Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Оптимальное решение для устройства подавления на рис. 12.3 желательно иметь по следующей причине. Выходной сигнал — это сигнал ошибки винеровского фильтра, а, как следует из (2.39), сигнал ошибки ел не коррелирован с входным сигналом фильтра хй Следовательно, на входе системы полностью подавляются все составляющие помехи, коррелированные с составляющими помехи на эталонном входе. Однако другие составляющие не подавляются и оказываются на выходе системы.
Оптимальная передаточная функция адаптивного фильтра (!У*(г) есть винеровское решение (12.8), для которого теперь. можно получить следующее обобщение. Спектр входного сигнала фильтра Ф,„(г) можно выразить через спектры его двух некоррелированных составляющих, Спектр помехи т, — Ф...
а спектр помехи п, прошедшей через тракт с Н(г), — Ф,(г) ~Н(г) !з. Отсюда спектр входного сигнала фильтра Ф„, (г) = Ф,, (г) + Фл„(г) ! Н (г) !'. (12.9) Взаимный энергетический спектр входного сигнала фильтра и полезного отклика зависит только от коррелированных составляющих входного и эталонного сигналов и имеет вид Флн(г) =Фа„(г) Н(г '). (12.10) Подставляя (!2.10) в (12.8), получаем винеровскуто передаточную функцию Фпп(з) Н(з ) (12.1!) Фгл (з) + Фп п (з) ! Н (з) ! Отметим, что (туп(г) не зависит от спектра сигнала Ф„(г) и спектра некоррелированного шума Ф , , (г) на входе системы, При нулевой аддитивной помехе т, на эталонном входе имеем интересный частный случай, когда Ф...„,(г) =О, и оптимальная передаточная функция (12.11) принимает вид ((уп (г) = ПН (г).
(12.12) Интуитивно ясно, что этот результат является правильным, так как адаптивный фильтр приводит, как и при балансе мостовой схемы, к обнулению и, на выходе устройства подавлеяия. Некоррелированная помеха т,„ не подавляется и наряду с сигналом появляется на выходе системы. 281 реых (г) плотность мощности помехи на входе Фон (г) + Феь м, (г) р (г) плотность мощности помехи на выходе Ф (12.13) Из рис.
12.3 следует, что энергетический спектр помехи на выходе устройства подавления равен сумме трех составляющих, одна из которых соответствует прямому прохождению на выход, тел, другая — пг1л, прохождению через звено с передаточной функцией — [р" (г), а третья — пл, прохождению через звено с передаточной функцией 1 — Н(г) [ч'а(г). Отсюда энергетический спектр помехи на выходе Й,„, „ (г) =- Ф , , (г) + Ф , , (г) [[[у* (г)[а + + Ф„„(г) [[1 — Н (г) [[У*(г)Цг.
(12.14) Для удобства обозначим отношения спектров коррелированных и некоррелированных помех на входе и эталонном входе соответственно через А(г) д —,' (12, 15) (12. 16) Фаи (г) [И (г)[з В этих обозначениях передаточную функциго (12.11) можно пере- писать в виде [[у*(г) = ! И(г) [В Рй+ И (12.17) Тогда энергетический спектр помехи на выходе Ф (г) гыхштм( ) жзмз( ) + [Г((г)[г[В(г)+ ([з + +Фпп(г) 1 — ! =Ф„„(г)А(г)+Ф„„(г) . й" (12.18) В (г) + 1 В(г)+ ! ' Отношение плотности мощности сигнала к плотности мощности помехи зааисит от частоты. Здесь г=езпт, где Т вЂ” период отсчета, как описано а гл.
7. 282 Функционирование устройства подавления помех с одним входом можно рассмотреть в более общем виде с точки зрения соотношения двух отношений плотности мощности сигнала к плотности мощности помех — на выходе системы р,,(г) и на ее входе рзх(з)', Полагая, что спектр сигнала является неотрицательным на всех частотах, после соответствующих преобразований имеем При этом отношение (12.13) Рхы (г) Фьи(г) [!+А(г)1 !+А(г) рах (г) Фзых.штм (г) В (г) В(г)+ ! (12.
19) р„„(г) В + В(.) рзх (г) В (г) (12,20) 2) при малом В(г) р,ы„(г) 1! + А (г) рэх (г) А (г) 3) при малых А(з) и В(г) Рвых (г) (12.22) рзх (г) А (г) + В (г) Из этих соотношений следует, что полное подавление возможно, когда А(з) и В(з) равны нулю. В этом случае на выходе системы можно полностью исключить помеху, что приводит к идеальному восстановлению сигнала. Однако при малых А(з) и В(з) вступают в силу другие факторы, ограничивающие характеристики системы.
К этим факторам относятся конечная длина адаптивного фильтра в реальных системах и относительное среднее значение СКО, вызванное шумом оценки градиента, возникающим в процессе адаптации (см. гл. 5 и [19, 20)). Влияние третьего фактора, связанного с попаданием на эталонный вход составляющих сигнала. рассматривается в следующем подразделе. (12.21) ' Не Некоторое подавление сигнала аозможно при быстром процессе адаптации (т. е. при больших значениях параметра сходимости р) из-за динамического отклика вектора весовых коэффициентов, который приближается, но не равен аннероаскому решению.
288. [А (г) + (1 [В (г) + ! ) А (г) -[- А (г) В (г) + В (г) Это выражение является общим представлением идеальной хара ктери стики подавления помех в рассматриваемом случае. О но позволяет оценить ожидаемый уровень подавления помехи прн идеальной систем е подавления, содержащей ви перовский фильтр с двусторонней импульсной характеристикой. В такой системе сигнал проходит на выход неискаженным.' В противоположность этому классические схемы Винера, Калмана и адаптивных фильтров в процессе подавления помех вносят некоторые искажения и в сигнал. Из (12.19) видно, что возможностя подавления помех ограничиваются отношениями А(г) и В(-).
Гели онн относительно малы, то отношение рв х(д)/р (д) велш!о и относительно более эффективно функционирует устройство подавления. Необходимость иметь низкий уровень некоррелированных помех на обоих входах станов!шея еще более очевидной при рассмотрении следующих конкретных случаев: 1) прп малом А (г) Влияние попадания еоетавляаощих сигнала на эталонный вход В некоторых случаях эталонный сигнал на входе адаптивного устройства подавления помех может содержать, помимо обычных коррелированных и некоррелированных составляющих помех, небольшого уровня составляющие сигнала, наличие которых, естественно, приводит к некоторому подавлению входного сигнала.
В связи с этим возникает вопрос, не является ли это подавление таким, что становится бесполезным применение подавления помех. Для ответа на этот вопрос воспользуемся, как и в предыдущем подразделе, оптимальным винеровским решением и найдем выражения отношения плотности мощности сигнала к плотности мощ. ности помехи, искажения сигнала и спектра помехи на выходе устройства подавления.
На рис. 12.4 показано адаптивное устройство подавления помех, эталонный сигнал которого содержит составляющие сигнала, я входной и эталонный сигналы — аддитивные коррелированные помехи. Будем считать, что составляющие сигнала проникают на эталонный вход по тракту с передаточной функцией У(г). Другие обозначения — те же, что и на рис. 12.3. Энергетические спектры входного сигнала и помехи (рис. 12.4) соответственно Ф„(г) и Ф„„(г).
Отсюда спектр эталонного сигнала, или спектр входного сигнала и, адаптивного фильтра, Ф„„=- Ф„(г) [и'(г)[э+ Фпп (г) [Н(гКэ. (12.2о) Взаимный спектр эталонного входного сигнала, или взаимный спектр входного сигнала фильтра хд и полезного отклика йы Фви (г) = Ф„(г) Х(г-') + Фп„(г) Н (г — '). (12.24) После завершения процесса адаптации винеровская передаточная функция адаптивного фильтра из (12.8) [[)гвггт Фвв(2) Х(7 ') + Фпп(7) Н('2 ') (12.25) Фв в (7) [ в' (7) [ в + Фпи (7) [ Н (7) [ а Первая задача этого анализа — найти р,,(г) на выходе устройства подавления. Передаточная функция тракта прохождения СИГНаЛа От ВХОда дО ВЫХОда раВНа 1 — У(г)%'в(2), а ПОМЕХИ— 1 — Н(г) [й'*(2).
Отсюда спектр составляющей сигнала на выходе Ф„ (г) = Ф„ (г) [ 1 — [ (г) [[У* (2)[э = р г [ [Н(7) — У(7ЦФ„т,(7) Н(7 ) „(2) [,, (,), +, (, ~, (12.26) а составляющей помехи Фпп (г) = Фп и (г [ 1 — Н (2) [[у* (2) [ (р ) [У (7) — На(2Ц Фы (7) в ( 7 ) пп ( ) ! Фвв (7) [в (аца+ Фон (2) [Н(2Ца Таким образом, отношение плотностей мощности сигнала и помехи на выходе 12 28 Рных (2) = Фпп (2) Ф (7) в'( 7 В) Фвв (2) [ г (2))а Это отношение удобно выразить через аналогичное отношение р„(2) на эталонном входе. Спектр составляющей сигнала на этом входе Ф (2) = Ф (2) [в (2)) т а составляющей помехи— Фпп (г) = Фпп (г) [Н(гК ° (12.30) Отсюда отношение плотностей мощности сигнала и помехи на эталонном входе (12.31) Фвв (2) [ У (2)[ в Фпп (2) [Н (2Ц ' Следовательно, (12.28) принимает вид т ~ Выходной Входной Сна 'д йотва панна Рие 12.4.
Схема адаптивного устройства подавления помех с прохождением составляющих сигнала на эталонный вход 284 р„„(г) = 1/рвх (2) (12.32) Полученный результат является точным и несколько неожиданным. Из него следует, что при оптимальном винеровском решении и коррелированных помехах на входе и эталонном входе отношение плотностей мощности сигнала и помехи на выходе для всех частот обратно аналогичному отношению на эталонном входе.
Явление, описываемое соотношением (12.32), называют инверсией мощностей Исходя из этого результата, следующая задача — найти выражение для искажения сигнала на выходе устройства подавления. Наиболее эффективным эталонным сигналом является сигнал, почти полностью состоящий из помехи, коррелированной с помехой на сигнальном входе. В общем случае при наличии в 285 нем составляющих сигнала возникают некоторые искажения сигнала. Уровень этих искажений зависит от уровня сигнала, прошедшего через адаптивный фильтр, который можно найти следующим образом. Передаточная функция тракта прохождения через фильтр из (12.25) 7(г)гФ„(г) у( г — '')+ Ф„„(г) и (г — ') (12 33, Ф„(г) !г'(г)!'+ Ф„„(г)! Н(г))г При малой )У(з)) по сравнению с 1Н(г)) эту функцию можно приближенно записать в виде — 7(г) Ж'э(г) = (12.34) Н (г) Таким образом, спектр составляющей сигнала, прошедший на выход устройства подавления через адаптивный фильтр, приближенно равен )~ У(1 ~ Суммирование составляющей (12.35) с составляющей сигнала на входе (рис.
12.4) приводит к искажению сигнала. Наихудший елгчай возникает тогда, когда обе составляющие сигнала имеют противоположные фазы. Пусть по определению, «искажение сигнала» ' — безразмерная величина, равная отношению спектра составляющей сигнала на выходе, прошедшей через адаптивный фильтр (12.35), к спектру составляющей сигнала на входе: Фм (г) г (г) (Н (г)1 г ~ г' (г) (12.38) Фгг (г) ) Н (г) Это выражение можно переписать в более удобном виде, если учесть выражение для отношения плотностей мощности сигнала н помехи на входе (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
