Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 56
Текст из файла (страница 56)
точно па окружности радиан. олюса пе .П. единичного радиуса под углами редаточной функции расположены в точках : ого г = (1 — )г С') соз ого -+! Ц1 — 2 )г С')— — (1 — )г С')' соз' ого] ' го, (12.57) т. е. внутри окружности единичного ади са на а с ча и (1 — 2 С'гггг — ) приближшггьэ равном ! )гС' " под ~ соз — ' И1 — !гС') (! — 2 (гС') ггг соз ог [.
(12. ого ( 58) При медленной адапта ии эти г, ц и (т. е. прн небольших значениях Са) и углы определяются множителем )г 1 — „с 7 1 — 2рс +рос'. '1гг (1 — 2 и Со)ггт 1, 1 — 2 Со Н =(1+р'С +...) -"= !+ — ' м'С'+..., (12.59) 2 1О' 291 а плоскость Топки ьо Результаиментов по му подав. Оув1ОЧаетОтомсхя; устройста~ усоилальпый житом ср~ а иыт и ~ тот исты пасто~о иа 0,5 в о о Частота а1 , и . немн~ и"1, 1,О ол О.5 б] половинной мощности и равна Рис. !2.8.
Передаточная функция одно- частотного адаптивного устройства пои давления помех: о — расположение помосои и нулей; б — амплитупио-частотиаи характаристика который приблизительно равен 1. Основной вывод состоит в том, что в практических случаях угльс полюсов и нулей почтн равны. На рис. 12.8 показано расположение полюсов, нулей н точек половинной мошности передаточной функции.
Поскольку нули лежат на окружности еднничноу.о радиуса, глубина режекции в децибелах для передаточной функции на частоте ш = шо равна бесконечности. Форма провала АЧХ определяется расстоянием между соответствующими нулями и полюсами, которое приблизительно равно рС-'. Длина дуги окружности единичного радиуса, заклроченной между точками соответствует полосе режекции фильтра ВЮ =2рСй рад =-/ьСй/пТ Гц. (12.60) Форма АЧХ в полосе режекции обычно определяется добротностью Я, представляющей собой отношение центральной частоты к ширине полосы режекции: центральная частота оуа ширина полосы режекцин 2РСа Таким образом, устройство подавления одночастотной помехи прн сннусоидальном эталонном сигнале эквивалентно устойчивому режекторному фильтру.
В общем случае глубина режекции адаптивного устройства выше, поскольку в результате адаптивного процесса даже при медленном изменении частоты эталонного сигнала поддерживается правильное для подавления соотношение фаз. На рис. !2.9 приведены результаты двух экспериментов, пров денных для оценки характеристик функционирования адаптивного режекторного фильтра. В первом случае входной сигнал представляет собой синусоиду единичной мошности с частотой, изменяющейся по 512 дискретным значениям.
Синусоидальный эталонный сигнал имеет частоту оуе=п/2 радиан, прп этом С= =1, 9=0.0125. Разрешение по частоте дискретного преобразо- 292 ото Час~оса и ванна Фурье в (7.43) Лш=я/512. На рис. !2.9,а показана зависимость выходной мощности от частоты.
При приближении частоты входного сигнала к частоте эталонного имеет место глубокая режекция. Если ш близка к ша, но не равна сй, весовые коэффициенты не сходятся к устойчивым значениям, а колеблются на другой частоте, и адаптивный фильтр функционирует аналогично модулятору, преобразующему эталонную частоту в частоту входного сигнала.
Измеренная ширина полосы режекции 0,0255 рад близка к теоретической, равной 0,0250 рад. Во втором эксперименте входной сигнал представляет собой некоррелированные отсчеты белого шума единичной мошности, а эталонный — аналогичен сигналу первого эксперимента. На рис. 12.9,б показан средний спектр по ансамблю из 4096 энергетических спектров выходного сигнала устройства подавления. В этом эксперименте не получена полная режекция из-за конечного разрешения по частоте алгоритма спектрального анализа. 293 В этих экспериментах фильтрация синусоидального эталонного сигнала на заданной частоте приводит к подавлению составляющих входного сигнала на соседних частотах.
Этот результат показывает, что при некоторых условиях частично могут подавляться и искажаться составляющие входного сигнала, даже если эталонный сигнал не коррелирован с ними. В практических случаях такое подавление возникает только в быстрых адаптивных процессах, т. е. при больших значениях 14. При медленном адаптивном процессе весовые коэффициенты сходятся практически к фиксированным значениям, и хотя происходит рассмотренное здесь подавление сигнала, оно в общем случае является незначительным.
При этом значения весовых коэффициентов приближенно равны винеровскому решению. За последнее время проведены другие эксперименты с эталонными входными сигналами, содержащими более одной синусоиды. При использовании адаптивных фильтров с многими весовыми коэффициентами (обычно адаптивных трансверсальных фильтров) достигается режекция на многих частотах. Для обеспечения необходимых коэффициента передачи и фазы фильтра для каждого синусоидального сигнала требуется два весовых коэффициента. При наложении на эталонный входной сигнал некоррелированного широкополосного шума необходимы дополнительные весовые коэффициенты, Полный анализ задачи режекции сигналов на многих частотах содержится в 121), Адаптивный высокочастотный фильтр Использование в адаптивном фильтре весового коэффициента для подавления низкочастотного дрейфа на входе системы является частным случаем режекции сигнала на нулевой частоте.
На рнс. 12.10 приведена схема только с одним весовым коэффициентом, так как не нужна подстройка фазы сигнала. Эталонным сигналом может быть постоянный сигнал единичной амплитуды. Передаточную функцию тракта прохождения сигнала от входа до выхода устройства подавления можно получить следуюшим образом. Из рнс. 12.10 видно, что уд=шй, поэтому для алгоритма наименьших квадратов в этом случае удч, = уд -1-2 иед = уй+ 2 1ь (г(д — уд). (12,62) Выходной Ь.од оа ОФ Рис. 12ЛО.
Схема адаптивного вмсоночастотного фильтра, полученного путем установления на эталонном входе постоянного единичного сигнала Эхапоп сиг~ап а1 294 Находим з преобразование от (1262) и пол чаем шегося режима и получаем для установив- 2 рту(а) а — (1 — 29) одставим теперь в (1265) у( ) 1)( ) следует, что фильтр с весовым козффи Из равенства (12,54) циентом смещения и редставляет собой высокочастотный фи с нулем на ок 'жности й фильтр и полюсом на дейст ру ти единичного радиуса на нулевой часто вительной оси на расстоянии 21х влево от стоте ля. Отметим, что эт в от пуму фильтру (12.55) О, о соответствует одночастотному режекто рноность режекти емо р ( ., ) с оэо=О и С=1. Частота, на которой м р " мощрадиан.
ру: го сигнала уменьшается вдвое, равна =2 аоэ=п В адаптивном высокочастотном фильтре исключает ко постоянное сме е ается не тольщение, но и медленно меняюшийся дрейф входном сигнале, Б дрейф во олее того, хотя это здесь и не показано, этом случае однов ременно осуществляется подавление низк чо, в стотиой случайной п омехи при постоянном эталонном сигнале. коча- (12,63) 295 Каузальность и конечная размерность фильтра В приведенном в выше анализе не рассмотрены вопросы физической реализ емости у и адаптивных фильтров. Полученные выражения являются и еа. д льными и основаны на предположении, что адаптивный т ансве р рсальный фильтр является некаузальным (обладает двусторонней импульсной характеристикой) и имеет бесконечную длин . Хот у, отя такой фильтр нельзя реализовать, можно показать, что достигается хорошее приближение к его характеют э Обычно импульсные характеристики идеальных фильтров р имеженная еал кспоненцнальное затухание.
Поэтому возможн б. жна их при лия реализация фильтрами конечной длины с конечной импульсной характеристикой Чем большим числом весовых коэффициентов обладает такой фильтр, тем ближе его импульсная характеристика к импульсной характеристике идеального фильтра. Однако при увеличении числа весовых коэффициентов воз встает сложность реализации. раНекаузачьиые фичьтры являются физически нереачизчемыми в системах, работающих в реальном масштабе времени. Тем не менее во многих случаях их можно приближенно реализовать в схеме с задержкой, которая обеспечивает нужный отклик в реальном масштабе времени, но с задержкой.
Подобные системы рассмотрены в гл. !О и 11. На практике можно получить очень хорошие характеристики даже при ограничении слева или справа двусторонней импульсной характеристики. При включении за- Рис, 12.13. Обобщенная схема адаптивного устройства подавления помех с мно- гими зтвлопными входами Другими словами, она является общим представлением адаптивного устройства подавления помех на рис.
12.4. Оптимальная передаточная функция устройства подавления многих помех представляет собой матричный эквивалент выражения (12.8) и находится следующим образом. Определим матрицу энергетических спектров в виде Фо,е, (г) Фени (г) (12. 65) [Фее (г)! =.= "мем( ) Из этего определения спектральная матрица М эталонных сигналов адаптивных фильтров принимает вид (12.66) [Ф (г)! = [Р (г '))т [Фее (г)[!Р (г)! (12.67) где а Рм(г) — передаточная функция от источника 1 до входа 1'. Аналогично этому вектор взаимных спектров в схеме на рис.
12.13 [Ф„и (г)! = [Р (г-')[т [Ф„(г)! [б (г)[, (12.68) где [б (г)! =- [б, (г) ... бм (г)[т, (12.69) а б;(г) — передаточная функция от источника 1 ко входу. 298 в х о х м Р„(г) ... Рыу (г) 1 Рм, (г) ... Рмл (г) Если определить [[р'" (г)! =- [)й'*, (г) ... [р,", (г)! (12.70) то ь. как вектор оптимальных передаточных функций (каждая и рых соответствует составляющей оптимального вектора весовых коэффициентов), то а~налогично (12.8) [[[т*(г)! = [Ф„,(г)! 'Фин(г) = ПР(г т)! х х [Фое(г)! [Р(г) — ' [Р(г — х)[т[фоч,,(г)! [б(г)!. (12.71) Это вект соотношение описывает полное множество оптимал ьных оров весовых коэффициентов %"ь ..., 'ту'*м, которым соо ств ет м, тветвисим у минимальное значение обшей рабочей функции, т.
симости Е[е д) от всех весовых коэффициентов. Эта рабочая функция является квадратичной относительно всех весовых коэффициентов, поскольку, как следует из рис. 12.13, уд есть лине" комбина~ и йная ция выходных сигналов адаптивных линейных сумматоров. Следовательно, ух и еяя содержат только линейные и квадратичные члены с весовыми коэффициентами. Если матрица [Р(г)! (12.67) является квадратной (т. е. У= =М) и имеет обратную матрицу, то (12.71) принимает вид (упражнение 1, в гл. 2) [И'* (г)! = [Р (г)! ' [б (г)[, (12.72) что представляет собой матричный эквивалент выражени (12.12) ратная к [Р(г)! матрица может не существовать на всех ча- Я стотах. Полученные выражения можно использовать для того, чтобы найти в более общем виде оптимальные установившиеся решения для задачи подавления многих помех. Ниже рассматривается приложение этой задачи в области фетальной электрокардиографии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
