Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При Л=О полупространство.(3) будем называть вертикальныи. Очевидно, что ер1)=((х, г) ~1(х)(г) с ((х, г) ~ <х', х> е Ь) Фэ 4Ф бои( с (х) <х", х> (Ь) = Н+ (х', Ь) ~ => ер! 1 с Н~ (х', Ь) Х К. При Л( 0 все члены неравенства (3) можно разделить на ~Л~, так что можно считать Л= — 1 и полупространство (3) совпадает с надграфиком аффинйой функции а(х)=<х', х> — Ь.
Но В = ер1 !" с ер1 а ЕЭ ) (х) ) а (х), Ух. Поэтому ер1)= О ер1а й П (Н,(х', Ь) х й). (4) а~Г оат ! с н~ и',и Теперь заметим, что хотя бы одна аффинная ао(~ существует (в протянем случае ер1~ вместе с точкой (х„г,) содержало бы все точки (х„г), г ~ К, откуда 1(х,) = — оо, вопреки тому, что ! — собственная). Но еР(по ПН+ (х', Ь)Х !<=((х, г) !ао(х) (г, <х', х>(Ь) = Г! ((х, г)/а,(х)+Л(<х', х> — Ь)(г) = хэ.
о = О ер1(а,(х)+Л(<х', х> — Ь)), з.> о и если ао (х) о ) (х) и йопв) с Н (х', Ь), то 1(х) (+со ~ <х', х> — Ь(О=Фао(х)+Л(<х', х> — Ь) =1(х). Следовательно, еР1аоО (Н~ (х', Ь)ХР! с П еР1а, так а<! что в (4) мы можем избавиться от всех вертикальных 222 полупространств На (х', Ь). Итак, ер11 = П ер1 а ок( и, согласно (2), ) (х) =зпр (а(х)) а(х) аффинная и у(х)). (5) Остается заметить, что в (5) можно брать только опорные к ( функции, поскольку верхняя грань не изменится, если из всех функций а(х)=<х*, х> — б =Дх) с одним и тем же х' мы оставим ту, у которой Ь определяется равенством (1), т.
е. опорную. ° Упраиснавне 8. фли Г: Х вЂ” й выпукла и замкнута и г (х) = — ~о, то 1(х) = — — оо, чх Е восп д Для гладких функций мы можем воспользоваться следующим утверждением. П р е д л о ж е и и е 4. Если функция Г выпукла и дифференцируема по Гато в точке х„то функция а(х)= =<(г(х,), х — х,>+1(х,) является для нее опорной.
Доказательство. Условие б) определения 3 следует из равенства а(х,) =1(х,'). Предположим, что ((х,) <а(х,) для некоторого х,. Тогда ((х,) <а(х,) — е для некоторого е > О, и потому при О <а < 1 1(хо+а(х,— ха)) =1((1 — сс) х, +ах,) <(1 — и)('(х,)+а)(х,) < (1 — а) г(ха)+а(а(х,) — е) = — (1 — а) ) (х,)+со() (ха) +<)г(ха), х,— х,> — е) = =1(ха)+а<~г(х,), х,— х,> — ае. Следовательно, (х ) х > 1" 7(хо+и(х1 — хай 1(ха) а(0 а <<]г(ха) о' с > — е что противоречиво. Тем самым выполнено и условие а).
° Пусть теперь функции 1: Х вЂ” й дифференцируема по Гато в каждой точке х, ЕХ. Составим для нее функ- цию Вейерштрасса (ср. п. 1.4.4): 4 (х х)=)(х) ((х) <(г(ха) х х >. Предложение 5. Для того чтобы (' была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялоса неравенство 8(х, ха))О, Ух, х,, Док аз ательство, а) Если (' выпукла, то ег(х, х,)) ) О, агх, х, в силу только что доказанного предложения 4. 223 б) Пусть х, = ах, + (1 — и) х„О ( а ~ 1. Неравенства 8 (х„х,) ~ О, 8 (х„х,) ) О означают, что точки (х„1 (х,)), (х„1(х,)) лежат в полупространстве ((х, г) ~г) ~(х,)+ +<~г(х,), х — х,>).
Следовательно, и отрезок, их соединяющий, лежит в том же полупространстве, а потому и ) (х,)+(1 — а) 1(х,) ) = ((х,)+<('(х,), ах,+(1 — а)х,— х,>=7(х,). ° Таким образом, выполнение условия Вейерштрасса из п. 1.4.4 для всех точек (1, х, х) эквивалентно выпуклости лагранжиана (.(1, х„х) по х. 2,6,3. Преобразование Лежащая — Юнга — Фенхеля. Теорема Фенхеля — Моро. По-прежнему пусть Х вЂ” локально выпуклое линейное топологическое пространство, а Хе — его сопряженное.
Зададимся теперь произвольной функцией 1: Х К и исследуем подробнее множество ее опорных функций. Естественно считать при этом функцию собственной, так как в соответствии с определением у(х) )а(х) > — со всюду, если ) имеет хотя бы одну опорную, а случай ((х)— = +со тривиален: любая аффинная функция является опорной. Определение.
Функция на Х*, определяемая равенством 1*(р)=зцр(<р, х> — 1(х)) (1) ХЕХ называется сопряженной к 1 функцией или ее преобразованием Юнга — Фенхеля (иногда преобразованием Лежандра), а функция )'в(х)=вар(<р, х> — )'(р)) (2) едал — второй сопряженной к ) функцией. Из равенства (1) п. 2.6.2 видно, что множество опорных для 1 функций находится во взаимно однозначном ' соответствии с множеством тех р Е Х', для которых ~' (р) конечно: (р, )*(р)па~со)++а„(х)=<р, х> — Г" (р). (3) Замечание.
Несмотря на кажущуюся симметрию формул (1) и (2), ~*'~(1')'. Лало в том, что (1*)' по определению следует рассматривать на (Х~)в, а не на Х. Только для рефлексивных пространств (~')" и 1"' естественно отождествляются. ПрсдЛОжЕНИЕ 1. 1) Фунтик 1Г и (в'ЕмиуКЛЫ и замкнуты. 2) Для любых х~Х и р~Х" выполняется нераеенснмо Юнец: 1(х)+1'(Р)~ <Д, х>. (4) 3) 1" (х)<1(х), т'х. 4) Если 1(х) <у(х), то1в(р) ) Кв (р) и7в" (х) (фвв (х). Доказательство. 1) Из (1) и (2) видно, что обе функции получаются как аерхняя грань некоторого Ыножества аффиниых функций, а потому нх нцдграфики являются (по формуле (2) п. 2.6.2) пересечением замкнутык полупростраиств и, значит, выпуклы и замкнуты.
2) Из (1) вытекает, что при „пюбых х~Х и р~Хв должно быть )'*(р)) <р, х> — )(х), что равносильно (4). 3) По уже доказанному ~(х) ) <р, х> — 1'(р), откуда 1(х) ) зпр(<р, х> — 1'(р)) =1" (х). Р 4) Очевидное следствие определений. ° Примеры. 1) Пусть )(х)='<х,", х> — Ь вЂ” аффинная функция. Такая функция имеет только одну опорную— себя самое, Поэтому (+во, рчьх;, 1в (р) = зцр (<р, х> — <х;, х>+Ь) ( Ь (6) ~'"(х) зцр(<у х> — 1'9)) <х;, х> — Ь 1(х) (б) Р 2) Пусть, как и в примере 1 п.
2.6.1, 1 1о (х) а < х < р, ~(х) ~+оо, х((и,~), причем );(х) на ф, 1)) непрерывна и моиотохно ввзра- стает. Обознаиим А= 1пп Д(х), В= 1пп Д(х). х-+к+О к-+з-0 Для любого р~(А, В) равенство р=10(х,) выполняется при некотором х, Е (а, 6). Так как 1(х) — выпуклая функция, то (предложение 4 п. 2.6.2) а(х) 1(х,)+1'(х,)(х — х,) рх — (рх,— 1(х,)) а в. м.
ллевсеач а ар. Щб — опорная функция, и, значит, равенства (*(р)=рх,— (,(х,), р=(;(х,) (7) задают (е (р) параметрически в (А, В) (функция (е, опре- деляемая равенствами (7), называется в классическом анализе преобразованием Лежандра (,). У п р в ж н е н и н. 1. Что можно скезвть в етом примере о (* (р) при р ~ (А, В)? 2. Длн следующих функция ( на й укезать Вогп(, ер! й прове- рить выпуклость и замкнутость и вычислить (' и (**: а) ах'+ах+с, а~О, б) ) х)-(-) х — а), ( О, а~хай, в) ((х) — 1), г) 6 (и, ()1 (х) = е (се, хЧ[а, Щ, л) ' ' е) ! ч — )гТ+х~, )х(~~1, ' /+ )г ! — х', )х) < 1, + со, ! х ! > 1, ! + <о, ) х ) ~ 1, ( — 1пх, х>0, ж) ек ') ')о, ~о, и) О, х = О, < (х1пх, х>0, к) ~, +се, х<0, (х" (хк ( —, х)0, х~о, л) ~а ' ' (а)1), м) ! а ' ' (а~!), +се,х<0 О, х<0 н) )х)к!а (а к!).
3) Следующий пример мы используем далее в 3 3.3. Предложение 2. 17усть функция (: Кк- К определена равенством ((х) = ((х„..., х,) = щах(х„,..., х,). Тогда О, если р; ) О,,Е рг = 1, *(р)=(*(рг ~ Рк)= г=! ~ + оо в остальных случаях. Доказательство. Поскольку ( является максимумом конечного числа линейных (а значит, выпуклых и непрерывных) функций, ее выпуклость и непрерывность очевидны. Ю Если р!) О,,'„р< р;=1, то ср, х>(п!ах(х„..., х,), г=! и потому (е(р)=зцр<(р, х> — тах<х„..., х,Ц=О.
к С другой стороны, если )'ь(р)(+со, то обязательно 1" (р) = О (в силу однородности функций х ь <р, х) и х ~шах(х,..., х,)), т, е. для таких р выполняется неравенство Х Р;х! — шах (х„,..., х,) (О, Ух. Г=! Подставляя в зто неравенство х =О, / Ф !, х! = $, получаем р!с «=шахД, О), откуда р!)О. Положив в том же неравенстве х;=а, !=1, ..., в, получаем в 3 а ХР!(а, !!гаЕйвь Х Р!=1 ° 1=! 1=! 4) Сопряженная функция к норме в нормированномм пространстве. Предложение 3. Пусть Х вЂ” нормированное пространство, У (х) = ~) х).
Тогда )ч'ь совпадает с индикаторной функцией 6В" 'единичного шара сопряженного пространства Хь, а Л!ьь (х) = !У(х), Доказательство. Если )~р) ) 1, то <р, х,> >',!х,,'~ для некоторого х„и тогда 1ь(р)=зцр(<р, х) — 1х)))зцр(<р, ах,> — а1х,'~)=+ оо. к а>О Если же 1Р1(1, то <р, х>(!!х1 и 1' (р) =зир(<р, х> — ~х!,') =О. х Далее, (х) = ялр(<Р, х) — (~ (!о)) = зцр (<о х))=!!~!х!~=У (х). ° г !!иьс! 5) Пусть Х=К, ~(х)=1!(1+х'). Тогда, как легко понять, (О, р=о, )" (Р)=!( + ~О 1"'(х)= — О, и, таким образом, равенство )ьь(х)=1(х), которое мы наблюдали в примерах 1) и 4), здесь не выполняется. Следующая теорема, которая принадлежит к числу важнейших в выпуклом анализе, показывает, что совпа- дение 1 и 1ь" отнюдь не является случайным. Т е о р е ма Ф е н хе л я — Мор о. Пусть Х вЂ” локально выпуклое топологическое линейное пространство, ): Х— — К вЂ” функция, всюду ббльшая — оо. Тогда 8' 227 а) Г" (х) аи 1(х) тогда и только тогда, когда 1 выпукла и замкнута.
б) 1" (х) =зпр(а(х) ~а(х)-аффиннал и <Г(х)). в) Если существует хотя бы одна аффинная функция а(х) 1(х) (вквивалентные условия: 1' (р) ~+ оо или 1»" (х) > — оо всюду), то 1**(х) — наибольшая иззамкнутых выпуклых функций, не превосходящих Г(х), т. е. 1"' = сопку. г) ()".*»)' =г'. Доказательство, А) «Только тогда»следует из 1) предложения 1. Предположим теперь, что а(х)(~(х)— аффиииая функция. В цримере 1) мы установили, что а'" (х)=а(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
