Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Можно подумать, что для синтеза фильтра или его адаптации с целью формирования сигнала у, компенсирующего помеху, необходимы некоторые априорные сведения о сигнале з или помехах п, и пь Однако как показывают простые рассуждения, для этого не требуется или почти не требуется априорных сведений об этих сигналах нли их статистических нли детерминистических взаимосвязях. Пусть з, и,, п, и д — стационарные случайные процессы с нулевыми средними значениями, и з не коррелирован с и, и пг, а и, и и, — коррелированы Выходной сигнал а=э+по У. Возведем обе части равенства в квадрат: Яв =- за+ (по — У) + 25 (по — д), (12,2) Для обеих частей (12.2) найдем математическое ожидание и, поскольку з не коррелирован с по и д, получим Е [еа] = Е [за] + Е [(п — д)в] + 2Е [з (по — У)] = = Е [зе] + Е [(по — у)а1.
(12,3): Мощность сигнала Е["за] не изменяется при перестройке фильтра в процессе минимизации Е[еа]. В соответствии с этим минимальная мощность выходного сигнала Е и [е'] = Е [3'1 + Едем Нпо д)'1. (12.4) 277 (12.5) з) = (по у). Таким образом, перестройка или адаптация фильтра для минимизации общей мощности выходного сигнала равносильна тому, что при заданных структуре адаптивного фильтра и эталонном входном сигнале выходной сигнал е изменяется так, что он является наилучшим в среднеквадратичеоком смысле приближением сигнала з.
В общем случае выходной сигнал е равен сумме сигнала з и некоторой помехи. В соответствии с (12.1) помеха на выходе равна и,— у. Поскольку при минимизации Е[е'] осуществляется минимизация Е[(п0 — у)'], то минимизация общей мощности выходного сигнала приводит к минимизации мощности помехи на выходе и, так как сигнал на выходе остается постоянным, к максимизации выходного отношения сигнал-помеха. Из (12.3) и (12.4) видно, что наименьшая возможная мощность выходного сигнала Е;.[е'] =Е[з']. Если это достижимо, то Е[(п — у)'] =О.
Следовательно, у=п, и е=з, и минимизация мощности выходного сигнала приводит к тому, что сигнал совершенно не искажен помехой. Кроме того, если эталонный сигнал совсем не коррелирован с входным сигналом, то фильтр отключается и не увеличивает помеху на выходе. В этом случае выходной сигнал фильтра у не коррелирован с входным сигналом и мощность выходного сигнала Е [ее] = Е [(3+ по)'] + 2Е [ — д (з+ по)] + Е [д'] = — Е [(з+ и,)'] + Е [у']. (12,6) Для минимизации мощности выходного сигнала необходимо, чтобы было минимальным Е[у'], что достигается при равенстве всех весовых коэффициентов нулю, приводящим к тому, что Е[у'] =О. Эти рассуждения легко распространить на случай, когда входной и эталонный сигналы содержат, помимо и, и п„составляющие аддитивного случайного шума, не коррелированные между собой и с з, пе и пь Кроме того, эти рассуждения справедливы для случая, когда пе и п1 — детерминированные, а не случайные сигналы.
Отметим, что в процессе рассуждений не оговорено, что адаптивный фильтр обязательно сходится к линейному фильтру, т. е, не применялась описанная в гл. 2 винеровская теория фильтрации. 278 Если фильтр построен так, что Е[е'] минимально, то, следова-тельно, мивимально также и Е[(п,— у)']. В этом случае выходной сигнал фильтра у является наилучшей среднеквадратической оценкой помехи пю Более того, при минимальном значении Е[(пе — д)'] минималы1ое значение имеет также и Е[(е — з)'], поскольку из (12.1) Подавление стационарных помех В данном разделе находятся оптимальные винеровские решения для некоторых задач подавления стационарных помех. Цель данного изложения — показать возможность повышения отношения сигнал-помеха, а также другие преимушества методов подавления помех при использовании адаптивных фильтров по сравнению с обычными методами фильтрации помех.
Как отмечалось раньше, при подавлении помех фильтры с постоянными параметрами в большинстве случаев неприменимы, так как в общем случае автокорреляционные и взаимокорреляционная функция входного и эталонного сигналов неизвестны и часто являются изменяющимися во времени. Поэтому необходимо сначала обучать адаптивные фильтры по обучающим статистикам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно меняются.
Однако для стационарных входных сигналов установившийся режим работы медленно адаптирующихся фильтров приближается к режиму работы винеровских фильтров, поэтому удобным математическим аппаратом для анализа статистических задач подавления помех является винеровская теория фильтрации. На рнс. 12.2 приведена схема классического винеровского фильтра с одним входом и одним выходом. Здесь хе — входной сигнал, де — выходной сигнал, а А — полезный отклик. Будем считать, что входной и выходной сигналы дискретны во времени, а входной сигнал и полезный отклик — стационарны в статистическом смысле. Сигнал ошибки равен ее=А — ум Фильтр является линейным, дискретным и оптимальным в смысле минимума СКО.
Для проводимого здесь анализа будем полагать, что фильтр имеет неограниченную длину н является адаптивным трансверсальным фильтром с двусторонней импульсной характеристикой. Рабочая функция такого фильтра является квадратичной и из [7.67) и (10.!) ОЭ ОО $ =. ф„е (0) -[- ~„'~, 'пь го,„ф„„(! — т) — 2 ~ нп фх„(!), (12,7) 1= — %=в с=— Минимальное значение этой рабочей функции соответствует оптимальному вектору весовых коэффициентов %*, т. е. весовым коэффициентам оптимального винеровского фильтра с передаточной функцией %'(г). В (10.3) получено, что оптимальная передаточная функция есть отношение энергетических спектров [[7* (г) = Ф„а (г)/Ф,„(г). (12.8) Эта формула описывает свободное некаузальное решение задачи винеровской фильтрации, В противоположность этому реализация Шеннона — Боуда [2] представляет собой каузальный фильтр.
В общем случае ограничение каузальным фильтром приводит к ухудшению характеристик, а, как показано ниже, в приложениях к адаптивному подавлению помех этого ограничения можно избежать. Рнс. 12.2, Однонэнэльный внне- ровскнй фильтр Полезный отклик Рассмотрим теперь, как можно использовать равенство (12.8) при адаптивном подавлении помех. На рис. !2.3 представлена нескольисй сигнал КО боЛЕЕ Подробная СХЕМВ системы, показанной на рис. 12.1.
Здесь показан один из способов получения входного сигнала н помех на входах системы. Входной сигнал представляет собой сумму сигнала зл и двух помех — пл и т,л, а эталонный сигнал— сумму двух других помех т,п и пл, пришедший через тракт с импульсной характеристикой Ьл и передаточной функцией Н(н)'. Обе помехи — ий на входе системы и пю прошедшая через тракт с Ью имеют общий источник и являются коррелированными между собой и не коррелированными с сигналом зп. Предполагается также, что нх энергетические спектры ограничены на всех частотах. Помехи тол и т,л не коррелированы между собой, с зю п„на входе системы и ию прошедшей через тракт, с йд. Для дальнейшего анализа будем считать, что все тракты распространения помех эквивалентны линейным фильтрам с постоянными параметрами.
Входи хэ Лией си ройстаа элеиил ть Алаптиеиае устройство полаепеиил помех 'Рнс. 12.3. Одноканальное адаптивное устройство подавления помех с коррелнровэнной н неноррелнроввнной номехамн нэ входе устройства н нэ этзлонном входе ' Длн упрощения обозначений прнннто, что передзточнэн функция тракта, но которому помеха и, поступает на вход системы, равна единице. Это не огрвннчнввет строгости анализа, тпн квк нрн соответствующем выборе Н(г) н статистики помехи па можно сделать тэн, чтобы любая смесь коррелнрованных номен поступала нв вход системы н ее эталонный вход.
Хотя вследствие этого может потребоваться, чтобы полюсы Н(з) находились внутри н вне окружности единичного радиуса нэ з-ллоскостн, устойчивая двустороцннн импульсная хврвктернстннз йа длн реализации этого требования существует всегда. 280 Схема подавления помех на рис. 12.3 включает в себя адаптивный фильтр, входной сигнал хл (эталонный сигнал устройства подавления) которого равен сумме тгл и пю прошедший через тракт с ип, а полезный отклик (входной сигнал устройства подавления) Нл=зп+тсл+пл, Сигналом ошибки еп является выходной сигнал устройства подавления. Если считать, что адаптивный процесс завершен и найдены оптимальные в смысле минимума СКО весовые коэффициенты (оптимальное решение), то адаптивный фильтр эквивалентен винеровскому фильтру (12.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
