Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда, если выполнены соотнои«ения )' (х), О, (11) 1" (х) [Ь„Ь1)а(Ь1«, ч«Ь Е Х(1" (х) [Ь, Ь)а=а(Ь1«, «««Ь ЕХ) (12) для некоторого сс > О, ою хЕ!осш(пб (хЕ1осшахб). Доказательство. Если выполнено первое нз неравенств (12), то, снова обратившись к формуле Тейлора, имеем 1(х+Ь)=)(х)+Г(хт+-( 00 [Ь, Ц+06ЬИ) ) «(х) + 2 «Ь««+о««Ь«) > «(х) 241 если йчь0 и 1й) достаточно мала. Следовательно, х Е 1осппп й. Случай максимума рассматривается аналогично. ° Условие (12) называют условием строгой положигпельпоспги (отрицательности) второго дифференциала ~. 3 а м е ч а н и я. 1.
В конечномерном случае, когда Х=К", утверждения теорем 1 — 3 хорошо известны из курса математического анализа (см. об этом также в п. 1.4.1). Теорема Ферма означает следующее: 1' (х) = 0 В» д) (х)!дх! =... = д( (х)1дх„= О. (13) Из необходимого условия второго порядка вытекает, что в конечномерной задаче на экстремум утверждение х Е 1осгп(п й влечет (помимо (13)) неотрицательную опре!' д!Г(х) деленность матрицы ~ д д ): ~дх;дх ) ' х Е д д ~!~ ~~ ~~ч" (14) Условие положительной определенности матрицы (.' ) — 3 — ) гарантирует, как нетрудно убедиться, строгую д'1(х) ! дх, хг) положительность второго дифференциала (и, значит, является достаточным условием минимума в стационарной точке). В бесконечномерных пространствах это не так.
П р имер. Пусть Х =1„1(х) = ч~~ ~((хг!г!п') — х)). Тогда /=! точка х=О является стационарной, 1'(0)=0, а второй дифференциал ) в нуле — положительно определенным Г" (0) Р!, й1 = ~~Р ~~фп'. у=! Но вместе с тем 0(1остп(пд, нбо на последовательности (е„/п)„", (е; — !-й базисный вектор пространства 1,) функцйонал ) принимает отрицательные значения: ~(е„!и) = = (1!п!) — (1/и') < О, а сама последовательность стремится к нулю.
2. В одномерном случае лемма, с которой начинается этот пункт, дает в некотором отношении исчерпывающий ответ на вопрос о том, является ли заданная точка точкой локального минимума бесконечно дифференцируемой функции ) или нет: за исключением тривиального случая, 242 когда все производные в данной точке равны нулю, лемма дает ответ на поставленный вопрос. Даже для функций двух переменных такого рода исчерпывающей процедуры по-видимому нет. 3. Неравенства (12) накладывают серьезные ограничения на структуру нормированного пространства Х. Если выполнено первое из них, то симметричная билинейная функция ($~т)) =("(х)Я, Ч~ задает в Х скалярное произведение, а неравенства 1 1" (х) (! ) $1' > ($ ( $) = 1' (х) (з, з1 > а1 $1' показывают, что норма, порожденная этим скалярным произведением, эквивалентна исходной.
Следовательно, Х линейно гомеоморфио евклидову (предгильбертову) пространству. В частности, неравенства (12) не могут иметь места в пространствах С и С'. 3.1.2. Элементарная задача линейного программирования. В п. 1.2.6 мы в общих чертах описали класс задач линейного программирования. Здесь будет рассмотрена самая простая из задач этого класса. Для нас она интересна тем, что при ее рассмотрении мы познакомимся с важными условиями экстремума †условия соответствия и согласования знаков 'и условием дополняюи1ей нежестности. Пусть Х= К', аЕ К"' — элемент сопряженного пространства, а=(а„..., а„).
Рассмотрим задачу л ах — 1п1 (зцр); фэ ~~р~ а;х; — 1п1 (зцр); (й) !=1 х;~~0. Символ ~~ здесь означает, что в соответствующем ограничении может стоять один из знаков >, <' или =. Задачу (й) будем называть элементарной задачей линейного программирования. Будем говорить, что для вектора а выполнено условие соответствия знаков (с ограничениями х; ~ ~0), если а;> 0 при ограничении х;> О, а;<О при ограничении х;<О и а; может иметь любой знак, если ограничение имеет вид равенства х,. = О.
В случае, если неравенства «оборачиваются», т. е. если а; > 0 при ограничении х; < О, а, < 0 при ограничении х, > 0 (и снова а, †любого знака при х; = 0), то будем говорить, что выполнено условие согласования знаков. В первом случае мы пишем ат~О, во втором атаЫО, Теорема (необходимое н достаточное условие экстремума в элементарной зада~в линейного программирования). Для того, чтобы точка х Е )ка доставляла абсолютный минимум (максимум) задаче (й) необходимо и достаточно, чтобы- были выполнены: а) условия соответствия (согласования) знаков а,~~О (а,-"э О), (1) б) условия донолнянят(ей 'нежестхости а;х, = О, 1 = 1, ..., и. (2) Доказательство.
Допустим, что (д) — задача ми- нимизации и 1а-е ограничение имеет вид х„) О. Если допустить, что а,,< О, то нижняя грань в задаче (й) равна — оо, ибо х,, может принимать сколь угодно боль- шие положительные значения. Поэтому условие а, ) 0 необходимо для того, чтобы значение задачи (искомый 1п() было конечно.
Если допустить теперь, что ат,х,,чьО, то вследствие условия х,,) О н доказанного неравенства а;,' 0 на самом деле а, хт, ) О. Но тогда точка х не будет минималью задачи, ибо на допустимом векторе х = (х„..., х,, „О, х т„..., х„) имеем ах < ах. Доста- точность условий (1), (2) очевидна: если для определен- ности (3) — по-прежнему задача минимизации и выполнены условия соответствия знаков и дополняющей нежесткостй', то для любого допустимого вектора х Е )ка получаем ах « О, в то время, как для х в силу (2) ах= О. ° У нр аж не н не. Вывести доказанную теорему из теоремы Куна — Танкера.
3.1.3. Задача Больна. Пусть Ь вЂ” конечный замкнутый отрезок вещественной прямой. Рассмотрим банахоао пространство Е=Ст(Л, 1(а);с)(х((, состоящее из элементов $ (х( ), 1„1,). В этом про- странстве рассмотрим задачу ат (ь) = а) (х ( ' ) 1а ~ 1т) ь = ~Й(1, х(1), х(1))й1+1(1„х(1а), 1„х(1,))- ех(г, (й) тз 244 При этом в (й) функции (1, х, х) ~-ь Е(1, х, х) н (г„х„1т, х,)- 1(г„х„1„х,) определены в открытых подмножествах 1' н Я7 пространств Йх К" хй" и 1(х К"хнах К" соответственно и 1„1,Есь. Обе функции будем предполагать по меньшей мере непрерывнымн. Задача (3) называется задачей Больца с незакрепленным временем, а функционал в (й) — функционалом Больца.
В п. 1.4.2 был рассмотрен ее частный вариант, когда и= 1 (о случае п > 1 было лишь кратко упомянуто) и моменты времени 1, и 1, были закрепленными. Лемма. Пуста функции Е и 1 и их частные производные Б„, Ь„., 1~ и 1,, 1=0,1, непрерывны в областях У и В' соответственно. Тогда функционал Я является непрерывно дифференцируемым (по Фреше) на следующем открытом подмножестве пространспма Е: 'И=Я-(х( ). (ы 1.)!х( ) ЕС'(Ь, 14"); (Ей, (1 х(1) ° х(1))Е~' (гч х(го) Г., х(1,)6%' (в 1~Е(п(Ь) и при этом З'(х( ), Г„К,))й( ), т„т,)=$(Е„(1)Ь,(1)+ ~в +Е„.
(1)6(1))сУ+Ь(1,)т,— Х(1,)т, +1, т,ц 1, т,ц . +(„,(й((о)+х(К,)т,)+1„,(й(7,)ц х(1,)т,) (1) где Е(1) Т-(1, х(1). х(т)), Х,„(1) Е.„(1, (1), '(Г)), г-„'(т) =т-„(Г, х(Г) хх(1)), С,.= 6,. (Е„х(~,), 1,, х(1",)), 1,, = 1.,(К„х(1,), 1„х(1,)), е =О, 1. Доказательство. Функционал%является суммой интегрального и терминального функционалов. Их непрерывная дифференцируемость была доказана в пп. 2.4.2 и 2.4,3. (Терминальный функционал $ — 1(1„х(1,), 1„ х (1,)) является частным случаем оператора краевых условий.) Чтобы получить (1), остается воспользоваться формулами (9) п, 2.4.2 и (3) п. 2 4.3. ° В соответствии с этой леммой (4) является элементарной гладкой задачей без ограничений.
Поэтому мы можем применять к ней необходимые и достаточные условия 346 б) условия трансверсальности по х Е„(1,.) =( — 1)')., (=О, 1; (3) 2) выполнены условия трансверсальносо1и по 1: Й(Г;) =( — 1)'+'1~,, 1=0, 1, где Й (1) = 1.„ (1) х (1) — е (1). Соотношения (2) и (3) уже встретились нам в и. 1,4.2. условия трансверсальности по Г встречаются здесь впер- вые, но впоследствии в гл. 4 мы постоянно будем иметь с'ними дело. Доказательство. Было сказано уже, что зада- ча (6) является гладкой элементарной задачей, и к ней применима, следовательно, теорема Ферма (следствие 2 п.
3.1.1), согласно которой $ Е 1осех1г 6 ~ Я' ф) = О Ф>Я' ($) (т(( = О, Ут1 = (Ь ( ), т., т,) Е В (5) Вспоминая (1), получаем из (5) О=З'®~)~= 7, = 1 (Е„(Г) й(1)+Ц(1) й(1)) йг+и,й(1,)+ +М(Г )+Рота+Р т где для краткости введены такие обозначения: ис —— 1,с Рк — — 1О+1,,х(гс)+( — 1)е'АЕ(Г!), 1=0, 1. (7) 246 экстремума п.
3.1.1. Расшифровка утверждения теоремы Ферма приведет нас к следующей теореме. Теорема 1 (необходимое условие экстремума первого порядка в задаче Больца). 17 усть выполнены условия леммы. Если элемент $ = =(х (.), 1„1,) Е В 'принадлежит множеству ч1 и доставляет локальный минимум задаче (з), то 1) выполнены условия стиционарности по х( ): а) уравнение Эйлера — ' — „",Х,„(1)+Л„«) =О, (2) Соотношение Я'($)1т11 = 0 имеет место для любого элемента и = (Ь( ), т„т,). Рассмотрим сначала элементы вида п=(Ь( ), О, О), ЬЕС'(Л, И"), Ь(г;)=О, 1=1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
