Лекция_7 (1048780), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим сначала зоны областей неустойчивости вблизи оси абсцисс, что соответствует малым значениям параметра . Поэтому положим, что . Тогда:

Как видно из полученной зависимости, при произвольных значениях . Равенство , соответствующее возникновению параметрического резонанса, возможно лишь при условии .

Таким образом, если выполняется записанное условие, то параметрический резонанс будет возникать при сколь угодно малой глубине пульсации (так как оно было получено при условии малого значения ). По мере увеличения зоны неустойчивости системы расширяются.

Влияние линейного трения

При наличии линейного трения дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

Рассуждая таким же образом, как и прежде, запишем решение для двух полупериодов движения системы:

Опять, так же, как и ранее, запишем:

.

Или:

Далее запишем следующие условия:

то есть

Эти четыре уравнения образуют систему, однородную относительно постоянных . Эти коэффициенты будут отличны от нуля, если определитель, составленный из коэффициентов системы, равен нулю. Развернув этот определитель, получим квадратное уравнение:

Не останавливаясь подробно на исследовании корней этого уравнения, запишем условие неустойчивости системы: . Это условие более жестко, чем условие , полученное для случая отсутствия трения. Так, анализ показывает, что при и условие не выполняется, то есть параметрический резонанс невозможен. В целом следует отметить, что вязкое трение оказывает стабилизирующее действие и приводит к некоторому сужению областей неустойчивости, но оно неспособно ограничить постоянное возрастание амплитуд в этих областях. Следует отметить, что при действии нелинейно-вязких сил трения амплитуды колебаний оказываются ограниченными.

П араметрическое возбуждение по закону косинуса.

В этом случае дифференциальное уравнение будет иметь вид:

Дифференциальное уравнение записанного типа называется уравнением Матье. Обычно его принято записывать несколько в иной форме:

где

Решениями этого уравнения служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Так же, как и в предыдущем случае, эти решения могут быть или ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров и приводит к диаграмме устойчивости, носящей имя Айнса-Стретта. Эта диаграмма симметрична относительно оси :

Если дифференциальное уравнение приведено к форме (*), то по данным значениям и с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать вывод об устойчивости или неустойчивости системы.

Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости используем метод гармонического баланса. На границах области неустойчивости движение должно быть периодическим, что позволяет представить его в виде ряда Фурье:

.

Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим их сумму в приведенное уравнение Матье. Приравнивая к нулю коэффициенты при и , получим два однородных уравнения:

из которых следуют уравнения для обеих границ:

Эти границы можно уточнить, принимая во внимание большее число членов ряда Фурье.

Запишем без вывода точные решения для первых четырех областей неустойчивости:

В заключение отметим, что вязкое трение несколько сужает границы неустойчивости.

Характеристики

Список файлов лекций