Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Теорема (правило множителей Лагранжа для гладких задач с равенствами и неравенствами и). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, У— открытое множество в Х, функции ~;: У вЂ” К, =О, 1, ..., т, и отображение Р: 0 — У строго дифференцируемы в точке х. Если х доставляет локальный экстремум задаче (1) и если образ 1гп Р' (х) есть замкнутое подпространство в У, (3) то найдутся такие множители Лагранжа у', ь, "ь„для которых выполняютст а) условие стационарности функции Лагранжа по х .2'„ (х, у, Х, Х,) О. (4) б) условие согласования знаков: 1г~ О, если задача на минимум, 1,~~0, если задача на максимум, )ч~~О, 1=1, ..., т, (5) в) условия дополняюи(ей нежесткости Х;1,(х)=0, 1=1, ..., т.
(б) Напомним еще, что запись ь, ~~0 означает следующее: если в формуле (1) ~,(х))0, то ь, <О, если ~г(х)(0, то Х,~)0, наконец, если ~,(х)=0, то ьч может иметь любой знак. Утверждение о существовании множителей Лагранжа, удовлетворяющих совокупности условий а) — в), находится в точном соответствии с общим приемом снятия -ограничений — об этом как раз и говорилось в последнем пункте предыдущего параграфа. Поэтому сформулированный результат мы называем еще принципом Лагранжа для гладких уадач с равенствами и неравенствами. Доказательство общей теоремы базируется, с одной стороны, на теореме о -неявной функции из 3 2.3, а с другой — на теореме Куна — 'Таккера, т.
е. в конечном счете †кояечномерной теореме отделимости. Теорема Куна †Такке была доказана нами в 3 !.3, и ссылка на нее — единственная цо существу содержательная ссылка иа первую главу в этой части книги. Привлечение теоремы Куна — Таккера связано с наличием в (1) неравенств, и оно несколько осложняет доказательство. Случай же, когда неравенства отсутствуют, совсем прост, ио вместе с тем и содержателен и поучителен. Поэтому мы разберем его отдельно, хотя, конечно, этот случай является автоматическим следствием общего результата.
При чтении следующего пункта мы рекомендуем сравнивать параллельно бесконечномерный вариант доказа. тельства с конечномерным, разобранным в п. !.3.2. 3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами. Теорема (принцнп Лагранжа для гладких задач с равенствами). а) Пусть Х й У вЂ” банаховы пространства, У вЂ” открытое множество в Х, 1: У вЂ” й, Р: П У вЂ” функция и отображение, строго дифференцируемые в точке х, Если точка х является точкой локального экстремума в задаче )(х)- ех(г„Р(х) =0 (1) и если образ 1т Р' (х) — замкнутое подпространство в У, то найдутся такие множители Лагранжа Х, Е Й и у' Е 1", 263 для которых вьтолнено условие стационарности ййункт(ии Лагранжа: .У„(х, у*, Лэ)=ОФФ <Ле~ (х), х>+<у', Р'(х)[х(>=О,Чгх.
(2) б) Если выполнено условие регулярности отображения Р, и. е. если 1ш Р'(х) совпадает со всем пространством У, то множитель Л, отличен от нуля. Доказательство проведем для задачи на минимум. Определим отображение в' (х) = () (х) — 1(х), Р (х)), (Г: (у 1( х У. Отображение!Г, очевидно, строго дифференцнруемо в х н (Г'(х) =()ч(х), Р'(х)). Возможно одно нз двух: образ 1ш!Г(х) может совпадать или не совпадать с пространством 11 х У. А) Разберем сначала случай 1ш еГ'(х)Ф )ч х У. К отображению (Г'(х) прнменнм лемму о замкнутости образа (п, 2.1.6). Образ 1ш Р'(х) замкнут по условию, образ 1'(х)(КегР'(х)) есть либо (О), либо 11, т. е. замкнутое подмножество 11.
Значит, по цитированной лемме образ 1шет'(х) замкнут в 11хУ. Так как он не совпадает с ц х У, 1ш эт ' (х) — собственное замкнутое подпространство. Но по лемме о нетривиальности аннулятора (п. 2.1А) найдутся число Лэ н элемент у* (см. п. 2.1.2, где говорятся об общем виде линейного функционала в произ- веденин пространств), не равные нулю одновременно ((Лэ(-)-))у')ФО) н такие, что <Лэ(' (х), х>+ <У', Р' (х) [х)> = О, Ух. Но это соотношение совпадает с (2), Б) Пусть теперь 1ш Г' (х) = )с х У. Тогда мы можем применить теорему о существовании неявной функции (см. пп. 2.3.1 — 2.3.3). Согласно этой теореме') существуют константа К > О, окрестность (1 точки (О, 0) в пространстве 11 х У н т] Приведем сопоставление обоэначеннй теоремы п.
2.3.! с обо. аиаченнямн этого пункта. Х вЂ” топологнчсское пространство в теореме о неявной функция (н ф) здесь состоит нэ одной точки (хэ), У (н ф) ФЭХ, д(н ф ) ФЭ Н Х У, Ч (х, У) =Ч' (хе, У) (н ф ) ФФЯ (х), Л (н ф ) ФФ Фа Я' (х), Уе(н.ф ) ФФ х, аэ(н.ф ) Фь ОЧ ЦХУ. Условие !) теоРемы 254 отображение ф: Я- Х такие, что У'(ф(а, н))=(а, и) и (ф(а, у) — хЦ~~К!;У (х) — (сх, у))/.
(з) Положим х(в) =ф( — е, 0)=ф(г(з)). Тогда из (3) имеем У (х(и))=г(з)фри(х(з)) — )(х)= — и, Р(х(з))=0, (4) )) х (з) — х1 = '1 ф (г (е)) — х // ( К1 (О, 0) — ( — з, 0) // = К)з (. (5) Из (4), (5) следует, что х(е) — дойустимый элемент в задаче (1), сколь угодно близкий к х и вместе с тем )(х(з)) < 1(х), т, е.
х(1!осв1п (1). Противоречие доказывает, что равенство 1шУ'(х)=11хУ невозможно. Тем самым верно утверждение а) теоремы. В) Пусть Р— регулярно к точке х н гье=О. Тогда у*~О и соотношение(2) приобретает вид: <и', Р' (х) [х)>=0, 'ух. Выберем элемент у такой, что <у', у>~0 (это возможно, ибо у'~0), и найдем элемент х такой, что Р' (х) 1х1 = у (он существует вниду равенства Р' (х) Х = 1'). Тогда 0 ~ <у', у> = <у', Р' (х) 1х)> = О. Этим противоречием доказано второе утверждение. ° 3 а меч а я ив. Мы построили доказательство по той же схеме, что и доказательство конечномерного правила мнойгителей Лагранжа (и.
1.3.2), и оно оказалось столь же простым и кратким. Прав. да, это потребовало некоторой подготовки: были использованы три фак. та из функционального анализа: теорема о нетривиальности аннулятора (т. е. в конечном счете теорема Хана — Бенаха), лемма о замкнутости образа и теорема о неявной функции. Для завершения общей теоремы — доказательства правила множителей для задач с неравенствами — нам, помимо этих трех фактов, понадббится еще лишь теорема Куна — Таккера, являющаяся прямым следствием конечномерной теоремы отделимости (см. п.
Е) доказательства теоремы в и. 3.2.4). Удивительно, что столь малыми средствами, относящимися к общим математическим структурам, получается результат, в качестве прямого следствия из которого с помощью незначительных вспомогательных средств также общего плана (теорема Рисса о линейных функционалах в пространстве С и стандартные теоремы о дифференциальных уравнениях) в следующей главе будут выведены содержательные конкретные результаты: необходимые условия экстремума в задачах классического вариацнонного исчисления и оптимального управления. удовлетворяется тривиально, условие 2) выполнено вследствие строгой днфференцнруемости У, ибо 'р(х, у') — ф(х, р") — л(р' — у") с)Ф У (х') — У ( ') — У'(х)1 ' — х'1, и, наконец, условие 3) выполнено, поскольку 1шУ'(х) йХ$'. 255 3.2.3.
Редукция задачи. Перед тем, как приступить и доказательству теоремы, сформулированной в и. 3.2.1, произведем некоторое преобразование ее условий. Сна. чала, заменив, если нужно, (, на ( — 1)Г„ сведем задачу к задаче на минимум. Если среди ограничений вида ~е(х)(0 или Г!(х)) 0 есть такие, что (;(х) ( 0 или соответственно 1; (х) ) О, то мы' их отбросим, поскольку с локальной точки зрения они несущественны, ибо выполняются во всех точках некоторой окрестности точки х.
Далее, если в (1) п. 3.2.1 имеются неравенства ~;(х) вО, ~,(х)=0, мы заменим их на неравенства ( — 1)~,(х)~~0. Равенства же (; (х) = 0 присоединим к равенству Р(х) =О. Перенумеровав теперь заново все неравенства, задающие ограничения, получим следующую задачу, эквивалент. ную (1): ~,(х)- !п(; Р(х)=0, ~~(х)(0, 1=1,..., т, (1') где Р(х)=(Р(х), 7д„(х), ..., ~„(х)) и для каждого Ои )~р, существует такое ет — — +1 или — 1, что б (х) ~ суй!(х) (2') В задаче (1') х доставляет'локальный минимум и при этом Г (х)=0, 1=1... „т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
