Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Тогда из (6) ц г)(Е. (Г) Ь(1)+(.„т ЬД> )Г =О (6) 7» для любой вектор-функции Ь( )~С»(1»'„г»), 11") такой, что )г(Г,) =Ь(1;) =О. Но с такой ситуацией нам при шлбсь уже встречаться в п. 1,4.1. Из леммы ДюбуаРеймойа, доказанной там~ мы сразу получаем соотношение . (2) (в и. 1,4.2 лемма Дюбуа-Реймона была доказана для скалярных функций, н здесь ее следует применять поочередно к каждой компоненте вектор-функции Ь ( ); полагая Ь, ( ) =-... = Ь;, (.) = Ь;э, ( ° ) =-... =- Ь„( ° ) = О, мы сводим (В) к аналогичному скалярному соотношению с одной компонентой Ь,( ) и получаем 1-е уравнение системы (2)), При этом заодно доказывается непрерывная дифференцируемость»,„(Г). Но тогда в выражении (6) можно произвести интегрирование по частям, что (с учетом (2)) дает О=3)'Й)Ы=(це г»(Го))Ь(ге)+ +(с»»+Т,;(1»)) Ь(Г,)+(),т,+~»тг (9) для произвольных векторов Ь(Г,), Ь(1,) и чисел т, и т,. Отсюда и из (7) немедленно следуют соотношения (3) и (4).
° Как мы видим, доказательство теоремы, в сущности, такое же, как и в гл. 1. Только там нам пришлось вычислять производные кустарно, а здесь мы воспользовались общими теоремами дифференциального исчисления Я 2.2 и 2.4, 3.1А. Элементарная задача оптимального управления, Пусть Ц вЂ” топалогическое пространство и йп11„1»1 Х хП вЂ” К. Рассмотрим задачу и ) (и ( ° )) = ) ~р (С и Я) М 1п1 (3) ь в пространстве КС(11„Я Ц) кусочно непрерывных функций и( ):[»~ 1,1- ц со значениями в Й.
Функцию ~р 247. будем предполагать непрерывной в11„1,1ХМ. Задачу(й) назовем элементарной задачей оптимального управления. Теорема (неабходимое и достаточное условие минимума в элементарной задаче оптимального управления). Пустьфункиияи( ) Е ~ КС ([1„1,1, П) и доставляет абсолютнь«й минимум в задаче (з).. Тогда длл любой точки непрерывности функции й( ) выполнено соотношение ш(пг(1, и)=~(1, й(1)).
(1) Доказательство. Допустим, что соотношение (1) не выполнено и существуют точка т (где й(.) непрерывна) и элемент очП такие, что )(т,.р) <)(т, й(т)), Вследствие непрерывности функций 1 — ~ (1, о) и Г- /(Г, й(Г)) в окрестности точки т найдется такой интервал а=(т — б, т+Ь1, чта г(г, о)<г(Г, й(1)) при 1~А. Положим й(1) =и Я при 1(й и и(Г) =о при 1ЕЛ.
Тогда ~(и( )) <)(и(.)) вопреки минимальности й( ). 3.1.5. Принцип Лагранжа для задач с равенствами н неравенствами. В гл. 1 уже несколько раз обсуждался принцип, которому соответствуют необходимые условия для задач с ограничениями. Здесь, после того как нами выделены некоторые «элементарные»'задачи, можно подвести кое-какие итоги. Рассматривавшиеся экстремальные задачи были формализованы так, что ограничения делились на две группы, первая нз которых имела вид равенств. По ограничениям этой группы составлялась функция Лагранжа. Далее мысленно ставилась задача а соответствующем экстремуме функции Лагранжа яо второй группе ограничений — по той группе, которая не участвовала в формировании функции Лагранжа.
При этом оказывалось, что полученная экстремальная задача либо сама оказывалась элементарной, либо элементарными оказывались «частичные» задачи, получаемые фиксированием всех неизвестных„кроме одного. Необходимые условия для полученных элементарных задач в своей совокупности и составляли искомый набор необходимых условий экстремума.
Предоставим читателю убедиться, что все необходимые условия, о которых речь шла в гл. 1, и все необходимые условия, а которых речь пойдет далее в гл. 4, соответствуют описанной процедуре. Исключение составляют й48 задачи с неравенствами, в которых появляются допол. нительные условия. Этими задачами мы займемся в следующем параграфе, а здесь покажем, что и они также могут быть включены в рамки описанного «принципа Лагранжаз. Пусть (для определенности) у нас- имеется задача минимизации 1,(х) 1п1; Р(х) О, ~,(х) ~ О, 1 1, ° ° ' гя (3) где наряду с равенствами встречаются и неравенства (Х и 1' в (а) — линейные топологичесине пространства, А: Х- К, Р: Х )').
Введением новых переменных и, приведем задачу (з) к виду 1,(х). 1п1; Р(х) О, 6(х)+и~ О, и;~0, 1=1,...,т, (а) и разобьем ограничения иа две группы, первая из которых состоит из равенств (Р(х)=0, ~,(х)+и,=О), а вторая группа — нз ограничений вида и,~О. Для задачи (з) составим функцию Лагранжа, игнорируя ограничения второй группы: .У(х, и, р', д, ")=М~(х)+ + ~ ХЯг(х)+иД+(р', Р(х)>, Х (Х;, ..., Х„),, условившись о знаке множителя Х, (в задаче Иа миннмум Х,)0, на максимум Х,а-О). В задаче о минимизации функции Лагранжа (при фиксированных множителях) Я'(х, а, у', д, Х,)- )п1 имеется две группы перемеииыя х и и.
Если закрепить переменные и=й, то получается элементарнаи задача без ограничений (гладкая, выпуклая и т. п,), и здесь можно написать нужное необхддимое условие экстремума, причем, как легко видеть; и~ в это условие не войдут. Если же фиксировать переменные х=х, то получится элементарная задача линейного программирования. Условия экстремума, написанные в соответствии с и. 3.1.2, дают нам условия аюглааглсяаил аннкоа множителей Лагранжа Х и условия дополняющей нежесткости Х;и» = 0 вэ ХД (х) = О. (2) Далее мы будем каждый раз пользоваться этой процедурой, но, если у нас имеются ограничения типа неравенств, составляя функцию Лагранжа, сразу будем писать ее укороченной: Я'(х, у', Х, Л«) = "»,' ХА (х) + с=о + (у', с (х)) — и именно такую функцию будем называть функцией Лагранжа задачи (э). Нужно помнить только, что к условиям ее экстремума по х следует присоединить соотношения, вытекающие из (1), (2), а именно, условия согласования знаков 1; (х) ~~ О => Х, ~~ О (1') и дополняющей нежесткости Ху;(х)=0.
Заметим теперь, что принцип' Лагранжа (как, напри-, мер, и теорема Ферма для гладкой экстремальной задачи) дает только необходимые условия экстремума, т, е. выделяет множество «подозреваемых» объектов, но не доказывает их «виновности». Поэтому для полного решения задачи мы должны либо иметь в распоряжении набор достаточных условий экстремума, либо иметь уверенность в существовании решения. Первое позволит «провести экспертизу»: каждый из выделенных необходимымн условиями объектов мы подвергаем проверке на достаточность.
Найдя среди них тот, который удовлетворяет достаточным условиям, мы считаем задачу решенной. Во втором случае искомое решение (существование которого заранее известно или доказана) обязано попасть в число подозреваемых объектов, удовлетворяющих необходимым условиям экстремума. Вычисляя для каждого нз них значение функционала, мы объявляем решением тот, где это значение экстремально. Разумеется, ии тому, ни другому приему нельзя Ътдать предпочтения. Достаточные условия обычно не совпадают с необходимыми, и потому могут оставаться ио «подозреваемые», «вину» которых установить не удается (например, теоремы и.
3.1.1 не дают ответа о существовании экстремума в точке х для «плоской» функции ((х), у которой ~'»>(х)=0 при всех й). С другой стороны, даже зная, что решение существует, мы можем оказаться в затруднении, если необходимыми условиями выделяется бесконечное (или просто очень большое) множество подозреваемых объектов. В большинстве вопросов существования решения оказывается возможным обойтись усовершенствованным вариантом классической теоремы Вейерштрасса, которую мы уже упоминали в п.
1.б.1: существование является следствием компактности множества допустимыд элементов и полунепрерывности функционала. Определение. Функция ~; Х вЂ” )ч, определенная на топологическом пространстве Х, называется полунепрерывной снизу в точке х„если !пп 1(х) =»1(х»), и прок х, сто полунепрерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каждой точке (ср.
и. 2.6.2), Теорема Вейерштр асса. Полунепрерывная снизу функция г': Х вЂ” К достигает минимума на всяком счетно-компактном подмножестве пюпологического пространства Х. Доказательство. Пусть А~Х вЂ” счетно-компактное подмножество и 5 — значение задачи ~(х) 1п1, хЕА, (3) т. е. 5 =! и! 1 (х).
к«л По определению нижней грани мы можем выбрать минимизир)чощую последовательность задачи (3), т. е. такую последовательность точек х„~ А, что ('(х„) — Я. По определению счетной компактности из х„можно выбрать подпоследовательность х„, сходящуюся к некоторой точке хЕ А. Ввиду полунепрерывности 1(х) ~ 1пп ~ (х«») = !нп Г'(х„) = Я » ю л м и так как, с другой стороны, г'(х) не может быть меньше значения задачи (3), ! (х) = 3, т. е.
х — точка минимума. ° Следствие. Пусть )' пол унепрерывна снизу на топологическом пространстве Х. Если некоторое лебеговское множеспмо я 1 = (х ~ ~(х) а) функции Г ненусто и счетно компактно, то 1 достигает на Х своего минимума. $3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств н неравенств 3.2.1..Формулировка теоремы.
Рассмотрим экстремальную задачу: (',(х) ех1г; Р (х) = О, (,(х) чЫ О, 1 = 1, ..., т. (1) Символ ~,(х)чвО означает, что 1-е ограничение имеет вид либо 1;(х)=О, либо 7;(х)~0, либо К,(х)' О. Задачи типа (1), где Х и У вЂ” нормированные пространства, ); — гладкие функции на Х, а Р— гладкое отображение из Х в У, называются гладкими экстремальными задачами с ограничениями типа равенств и неравенств. функцией Лагранжа задачи (1) называется функция ,У(х~ у~, 11 Я~а) = Х )чаев (х)+(у~~ Р(х)), (2) где и (2) Х=(Х„..., 3„) ~ 11"', 1„б К, у'бУ' — множители Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
