), что У(Ф(<о'о), <о'о) = — О.
206 Очевидно, что равенство У (х( ), г'„хо) =0 эквивалентно задаче Коши (1), (2). В частности, по условию теоремы У (х(.), т, х(т))=0. Функция У' непрерывно дифференцируема в области 5. Действительно, в (7) входят линейные отображения х( ) э<(х( )«(г, хоо-+ — х„оператор краевых условий (х( ), 1,) х(<,) и оператор Немыцкого (х(<)) э(Р(1, х(<))),'которые непрерывно днфференцируемы согласно пп.
2А.1, 2.4.3. При этом Обозначим Х(~ (а хо) — а'(аа ха)(а) Тогда Х(г, („ха) — решение задачи Коши (1), (2) н при этом (13) Хоа ((о, га, ха) = хо = Хо~ (го, го, хо) и по теореме единственности п. 2.5,3 Хо~(1, (а, хо)=Хоп(1, ~„ха), У16Л. Следовательно, Х (г, 1„ х,) корректно определено для (г„ ха), принадлежащих некоторой окрестности Г и, очевидно, непрерывно дифференцируемо в этой окрестности.
Е) Остается получить формулы (3) — (6). Равенство (3) имеет место па теореме единственности, а тогда (4) является следствием (12). По теореме о неявной функции ((а хо) ~ «< а о ~ О а дГа а потому из (13) и (9) имеем — (У, т, х (т)) [а ~ = — К „',, (х ( ), т, х (т) ) ~ „ дго ~х (т) а/ 2ат д ~ (~ Х (~а ~аа Хо))а (! 2) — (аа Хо) (а)а дХ дФ дго (14) дх, д , Если (7„ха) ((„ха), тоЕ(г„ха) — Ф((„ха) в С'(Л, й"), т.
е. Х((, г„х,) Х(а, („х,) равномерно на Л. Отсюда вытекает непрерывность Х(Г, 1„х,) по совокупности аргу- ментов. То же рассуждение вместе с формулами (12) — (14) показывает, что и производные функции Х(1, („х,) не- прерывны. Д) Предыдущие рассуждения были применимы к на- чальным условиям ((„х„), находящимся в б-окрестности тачки (1, х)ЕГ. Эта тачка выбиралась произвольно, и можно покрыть весь график Г такими окрестностями. Если Хо'(1, г„ха) н Х"'(1, („х,) определены в двух из этих окрестностей, которые имеют общую точку (г„ха), то Поэтому — (1, т, х(т)) является (по !) решением задачи дХ Ив Коши (11) с ~=0 и у — х(т)= — Р(т, х'(т)), и потому имеет место (5).
Аналогично (!м хв)~ <Гмсоо~мв дФ -1 дхв а потому из (14) и (10) имеем — (1, т, х(т))(У1= — !Г„'с>(х(.), т, х(т)) ( дх Следовательно, — (1, т, х(т)) является (по !) решением дхв задачи Коши (!1) с ~=0, откуда — „(г, т, х (т)) 121 = й (1, т) у, а зто равносильно (6). ° $2.6в. Злементы выпуклого анализа Выпуклый анализ — это раздел математики, где изучают выпуклые множества и функции. Роль этих понятий была уже продемонстрирована в п.
1.3,3 (теорема Куна — Танкера) и, учитывая, что в большинстве современных работ по экстремальным задачам выпуклость занимает важное места, мы, кроме элементарных сведений, даем здесь набросок теории двойственности (теорема Фенхеля — Моро) н рассказываем о простейших свойствах субдифференциала — понятия, обобщающего на случай выпуклых функций понятие дифференциала. В Я 3.3, 3.4, 4.3 будет показано, как применяются эти понятия. Изложение этого параграфа опирается по преимуществу на пп.
2.1.3 и 2.!.4. 2.6.1, Основные определения. Пусть Х вЂ” линейное вещественное пространство. Определение 1. а) Множество Сш Х называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками хт и х, оно содержит весь отрезок 1х„хв! = 1х ! х =- ах, + (! — я) х„0 ( а " ! !.. б) Множество А ш Х называется аффинным многообразием, если вместе с любыми двумя своими тачками х, и 208 х, оно содержит всю прямую (х1х=ахг+ (1 — а) х„аЕ )с».
в) Множество К~ Х называется конусом (с вершиной в начале), если вместе с любой своей точкой х, оно содержит весь луч (ахе»а > О». Пустое множество по определению считается выпуклым, аффннным многообразнем н конусом. Совокуп)гость всех выпуклых множеств нз Х обозначается В(Х).
Непосредственно нз определения 1 вытекает Предложение 1, а) Пересечение любого числа выпуклых множеств (соответственно аффинных многообразий или конусов) само является выпуклым множеством (соответственно аффинным многообразием или конусом). б) Образ )(А) и полный прообраз 1-'(В) выпуклых множеств (аффинных многообразий, конусов) А с Х, В г=. )г при линейном отображении Г: Х У является выпуклым множеством (аффинным многообразием, конусом). в) Сдвиг С+3 выпуклого множества С (аффинного многообразия) является выпуклым множеством (аффинным многообразием).
г) Конус К является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда х„х, ЕК=ь(х +хе) ЕК. д) Аффинное многообразие А является линейным поднростран твом в Х тогда и только тогда, когда ОЕА.- У п р а ж и е и и е 1. Докажите, что аффинное многообразие является сдвигом некоторого линейного подпростраистна. О и р е д е л е н н е 2. а) Пересечение всех выпуклых множеств С, содержащих данное-множество М, называетср выпуклой оболочкой множества М н обозначается сопчМ; сопчМ= () С, СЕд)(М). (1) сэм б) Если в (1) вместо выпуклых множеств берутся всевозможные выпуклые конусы К эМ (аффннные многообразия А зМ, линейные подпространства Е =тМ), то пересечение называется конической (соответственноаффинной нлн линейной) оболочкой М н обозначается сапе М (а(1 М, Нп М).
209 Оп ределе н ив 3. Пусть х„..., х„— элементы из Х. Элемент В х= . Л!х! г= (2) к=! а эта последняя сумма является выпуклой комбинацией 210 называется линейной, аффинной, конической или выпуклой комбинацией х,, ..., х„, если в (2) соответственно: для линейной — Л, любые, л для аффинной — ~~", Л! = 1, к=! для конической — Л1) О, для выпуклой — ~ Лг=1, Л,) О.
!=1 По индукции доказывается, что если х„..., х„при- надлежат выпуклому множеству С, выпуклому конусу К, аффинному многообразию А или линейному подпростран- ству !'., то соответственно их выпуклая, коническая, ли- нейная или аффинная комбинация принадлежит С, К, А или 1.. Предложение 2. а) Выпуклая (коническая, аффин- ная или линейная) оболочка множества М состоит из всех выпуклых (конических, аффинных или линейных) ком- бинаций злел!ентов из М. б) Множество М. выпукло (является выпукль!м конусом, аффи нным многообразие,и или линейны и подпространстоом) тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей вы- пуклой (конической, аффинной или линейной) оболочкой.
До к аз а тельство проведем для выпуклого мно- жества М вЂ” в остальных случаях оно аналогично. Обозна- чим через М множество всех выпуклых комбинаций то- чек из М. Множество М эМ и выпукло, ибо если х,= ~ и;,хпь х,=',5',аг,хм, аа)О, с=! 1=! ат — — 1, 1=1, 2, 8=! то для аЕ~О, 11 ь1! ФИ ~ ах„+(1 — а) х,= ~', аа;,х;,+ „У, (1 — а) амхни точек х„,..., х „хгм ..., х„,. Значит, сопи М»= М (ибо сопя М есть пересечение всех выпуклых множеств, со- держащих М). С другой стороны, как было замечено выше, каждая точка из М содержится в любом выпук- лом множестве, содержащем М, и потому М»: сопуМ.
Если М выпукло, то в (1) можно взять С=М, и тогда, очевидно, сопу М = М. Обратно, если сот»ч М = М, то М выпукло по определению выпуклой оболочки и предложению ! а). ° Уп р аж пение 2. Докажите, что алгебраическая сумма и Л4»+" +Л(а= х)х=~ хт х»ЕМ, (=1, "'и »=1 конечного числа выпуклых множеств (конусов, аффинных многооб- разий, линейных подпространств) обладает тем же свойством. П р и м е р ы.
1) Выпуклые непустые множества на прямой — это одноточечные множества и промежутки всех видов (отрезки, интервалы, полуинтервалы,, лучи замк- нутые и открытые и вся прямая), 2) Всякое линейное подпространство нли аффинное . многообразие — выпуклое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
